2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.6空間向量及其運算教案 理 新人教A版 .DOC

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.6空間向量及其運算教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.考查空間向量的線性運算及其數(shù)量積；2.利用向量的數(shù)量積判斷向量的關(guān)系與垂直；3.考查空間向量基本定理及其意義． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.和平面向量類比理解空間向量的概念、運算；2.掌握空間向量的共線、垂直的條件，理解空間向量基本定理和數(shù)量積． 1． 空間向量的有關(guān)概念 (1)空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量． (3)共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一個平面的向量． 2． 共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理 (1)共線向量定理 對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使得a＝λb. 推論　如圖所示，點P在l上的充要條件是＝＋ta① 其中a叫直線l的方向向量，t∈R，在l上?。絘，則①可化為＝＋t或＝(1－t)＋t. (2)共面向量定理的向量表達式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b為不共線向量，推論的表達式為＝x＋y或?qū)臻g任意一點O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝__1__. (3)空間向量基本定理 如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空間的一個基底． 3． 空間向量的數(shù)量積及運算律 (1)數(shù)量積及相關(guān)概念 ①兩向量的夾角 已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b. ②兩向量的數(shù)量積 已知空間兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，記作ab，即ab＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空間向量數(shù)量積的運算律 ①結(jié)合律：(λa)b＝λ(ab)； ②交換律：ab＝ba； ③分配律：a(b＋c)＝ab＋ac. 4． 空間向量的坐標表示及應(yīng)用 (1)數(shù)量積的坐標運算 設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 則ab＝a1b1＋a2b2＋a3b3. (2)共線與垂直的坐標表示 設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 則a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R)， a⊥b?ab＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)． (3)模、夾角和距離公式 設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 則|a|＝＝， cos〈a，b〉＝＝ . 設(shè)A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， 則dAB＝||＝. [難點正本　疑點清源] 1． 空間向量是由平面向量拓展而來的，因此空間向量的概念和性質(zhì)與平面向量的概念和性質(zhì)相同或相似，故在學(xué)習(xí)空間向量時，如果注意與平面向量的相關(guān)內(nèi)容相類比進行學(xué)習(xí)，將達到事半功倍的效果．比如： (1)定義式：ab＝|a||b|cos〈a，b〉或cos〈a，b〉＝，用于求兩個向量的數(shù)量積或夾角； (2)非零向量a，b，a⊥b?ab＝0，用于證明兩個向量的垂直關(guān)系； (3)|a|2＝aa，用于求距離等等． 2． 用空間向量解決幾何問題的一般步驟： (1)適當(dāng)?shù)倪x取基底{a，b，c}； (2)用a，b，c表示相關(guān)向量； (3)通過運算完成證明或計算問題． 1． 已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，則(a＋b)(a－b)的值為________． 答案　－13 解析　∵a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2,1，－6)， ∴(a＋b)(a－b)＝－20－5＋12＝－13. 2． 下列命題： ①若A、B、C、D是空間任意四點，則有＋＋＋＝0； ②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共線的充要條件； ③若a、b共線，則a與b所在直線平行； ④對空間任意一點O與不共線的三點A、B、C，若＝x＋y＋z (其中x、y、z∈R)，則P、A、B、C四點共面． 其中不正確的所有命題的序號為__________． 答案?、冖邰? 解析?、僦兴狞c恰好圍成一封閉圖形，正確； ②中當(dāng)a、b同向時，應(yīng)有|a|＋|b|＝|a＋b|； ③中a、b所在直線可能重合； ④中需滿足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四點共面． 3． 同時垂直于a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)的單位向量是____________________． 