2019年高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計案例 3.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用課時訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計案例 3.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用課時訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3 1．回歸分析 回歸分析是對具有______________的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法，回歸分析的基本步驟是畫出兩個變量的_________________，求____________________，并用回歸方程進行預(yù)報． 2．線性回歸模型 （1）在線性回歸方程中，，___________.其中___________，___________，稱為樣本的中心. （2）線性回歸模型，其中稱為_____________，自變量稱為__________變量，因變量稱為____________變量． 溫馨提示：是回歸直線的斜率的估計值，表示每增加一個單位，的平均增加單位數(shù)． 3．刻畫回歸效果的方式 方式方法 計算公式 刻畫效果 __________________ 越_________，表示回歸的效果越好 殘差圖 稱為相應(yīng)于點的殘差，__________________ 殘差點_________________地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度_____________，說明模型擬合精確度越高. 殘差平方和 殘差平方和越____________，模型的擬合效果越好 參考答案 1．相關(guān)關(guān)系 散點圖 回歸方程 2．（1） （2）隨機誤差 解釋 預(yù)報 3． 接近于1 比較均勻 越窄 小 重點 1.了解隨機誤差、殘差、殘差分析的概念 2.會用殘差分析判斷線性回歸模型的擬合效果 3.掌握建立回歸模型的步驟 難點 通過對典型案例的探究，了解回歸分析的基本思想方法和初步應(yīng)用 易錯 不能準(zhǔn)確理解概念和參數(shù)的含義 一、概念辨析 有下列說法： ①線性回歸分析就是由樣本點去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點的數(shù)學(xué)方法； ②利用樣本點的散點圖可以直觀判斷兩個變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示； ③通過回歸方程可以估計觀測變量的取值和變化趨勢； ④因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關(guān)性檢驗． 其中正確命題的個數(shù)是 A．1　　　 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①反映的正是最小二乘法思想，故正確． ②反映的是畫散點圖的作用，也正確． ③解釋的是回歸方程的作用，故也正確． ④是不正確的，在求回歸方程之前必須進行相關(guān)性檢驗，以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系． 【名師點睛】由題目可獲取以下信息： ①線性回歸分析； ②散點圖； ③相關(guān)性檢驗等的相關(guān)概念及意義． 解答本題可先逐一核對相關(guān)概念及其性質(zhì)，然后再逐一作出判斷，最后得出結(jié)論． 二、線性回歸模型 一臺機器由于使用時間較長，生產(chǎn)的零件有一些會缺損，按不同轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的零件有缺損的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 轉(zhuǎn)速x（轉(zhuǎn)/秒） 16 14 12 8 每小時生產(chǎn)缺損零件數(shù)y（件） 11 9 8 5 （1）作出散點圖； （2）如果與線性相關(guān)，求出回歸直線方程； （3）若實際生產(chǎn)中，允許每小時生產(chǎn)的產(chǎn)品中有缺損的零件最多為10個，那么，機器的轉(zhuǎn)速應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？（結(jié)果保留整數(shù)） 附：線性回歸方程中，，其中為樣本平均值. 【答案】詳見解析 【解析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖如下圖： （2）由題中數(shù)據(jù)列表如下： i 1 2 3 4 xi 16 14 12 8 yi 11 9 8 5 xiyi 176 126 96 40 ， ∴， ∴. （3）令，解得. 故機器的運轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在轉(zhuǎn)/秒內(nèi). 【名師點睛】1．求回歸直線方程的一般步驟 （1）作出散點圖，依據(jù)問題所給的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點，觀察點的分布是否呈條狀分布，即是否在一條直線附近，從而判斷兩變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系． （2）當(dāng)兩變量具有線性相關(guān)關(guān)系時，求回歸系數(shù)，寫出回歸直線方程． 2．回歸直線方程中的表示x每增加1個單位時，的變化量的估計值為． 可以利用回歸直線方程預(yù)報在取某個值時的估計值． 由于回歸直線方程中的系數(shù)和是通過樣本估計而來的，存在著誤差，這種誤差可能導(dǎo)致預(yù)報結(jié)果有偏差． 三、線性回歸分析 為研究重量（單位：克）對彈簧長度（單位：厘米）的影響，對不同重量的6個物體進行測量，數(shù)據(jù)如下表所示： x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 （1）作出散點圖，并求回歸方程： （2）求相關(guān)指數(shù)R2，并判斷模型的擬合效果； （3）進行殘差分析． 