2019-2020年高中數(shù)學(xué)第二冊(上)雙曲線及其標準方程(I).doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第二冊(上)雙曲線及其標準方程(I) 1．使學(xué)生掌握雙曲線的定義，熟記雙曲線的標準方程，并能初步應(yīng)用； 2．使學(xué)生初步會按特定條件求雙曲線的標準方程； 3．培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力 教學(xué)重點：標準方程及其簡單應(yīng)用 教學(xué)難點：雙曲線標準方程的推導(dǎo)及待定系數(shù)法解二元二次方程組 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 名 稱 橢 圓 雙 曲 線 圖 象 定 義 平面內(nèi)到兩定點的距離的和為常數(shù)（大于）的動點的軌跡叫橢圓。即 當(dāng)2﹥2時，軌跡是橢圓， 當(dāng)2=2時，軌跡是一條線段 當(dāng)2﹤2時，軌跡不存在 平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動點的軌跡叫雙曲線。即 當(dāng)2﹤2時，軌跡是雙曲線 當(dāng)2=2時，軌跡是兩條射線 當(dāng)2﹥2時，軌跡不存在 標準方 程 焦點在軸上時： 焦點在軸上時： 注：是根據(jù)分母的大小來判斷焦點在哪一坐標軸上 焦點在軸上時： 焦點在軸上時： 注：是根據(jù)項的正負來判斷焦點所 在的位置 常數(shù)的關(guān) 系 （符合勾股定理的結(jié)構(gòu)） ， 最大， （符合勾股定理的結(jié)構(gòu)） 最大，可以 二、講解范例： 例1 已知雙曲線的焦點在軸上，中心在原點，且點，，在此雙曲線上，求雙曲線的標準方程 分析：由于已知焦點在軸上，中心在原點，所以雙曲線的標準方程可用設(shè)出來，進行求解 本題是用待定系數(shù)法來解的，得到的關(guān)于待定系數(shù)的一個分式方程組，并且分母的次數(shù)是2，解這種方程組時利用換元法可將它化為二元二次方程組；也可將的倒數(shù)作為未知數(shù)，直接看作二元一次方程組 解：因為雙曲線的焦點在軸上，中心在原點，所以設(shè)所求雙曲線的標準方程為 （） 則有 ，即 解關(guān)于的二元一次方程組，得 所以，所求雙曲線的標準方程為 變式例題1 點A位于雙曲線上，是它的兩個焦點，求的重心G的軌跡方程 分析：要求重心的軌跡方程，必須知道三角形的三個頂點的坐標，利用相關(guān)點法進行求解 注意限制條件 解：設(shè)的重心G的坐標為，則點A的坐標為 因為點A位于雙曲線上，從而有 ，即 所以，的重心G的軌跡方程為 點評：求軌跡方程，常用的方法是直接求法和間接求法兩種 例1是直接利用待定系數(shù)法求軌跡方程 本題則是用間接法(也叫代入法)來解題，補充本例是為了進一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力 另外本題所求軌跡中包含一個隱含條件，它表現(xiàn)為軌跡上點的坐標應(yīng)滿足一個不等關(guān)系，而這一點正是學(xué)生容易忽略，造成錯誤的地方，所以講解本題有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的縝密性，養(yǎng)成嚴謹細致的學(xué)習(xí)品質(zhì) 變式例題2 已知的底邊BC長為12，且底邊固定，頂點A是動點，使，求點A的軌跡 分析：首先建立坐標系，由于點A的運動規(guī)律不易用坐標表示，注意條件的運用，可利用正弦定理將其化為邊的關(guān)系，注意有關(guān)限制條件 解：以底邊BC 為軸，底邊BC的中點為原點建立坐標系，這時 ，由得 ,即 所以，點A的軌跡是以為焦點，2=6的雙曲線的左支 其方程為： 點評：求軌跡方程的過程中，有一個重要的步驟就是找出(或聯(lián)想到)軌跡上的動點所滿足的幾何條件，列方程就是根據(jù)這些條件確定的，由于軌跡問題比較普遍，題型多樣，有些軌跡上的動點滿足的幾何條件可能比較隱蔽和復(fù)雜解決它需要突出形數(shù)結(jié)合的思考方法，運用邏輯推理，結(jié)合平面幾何的基本知識，分析、歸納，這里安排本例就是針對以上情況來進行訓(xùn)練的 例2　 一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2s． (1)爆炸點應(yīng)在什么樣的曲線上？ (2)已知A、B兩地相距800m，并且此時聲速為340 m／s，求曲線的方程． 分析：解應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型 根據(jù)本題設(shè)和結(jié)論，注意到在A處聽到爆炸聲的時間比B處晚2s,這里聲速取同一個值 解：(1)由聲速及A、B兩處聽到爆炸聲的時間差，可知A、B兩處與爆炸點的距離的差，因此爆炸點應(yīng)位于以A、B為焦點的雙曲線上 因為爆炸點離A處比離B處更遠，所以爆炸點應(yīng)在靠近B處的一支上． (2)如圖，建立直角坐標系，使A、B兩點在軸上，并且點O與線段AB的中點重合 設(shè)爆炸點P的坐標為，則 |PA|－|PB|=3402=680，即 2＝680，＝340． 又|AB|=800， ∴　 2c=800，c=400，＝44400 ∵　 |PA|－|PB|＝680＞0， ∴　 ＞0 所求雙曲線的方程為 （＞0） 例2說明，利用兩個不同的觀測點測得同一炮彈爆炸聲的時間差，可以確定爆炸點所在的雙曲線的方程，但不能確定爆炸點的準確位置．如果再增設(shè)一個觀測點C，利用B、C(或A、C)兩處測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的準確位置．這是雙曲線的一個重要應(yīng)用 想一想，如果A、B兩處同時聽到爆炸聲，那么爆炸點應(yīng)在什么樣的曲線上．（爆炸點應(yīng)在線段AB的中垂線上） 點評：本例是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用雙曲線知識解決實際問題的一道典型題目，安排在此非常有利于強化學(xué)生“應(yīng)用數(shù)學(xué)”的意識，后面對“想一想”的教學(xué)處理，有利于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性和積極性，培養(yǎng)他們的發(fā)散思維能力 例3求與圓及都外切的動圓圓心的軌跡方程 解：設(shè)動圓的半徑為r，則由動圓與定圓都外切得 ， 又因為， 由雙曲線的定義可知，點M的軌跡是雙曲線的一支 所求動圓圓心的軌跡是雙曲線的一支，其方程為： 三、課堂練習(xí)： 1．判斷方程所表示的曲線。 解：①當(dāng)時，即當(dāng)時，是橢圓； ②當(dāng)時，即當(dāng)時，是雙曲線； 2．求焦點的坐標是（-6，0）、（6，0），并且經(jīng)過點A（-5，2）的雙曲線的標準方程。 答案： 3．求經(jīng)過點和，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程答案： 4．橢圓和雙曲線有相同的焦點，則實數(shù)的值是 （ ） A B C 5 D 9 答案：B 5．已知是雙曲線的焦點，PQ是過焦點的弦，且PQ的傾斜角為600，那么的值為（答案： 4＝16） 6．設(shè)是雙曲線的焦點，點P在雙曲線上,且,則點P到軸的距離為( ) A 1 B C 2 D 答案：B 的面積為，從而有 7．P為雙曲線上一點，若F是一個焦點，以PF為直徑的圓與圓的位置關(guān)系是（） A 內(nèi)切 B 外切 C 外切或內(nèi)切 D 無公共點或相交 答案：C 四、小結(jié) ：本課著重講解了待定系數(shù)法，代入法及利用定義求雙曲線的標準方程，學(xué)習(xí)了雙曲線的一個重要應(yīng)用 五、課后作業(yè)： 六、板書設(shè)計（略） 七、課后記：