答案　或 解析　設(shè)與a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)同時垂直b單位向量是c＝(p，q，r)，則 解得或 即同時垂直a，b的單位向量為 或. 4． 如圖所示，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是 (　　) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c 答案　A 解析　＝＋＝＋(－) ＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c. 5. 如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別在A1D、AC上， 且A1E＝A1D，AF＝AC，則 (　　) A．EF至多與A1D、AC之一垂直 B．EF與A1D、AC都垂直 C．EF與BD1相交 D．EF與BD1異面 答案　B 解析　設(shè)AB＝1，以D為原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標系，則A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F(xiàn)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，＝，＝(－1，－1，1)，＝－，＝＝0，從而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.  題型一　空間向量的線性運算 例1　三棱錐O—ABC中，M，N分別是OA，BC的中點，G是△ABC 的重心，用基向量，，表示，. 思維啟迪：利用空間向量的加減法和數(shù)乘運算表示即可． 解?。剑剑? ＝＋(－) ＝＋[(＋)－] ＝－＋＋. ＝＋＝－＋＋ ＝＋＋. 探究提高　用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量，我們可把這個法則稱為向量加法的多邊形法則．在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間仍然成立． 如圖所示，ABCD－A1B1C1D1中，ABCD是平行四邊形．若＝，＝2，若＝b，＝c，＝a，試用a，b，c表示. 解　如圖，連接AF，則＝＋. 由已知ABCD是平行四邊形， 故＝＋＝b＋c， ＝＋＝－a＋c. 由已知，＝2，∴＝＋ ＝－＝－ ＝c－(c－a)＝(a＋2c)， 又＝－＝－(b＋c)， ∴＝＋＝－(b＋c) ＋(a＋2c)＝(a－b＋c)． 題型二　共線定理、共面定理的應(yīng)用 例2　已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、 DA的中點， (1)求證：E、F、G、H四點共面； (2)求證：BD∥平面EFGH； (3)設(shè)M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有＝(＋＋＋)． 思維啟迪：對于(1)只要證出向量與共線即可；對于(2)只要證出＝＋即可；對于(3)，易知四邊形EFGH為平行四邊形，則點M為線段EG與FH的中點，于是向量可由向量和表示，再將與分別用向量，和向量，表示． 證明　(1)連接BG， 則＝＋ ＝＋(＋) ＝＋＋＝＋， 由共面向量定理的推論知： E、F、G、H四點共面． (2)因為＝－ ＝－＝(－)＝， 所以EH∥BD. 又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH. (3)找一點O，并連接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG. 由(2)知＝，同理＝， 所以＝，即EH綊FG， 所以四邊形EFGH是平行四邊形． 所以EG，F(xiàn)H交于一點M且被M平分． 故＝(＋)＝＋ ＝＋ ＝(＋＋＋)． 探究提高　在求一個向量由其他向量來表示的時候，通常是利用向量的三角形法則、平行四邊形法則和共線向量的特點，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，進行求解．若要證明兩直線平行，只需判定兩直線所在的向量滿足線性a＝λb關(guān)系，即可判定兩直線平行． 如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，D為BC邊上的中點， 求證：A1B∥平面AC1D. 證明　設(shè)＝a，＝c，＝b， 則＝＋＝＋ ＝a＋c， ＝＋＝＋＝－a＋b， ＝＋＝－＋＝b－a＋c， ＝－2， ∵A1B?平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D. 題型三　空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 例3　已知空間三點A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)． (1)求以，為邊的平行四邊形的面積； (2)若|a|＝，且a分別與，垂直，求向量a的坐標． 思維啟迪：利用兩個向量的數(shù)量積可以求向量的模和兩個向量的夾角． 解　(1)由題意可得： ＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)， ∴cos〈，〉＝ ＝＝＝. ∴sin〈，〉＝， ∴以，為邊的平行四邊形的面積為 S＝2||||sin〈，〉 ＝14＝7. (2)設(shè)a＝(x，y，z)， 由題意得， 解得或， ∴向量a的坐標為(1,1,1)或(－1，－1，－1)． 探究提高　(1)當(dāng)題目條件有垂直關(guān)系時，常轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為零進行應(yīng)用； (2)當(dāng)異面直線所成的角為α?xí)r，常利用它們所在的向量轉(zhuǎn)化為向量的夾角θ來進行計算； (3)通過數(shù)量積可以求向量的模. 