【答案】詳見解析 【解析】（1）散點圖如下圖所示： 從散點圖，可以看出這些點大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式求得線性回歸方程的系數(shù). 因為， ， ，． 計算，得． 所以所求回歸方程為． （2）列表如下： 0.05 0.005 0.04 0.025 1.41 2.31 ． 所以， 所以回歸模型的擬合效果較好． （3）由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點比較均勻地落在比較狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與拉力呈線性關(guān)系．由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集這個數(shù)據(jù)的時候是否有人為的錯誤，如果有的話，需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型． 【名師點睛】1.線性回歸分析的過程： （1）隨機抽取樣本，確定數(shù)據(jù)，形成樣本點； （2）由樣本點形成散點圖，判定是否具有線性相關(guān)關(guān)系； （3）由最小二乘法求線性回歸方程； （4）進行殘差分析，分析模型的擬合效果，不合適時，分析錯因，予以糾正； （5）依據(jù)回歸方程作出預(yù)報． 2．用散點圖可粗略判斷兩個變量間有無線性相關(guān)關(guān)系，用相關(guān)指數(shù)R2可以描述兩個變量之間的密切程度． 四、非線性回歸分析 在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個樣本點，數(shù)值如表： x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1 試建立y與x之間的回歸方程． 【答案】詳見解析 【解析】作出變量y與x之間的散點圖如圖所示． 由圖可知變量y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系． 設(shè)，令，則.由y與x的數(shù)據(jù)表可得y與t的數(shù)據(jù)表： t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1 作出y與t的散點圖如圖所示． 由圖可知y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系． 又， ， ， ∴. 所以y與x的回歸方程是. 【名師點睛】求非線性回歸方程的步驟： 1．確定變量，作出散點圖． 2．根據(jù)散點圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)． 3．變量置換，通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，并求出線性回歸方程． 4．分析擬合效果：通過計算相關(guān)指數(shù)或畫殘差圖來判斷擬合效果． 5．根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回歸方程． 五、不能準(zhǔn)確理解概念和參數(shù)的含義 關(guān)于與有如下數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 為了對兩個變量進行統(tǒng)計分析，現(xiàn)有以下兩種線性模型：甲模型，乙模型，試比較哪一個模型擬合的效果更好． 【錯解】∵， ， ∴． ∴乙模型擬合的效果更好． 【錯因分析】明確的大小與擬合效果的關(guān)系 用相關(guān)指數(shù)來比較模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好，并不是越小模型的擬合效果越好． 【正解】∵， ， ∴． ∴甲模型擬合的效果更好． 1．已知回歸直線方程，若變量x每增加1個單位，則 A．y平均增加2.5個單位 B．y平均增加1個單位 C．y平均減少2.5個單位 D．y平均減少2個單位 2．在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R2的值越大，說明殘差平方和 A．越大　 B．越小 C．可能大也可能小 D．以上均錯 3．對兩個變量y和x進行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：，則下列說法中不正確的是 A．由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程 必過樣本點的中心 B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好 C．用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果，的值越小，說明模型的擬合效果越好 D．若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)，則變量y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系 4．在對兩個變量x，y進行回歸分析時有以下操作：①求回歸方程；②收集數(shù)據(jù)（xi，yi），i=1，2，…，n；③對所求出的回歸方程作出解釋；④根據(jù)所收集的數(shù)據(jù)繪制散點圖．則下列操作順序正確的是 A．③②④① B．①②④③ C．②①③④ D．②④①③ 5．關(guān)于隨機誤差產(chǎn)生的原因分析正確的是 （1）用線性回歸模型來近似真實模型所引起的誤差； （2）忽略某些因素的影響所產(chǎn)生的誤差； （3）對樣本數(shù)據(jù)觀測時產(chǎn)生的誤差； （4）計算錯誤所產(chǎn)生的誤差． A．（1）（2）（4）　　　　　 B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（2）（3） 6．在如圖所示的5組數(shù)據(jù)中，去掉________后，剩下的4組數(shù)據(jù)線性相關(guān)性更強. 7．已知回歸直線的斜率的估計值為1.23，樣本點的中心為（4,5），則回歸直線方程是________． 8．某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤恚? 　