2019-2020年高中數學奧賽系列輔導資料競賽中的三角函數立體選講教案.doc

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2019-2020年高中數學奧賽系列輔導資料競賽中的三角函數立體選講教案 【內容綜述】 一．三角函數的性質 1．正，余弦函數的有界性 對任意角，，　 2．奇偶性與圖象的對稱性 正弦函數，正切函數和余切函數都是奇函數，它們的圖象關于原點對稱，并且y=sinx的圖象還關于直線對稱：余弦函數是偶函數，從而y=cosx的圖象關于y軸對稱，并且其圖象還關于直線對稱 3．單調性 y=sinx在上單調遞增，在上單調遞減：y=cosx在上單調遞增，在上單調遞減；y=tanx在上都是單調遞增的；y=cotx在上都是單調遞減的。 4．周期性 y=sinx與y=cosx的最小正周期是2π，y=tanx與y=cosxr 的最小正周期是π。 　　【例題分析】 　　 例1 已知圓至少覆蓋函數的一個最大值點與一個最小值點，求實數k的取值范圍。 　　解 因為是一個奇函數，其圖象關于原點對稱，而圓也關于原點對稱，所以，圖只需覆蓋的一個最值點即可。 　　令，可解得的圖象上距原點最近的一個最大值點，依題意，此點到原點的距離不超過|k|，即 　　 　　 　　綜上可知，所求的K 為滿足的一切實數。 　　例2 已知，且 　　 　　求 cos(x+2y)的值。 　　解 原方程組可化為 　　 　　因為所以令 ，則在上是單調遞增的，于是由 　　得 f(x)=f(-2y) 　　得 x=-2y 　　即 x+2y=0 　　 　　例3 求出（并予以證明）函數 　　解 首先，對任意，均有 　　 　　 　　這表明，是函數f(x)的一個周期 　　其次，設，T是f(x)的一個周期，則對任意，均有 　　 　　在上式中，令x=0，則有 　　。 　　兩邊平方，可知 　　 　　即 sin2T=0，這表明，矛盾。 　　綜上可知，函數的最小正周期為。 　　例3 求證：在區(qū)間內存在唯一的兩個數，使得 　　sin(cosc)=c, cos(sind)=d 　　證，構造函數 　　f(x)=cos(sinx)-x 　　f(x)在區(qū)間內是單調遞減的，由于 　　f(0)=cos(sin0)-0=1>0. 　　 　　故存在唯一的，使f(d)=0，即 　　cos(sind)=d 　　對上述兩邊取正弦，并令c=sind，有 　　sin(cos(sind))=sind 　　sin(cosc)=c 　　顯然，由于y=sinx在是單調遞增的，且d是唯一的，所以c也是唯一的，且 　　例4 已知對任意實數x，均有 　　 　　求證： 　　證 首先，f(x)可以寫成 　?、? 　　其中是常數，且， 　　 　　在①式中，分別令和得 　?、? 　?、? 　　②+③，得 　　 　　 　　又在①式中分別令，得 　?、? 　?、? 　　由④+⑤，得 　　 【能力訓練】 （A組） 1．求函數的單調遞增區(qū)間 2．已知是偶函數，，求 3．設，，試比較的大小。 4．證明：對所以實數x,y，均有 5．已知為偶函數，且t滿足不等式，求t的值。 （B組） 6．已知，且滿足： （1）；（2）； （3）。 求f(x)的解析式 7．證明：對任意正實數x,y以及實數均有不等式 8．已知當時，不等式 恒成立，求的取值范圍。 9．設，，求乘積的最大值和最小值。 參考答案 【能力訓練】 A組 　　1． 　　2．由偶函數的定義，有 　　 　　 　　 　　上式對任意成立，故 　　 　　所以 　　3．首先，又 　　 　　 　　， 　　即 　　4．只需證明不能同時成立，若不然，則存在整數m,n,k,使得 　　 　　 　　即 　　矛盾 　　5．由題設，得 　　 　　即 　　由于上式對任意x成立，故sint=1，結合，即-10時，有 　　 　　此方程組與①聯(lián)立后無解 　?。?）當且b<0 有 　　 　　此時a=4,b=-40, c=400 　?。?）當a>0且有 　　 　　此方程組與①聯(lián)立后無解。 　?。?）當a<0且，有 　　 　　此方程組與①聯(lián)立后無解， 　　得上可知，。 　　7．原不等式等價于 　　 　　若，則 　　若 　　故原不等式成立 　　8．令，由條件可得所以在第I象限，原不等式可化為 　　 　　由于結合原不等式對任意x∈[0，1]都成立，可知取最小值亦成立，即 　　 　　 　　 　　9．由條件知，于是