如圖所示，平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，以頂點A 為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60. (1)求AC1的長； (2)求BD1與AC夾角的余弦值． 解　(1)記＝a，＝b，＝c， 則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60， ∴ab＝bc＝ca＝. ||2＝(a＋b＋c)2 ＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca) ＝1＋1＋1＋2＝6， ∴||＝，即AC1的長為. (2)＝b＋c－a，＝a＋b， ∴||＝，||＝， ＝(b＋c－a)(a＋b) ＝b2－a2＋ac＋bc＝1. ∴cos〈，〉＝＝. ∴AC與BD1夾角的余弦值為. 空間向量運算錯誤 典例：(12分)如圖所示，在各個面都是平行四邊形的四棱柱 ABCD—A1B1C1D1中，P是CA1的中點，M是CD1的中點，N 是C1D1的中點，點Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1，設(shè) ＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示以下向量： (1)；(2)；(3)；(4). 易錯分析　解本題易出錯的地方就是對空間向量加減法的運算，特別是減法運算理解不清，如把誤認為是－；另一個錯誤是向量的數(shù)乘表示不準，如把＝，誤認為＝. 規(guī)范解答 解　如圖連接AC，AD1. (1)＝(＋) ＝(＋＋) ＝(a＋b＋c)．[3分] (2)＝(＋)＝(＋2＋) ＝(a＋2b＋c)．[6分] (3)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝(＋2＋2)＝(a＋2b＋2c) ＝a＋b＋c.[9分] (4)＝＋＝＋(－) ＝＋＝＋＋ ＝a＋b＋c.[12分] 溫馨提醒　(1)空間向量的加減法運算和數(shù)乘是表示向量的基礎(chǔ)；(2)空間任一向量用一組基底表示是唯一的；(3)空間向量共線和兩直線平行是不同的. 方法與技巧 1．利用向量的線性運算和空間向量基本定理表示向量是向量應(yīng)用的基礎(chǔ)． 2．利用共線向量定理、共面向量定理可以證明一些平行、共面問題；利用數(shù)量積運算可以解決一些距離、夾角問題． 3．利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運算或證明去解決問題． 失誤與防范 1．向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，但不滿足結(jié)合律，即ab＝ba，a(b＋c)＝ab＋ac成立，(ab)c＝a(bc)不一定成立． 2．用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問題一般用向量共線定理；求兩點間距離或某一線段的長度，一般用向量的模來解決；解決垂直問題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零；求異面直線所成的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應(yīng)進行轉(zhuǎn)化．  A組　專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． 已知O，A，B，C為空間四個點，又，，為空間的一個基底，則 (　　) A．O，A，B，C四點不共線 B．O，A，B，C四點共面，但不共線 C．O，A，B，C四點中任意三點不共線 D．O，A，B，C四點不共面 答案　D 解析　，，為空間的一個基底，所以，，不共面，但A，B，C三種情況都有可能使，，共面． 2． 已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，則λ與μ的值可以是 (　　) A．2， B．－， C．－3,2 D．2,2 答案　A 解析　由題意知：解得或 3. 如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E為PB的 中點，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直線分別為 x，y，z軸建立空間直角坐標系，則點E的坐標為 (　　) A．(1,1,1) B. C. D．(1,1,2) 答案　A 解析　設(shè)PD＝a (a>0)，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E， ∴＝(0,0，a)，＝， ∵cos〈，〉＝，∴＝a，∴a＝2. ∴E的坐標為(1,1,1)． 4． 如圖所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120，PA＝AB＝BC＝6， 則PC等于 (　　) A．6 B．6 C．12 D．144 答案　C 解析　因為＝＋＋， 所以2＝2＋2＋2＋2 ＝36＋36＋36＋236cos 60＝144. 所以||＝12. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5. 在四面體O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點，E為 AD的中點，則＝______________(用a，b，c表示)． 答案　a＋b＋c 解析　＝＋＝＋＋ ＝a＋b＋c. 6． 若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a與b的夾角的余弦值為，則λ＝________. 答案?。?或 解析　由已知得＝＝， ∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝. 7． 