學(xué)生 學(xué)科　　　 A B C D E 數(shù)學(xué)成績（x） 88 76 73 66 63 物理成績（y） 78 65 71 64 61 （1）畫出散點圖； （2）求物理成績y對數(shù)學(xué)成績x的回歸方程； （3）一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是96分，試預(yù)測他的物理成績． 9．某商場為了了解毛衣的月銷售量（件）與月平均氣溫（℃）之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4個月的月銷售量與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表： 月平均氣溫（℃） 17 13 8 2 月銷售量（件） 24 33 40 55 由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程中的，氣象部門預(yù)測下個月的平均氣溫約為℃，據(jù)此估計該商場下個月毛衣銷售量約為件 A．46 B．40 C．70 D．58 10．已知方程是根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)報她的體重的回歸方程，其中x的單位是cm，的單位是kg，那么針對某個體（160，53）的殘差是________． 11．某學(xué)生課外活動興趣小組對兩個相關(guān)變量收集到5組數(shù)據(jù)如下表： x 10 20 30 40 50 y 62 ■ 75 81 89 由最小二乘法求得回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)模糊不清，請推斷該點數(shù)據(jù)的值為________． 12．某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100棵種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料： 日期 12月 1日 12月 2日 12月 3日 12月 4日 12月 5日 溫差x（℃） 10 11 13 12 8 發(fā)芽y（顆） 23 25 30 26 16 該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，剩下的2組數(shù)據(jù)用于回歸方程檢驗． （1）若選取的是12月1日與12月5日的2組數(shù)據(jù)，請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程； （2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（1）中所得的線性回歸方程是否可靠？ （3）請預(yù)測溫差為14 ℃的發(fā)芽數(shù)． 13．（xx新課標(biāo)III）下圖是我國xx年至xx生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖 （1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明； （2）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測xx我國生活垃圾無害化處理量. 附注： 參考數(shù)據(jù)：，，，≈2.646. 參考公式：相關(guān)系數(shù) 回歸方程 中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： 1．C【解析】因為由，得，若變量x每增加1個單位，則y平均減少2.5個單位，故選C. 2．B【解析】∵，∴當(dāng)越大時，越小，即殘差平方和越小，故選B. 3．C 【解析】R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好，故選C. 4．D 【解析】根據(jù)回歸分析的思想，可知對兩個變量x，y進行回歸分析時，應(yīng)先收集數(shù)據(jù)（xi，yi），然后繪制散點圖，再求回歸方程，最后對所求的回歸方程作出解釋，因此選D. 5．D【解析】理解線性回歸模型中隨機誤差e的含義是解決此問題的關(guān)鍵，隨機誤差可能由于觀測工具及技術(shù)產(chǎn)生，也可能因忽略某些因素產(chǎn)生，也可以是回歸模型產(chǎn)生，但不是計算錯誤． 6．D(3,10)【解析】根據(jù)散點圖判斷兩變量的線性相關(guān)性，樣本數(shù)據(jù)點越集中在某一直線附近，其線性相關(guān)性越強，顯然去掉D(3,10)后，其余各點更能集中在某一直線的附近，即線性相關(guān)性更強． 7．【解析】由斜率的估計值為1.23，且回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心（4,5），可得，即. 8．【解析】（1）散點圖如下圖所示： （2）由圖可看出，這些點在一條直線附近，可以用線性回歸方程來刻畫與之間的關(guān)系，因為. . . . ∴. ∴. ∴y對x的線性回歸方程是. （3）當(dāng)時，. 所以預(yù)測他的物理成績是82分． 9．C 【解析】由表格得為（10，38）， ∵在回歸直線上， ∴，解得=58，∴， 當(dāng)時，．故選C． 10．【解析】把代入， 得， 所以殘差. 11．68 【解析】由題意可得， 設(shè)要求的數(shù)據(jù)為，則有，因為回歸直線過樣本點的中心，所以， 解得. 12．【解析】　（1）由數(shù)據(jù)求得，，. 由公式求得，. 所以y關(guān)于x的線性回歸方程為. （2）當(dāng)時，； 當(dāng)時，，. 所以該研究所得到的線性回歸方程是可靠的． （3）當(dāng)時，有， 所以當(dāng)溫差為14 ℃時的發(fā)芽數(shù)約為32顆. 13．【解析】（1）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得 ，，， ， . 因為與的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明與的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系. （2）由及（1）得， . 所以，關(guān)于的回歸方程為：. 將xx對應(yīng)的代入回歸方程得：. 所以預(yù)測xx我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.