2019-2020年高中數學競賽輔導資料《整除》.doc

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2019-2020年高中數學競賽輔導資料《整除》 整除是整數的一個重要內容，這里僅介紹其中的幾個方面：整數的整除性、最大公約數、最小公倍數、方冪問題. Ⅰ. 整數的整除性 初等數論的基本研究對象是自然數集合及整數集合. 我們知道，整數集合中可以作加、減、乘法運算，并且這些運算滿足一些規(guī)律（即加法和乘法的結合律和交換律，加法與乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如是整除，，則不一定是整數. 由此引出初等數論中第一個基本概念：整數的整除性. 定義一：（帶余除法）對于任一整數和任一整數，必有惟一的一對整數，使得，，并且整數和由上述條件惟一確定，則稱為除的不完全商，稱為除的余數. 若，則稱整除，或被整除，或稱的倍數，或稱的約數（又叫因子），記為.否則，| . 任何的非的約數，叫做的真約數. 0是任何整數的倍數，1是任何整數的約數. 任一非零的整數是其本身的約數，也是其本身的倍數. 由整除的定義，不難得出整除的如下性質： （1）若 （2）若 （3）若，則反之，亦成立. （4）若.因此，若. （5）、互質，若 （6）為質數，若則必能整除中的某一個. 特別地，若為質數， （7）如在等式中除開某一項外，其余各項都是的倍數，則這一項也是的倍數. （8）n個連續(xù)整數中有且只有一個是n的倍數. （9）任何n個連續(xù)整數之積一定是n的倍數. 本講開始在整除的定義同時給出了約數的概念，又由上一講的算術基本定理，我們就可以討論整數的約數的個數了. Ⅱ. 最大公約數和最小公倍數 定義二：設、是兩個不全為0的整數.若整數c滿足：，則稱的公約數，的所有公約數中的最大者稱為的最大公約數，記為.如果=1，則稱互質或互素. 定義三：如果、的倍數，則稱、的公倍數. 的公倍數中最小的正數稱為的最小公倍數，記為. 最大公約數和最小公倍數的概念可以推廣到有限多個整數的情形，并用表示的最大公約數，表示的最小公倍數. 若，則稱互質，若中任何兩個都互質，則稱它們是兩兩互質的.注意，n個整數互質與n個整數兩兩互質是不同的概念，前者成立時后者不一定成立（例如，3，15，8互質，但不兩兩互質）；顯然后者成立時，前者必成立. 因為任何正數都不是0的倍數，所以在討論最小公倍數時，一般都假定這些整數不為0.同時，由于有相同的公約數，且（有限多個亦成立），因此，我們總限于在自然數集合內來討論數的最大公約數和最小公倍數. Ⅲ.方冪問題 一個正整數能否表成個整數的次方和的問題稱為方冪和問題.特別地，當時稱為次方問題，當時，稱為平方和問題. 能表為某整數的平方的數稱為完全平方數.簡稱平方數，關于平方數，明顯有如下一些簡單的性質和結論： （1）平方數的個位數字只可能是0，1，4，5，6，9. （2）偶數的平方數是4的倍數，奇數的平方數被8除余1，即任何平方數被4除的余數只能是0或1. （3）奇數平方的十位數字是偶數. （4）十位數字是奇數的平方數的個位數一定是6. （5）不能被3整除的數的平方被3除余1，能被3整除的數的平方能被3整除.因而，平方數被9除的余數為0，1，4，7，且此平方數的各位數字的和被9除的余數也只能為0，1，4，7. （6）平方數的約數的個數為奇數. （7）任何四個連續(xù)整數的乘積加1，必定是一個平方數. 例題講解 1．證明：對于任何自然數和，數都不能分解成若干個連續(xù)的正整數之積. 2．設和均為自然數,使得 證明：可被1979整除. 3．對于整數與，定義求證：可整除 4．求一對整數，滿足：(1)不能被7整除；（2）能被77整除. 5．求設和是兩個正整數，為大于或等于3的質數，），試證：（1）；（2）或 6．盒子中各若干個球，每一次在其中個盒中加一球.求證：不論開始的分布情況如何，總可按上述方法進行有限次加球后使各盒中球數相等的充要條件是 7．求所有這樣的自然數，使得是一個自然數的平方. 課后練習 1． 選擇題 （1）若數n=2030405060708090100110120130，則不是n的因數的最小質數是（ ）. （A）19 （B）17 （C）13 （D）非上述答案 （2）在整數0、1、2…、8、9中質數有x個，偶數有y個，完全平方數有z個，則x+y+z等于（ ）. （A）14 （B）13 （C）12 （D）11 （E）10 （3）可除盡311+518的最小整數是（ ）. （A）2 （B）3 （C）5 （D）311+518（E）以上都不是 2． 填空題 （1）把100000表示為兩個整數的乘積，使其中沒有一個是10的整倍數的表達式為__________. (2)一個自然數與3的和是5的倍數,與3的差是6的倍數,這樣的自然數中最小的是_________. (3)在十進制中,各位數碼是0或1,并且能被225整除的最小自然數是________. 3.求使為整數的最小自然數a的值. 4.證明:對一切整數n,n2+2n+12不是121的倍數. 5.設是一個四位正整數,已知三位正整數與246的和是一位正整數d的111倍,又是18的倍數.