在空間直角坐標系中，以點A(4,1,9)、B(10，－1,6)、C(x,4,3)為頂點的△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，則實數(shù)x的值為________． 答案　2 解析　由題意知＝0，||＝||，可解得x＝2. 三、解答題(共22分) 8． (10分)如圖，已知M、N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD 的重心，且G為AM上一點，且GM∶GA＝1∶3.求證：B、G、N三 點共線． 證明　設(shè)＝a，＝b，＝c， 則＝＋＝＋ ＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c， ＝＋＝＋(＋) ＝－a＋b＋c＝. ∴∥，即B、G、N三點共線． 9． (12分)已知空間中三點A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)a＝，b＝. (1)求向量a與向量b的夾角的余弦值； (2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求實數(shù)k的值． 解　(1)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)， ∴ab＝(1,1,0)(－1,0,2)＝－1， 又|a|＝＝， |b|＝＝， ∴cos〈a，b〉＝＝＝－， 即向量a與向量b的夾角的余弦值為－. (2)方法一　∵ka＋b＝(k－1，k,2)． ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b與ka－2b互相垂直， ∴(k－1，k,2)(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0， ∴k＝2或k＝－，∴當(dāng)ka＋b與ka－2b互相垂直時，實數(shù)k的值為2或－. 方法二　由(2)知|a|＝，|b|＝，ab＝－1， ∴(ka＋b)(ka－2b)＝k2a2－kab－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－. B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 有下列命題： ①若p＝xa＋yb，則p與a，b共面； ②若p與a，b共面，則p＝xa＋yb； ③若＝x＋y，則P，M，A、B共面； ④若P，M，A，B共面，則＝x＋y. 其中真命題的個數(shù)是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　其中①③為真命題． 2． 正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為a，點M在AC1上且＝，N為B1B的中點，則||為 (　　) A.a B.a C.a D.a 答案　A 解析　以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz， 則A(a,0,0)，C1(0，a，a)， N. 設(shè)M(x，y，z)． ∵點M在AC1上且＝， ∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z) ∴x＝a，y＝，z＝.∴M， ∴||＝＝a. 3. 如圖所示，已知空間四邊形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝， 則cos〈，〉的值為 (　　) A．0 B. C. D. 答案　A 解析　設(shè)＝a，＝b，＝c， 由已知條件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|， ＝a(c－b)＝ac－ab ＝|a||c|－|a||b|＝0， ∴cos〈，〉＝0. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 已知a＋3b與7a－5b垂直，且a－4b與7a－2b垂直，則〈a，b〉＝________. 答案　60 解析　由條件知(a＋3b)(7a－5b) ＝7|a|2＋16ab－15|b|2＝0， 及(a－4b)(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30ab＝0. 兩式相減，得46ab＝23|b|2，∴ab＝|b|2. 代入上面兩個式子中的任意一個，即可得到|a|＝|b|. ∴cos〈a，b〉＝＝＝. ∵〈a，b〉∈[0，180]，∴〈a，b〉＝60. 5. 如圖所示，已知二面角α—l—β的平面角為θ ，AB⊥BC， BC⊥CD，AB在平面β內(nèi)，BC在l上，CD在平面α內(nèi)，若AB＝BC ＝CD＝1，則AD的長為________． 答案　 解析　＝＋＋， 所以2＝2＋2＋2＋2＋2＋2＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ. 所以||＝， 即AD的長為. 6． 已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，則|b－a|的最小值為________． 答案　 解析　b－a＝(1＋t,2t－1,0)， ∴|b－a|＝ ＝， ∴當(dāng)t＝時，|b－a|取得最小值. 三、解答題 7． (13分)直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90， D、E分別為AB、BB′的中點． (1)求證：CE⊥A′D； (2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值． (1)證明　設(shè)＝a，＝b，＝c， 根據(jù)題意，|a|＝|b|＝|c|，且ab＝bc＝ca＝0， ∴＝b＋c，＝－c＋b－a. ∴＝－c2＋b2＝0. ∴⊥，即CE⊥A′D. (2)解　∵＝－a＋c， ||＝|a|，||＝|a|. ＝(－a＋c) ＝c2＝|a|2， ∴cos〈，〉＝＝. 即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為.