求出這個四位數,并寫出推理運算過程. 6.能否有正整數m、n滿足方程m2+1954=n2. 7.證明：（1）133|（11n+2+12n+1），其中n為非負整數. (2)若將(1)中的11改為任意一個正整數a,則(1)中的12,133將作何改動?證明改動后的結論. 8.設a、b、c是三個互不相等的正整數.求證:在a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3三個數中,至少有一個能被10整除. 9. 100個正整數之和為101101,則它們的最大公約數的最大可能值是多少?證明你的結論. 課后練習答案 １．Ｂ．Ｂ．Ａ ２．（１）２５５５．（２）２７． ３．由2000a為一整數平方可推出a=5． ４．反證法．若是１２１的倍數，設ｎ２＋２ｎ＋１２＝１２１ｋ（ｎ＋１）２＝１１（１１ｋ－１）．∵１１是素數且除盡（＋１）２， ∴１１除盡ｎ＋１１１２除盡（ｎ＋１）２或１１｜１１ｋ－１，不可能． ５．由是ｄ的１１１倍，可能是１９８，３０９，４２０，５３１，６４２，７５３；又是１８的倍數，∴只能是１９８．而１９８＋２４６＝４４４，∴ｄ＝４，是１９８４． ７．（１）１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１＝１２１１１ｎ＋１２１４４ｎ＝１２１１１ｎ＋１２１１ｎ－１２１１ｎ＋１２１４４ｎ＝…＝１３３１１ｎ＋１２（１４４ｎ－１１ｎ）．第一項可被１３３整除．又１４４－１１｜１４４ｎ－１１ｎ，∴１３３｜１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１． （２）１１改為ａ．１２改為ａ＋１，１３３改為ａ（ａ＋１）＋１．改動后命題為ａ（ａ＋１）＋１｜ａｎ＋２＋（ａ＋１）２ｎ＋１，可仿上證明． ８．∵ａ３ｂ－ａｂ３＝ａｂ（ａ２－ｂ２）；同理有ｂ（ｂ２－ｃ２）；ｃａ（ｃ２－ａ２）．若ａ 、ｂ、ｃ中有偶數或均為奇數，以上三數總能被２整除．又∵在ａ、ｂ、ｃ中若有一個是５的倍數，則題中結論必成立．若均不能被５整除，則ａ２，ｂ２，ｃ２個位數只能是１，４，６，９，從而ａ２－ｂ２，ｂ２－ｃ２，ｃ２－ａ２的個位數是從１，４，６，９中，任取三個兩兩之差，其中必有０或５，故題中三式表示的數至少有一個被５整除，又２、５互質． ９．設１００個正整數為ａ１，ａ２，…，ａ１００，最大公約數為ｄ，并令 則ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝ｄ（ａ１′＋ａ２′＋…＋ａ′１００）＝１０１１０１＝１０１１００１，故知ａ１′，ａ２′，ａ′１００不可能都是１，從而ａ′１＋ａ′２＋…＋ａ′１００≥１９９＋２＝１０１，ｄ≤１００１；若?。幔保剑幔玻剑幔梗梗剑保埃埃?，ａ１００＝２００２，則滿足ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝１００１１０１＝１０１１０１，且ｄ＝１００１，故ｄ的最大可能值為１００１ 例題答案： 1. 證明：由性質9知，只需證明數不能被一個很小的自然數整除.因 3 1，故3 ，因而不能分解成三個或三個以上的連續(xù)自然數的積. 再證不能分解成兩個連續(xù)正整數的積. 由上知，，因而只需證方程：無正整數解.而這一點可分別具體驗算時，均不是形的數來說明. 故對任何正整數、都不能分解成若干個連續(xù)正整數之積. 2. 證明： = = =1979 兩端同乘以1319！得1319！ 此式說明1979|1319！由于1979為質數，且1979 1319！，故1979| 【評述】把1979換成形如的質數，1319換成，命題仍成立. 牛頓二項式定理和為偶數), 為奇數)在整除問題中經常用到. 3.證明：當時， 由于[…]能被整除，所以能被整除，另一方面， 上式中[…]能被整除，所以也能被整除.因與2+1互質，所以能被（2+1）（即）整除. 類似可證當時，F（2+1，）能被F（2+1,1）整除. 故能被整除. 4. = = 根據題設要求(1)(2)知，即 令即即，則故可令即合要求. 5. 由已知得，兩式相乘得 于是 故 （1）現用反證法來證明.若令是的一個質因子，則有因，則，從而于是是、的一個公約數，這與=1矛盾，故. （2）因為所以而為質數且，故或 6. 證明：設，則有使得，此式說明：對盒子連續(xù)加球次，可使個盒子各增加了個，一個增加個.這樣可將多增加了一個球的盒子選擇為原來球數最少的那個，于是經過次加球之后，原來球數最多的盒子中的球與球數最少的盒子中的球數之差減少1，因此，經過有限次加球后，各盒球數差為0，達到各盒中的球數相等. 用反證法證明必要性.若，則只要在個盒中放個球，則不管加球多少次，例如，加球次，則這時個盒中共有球（個），因為所以不可能是的倍數，更不是的倍數，各盒中的球決不能一樣多，因此，必須. 7. 證明：（1）當時，，因（…）為奇數，所以要使N為平方數，必為偶數.逐一驗證知，N都不是平方數. （2）當時，不是平方數. （3）當時，，要N為平方數，應為奇數的平方，不妨假設=,則由于和是一奇一偶，左邊為2的冪，因而只能=1，于是得，由知為所求.