2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 12.6離散型隨機變量的均值與方差教案 理 新人教A版 .DOC
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 12.6離散型隨機變量的均值與方差教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.考查離散型隨機變量的均值的概念；2.利用均值解決一些實際問題． 復(fù)習(xí)備考要這樣做 理解隨機變量的均值、的意義、作用，能解決一些簡單的實際問題． 1． 離散型隨機變量的均值 若離散型隨機變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平． 2． 兩點分布與二項分布的均值、方差 (1)若X服從兩點分布，則E(X)＝__p__． (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝__np_． [難點正本 疑點清源] 對均值(或數(shù)學(xué)期望)的理解 (1)期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均． (2)E(X)是一個實數(shù)，由X的分布列唯一確定，即X作為隨機變量是可變的，而E(X)是不變的，它描述X值取值的平均狀態(tài)． (3)公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接給出了E(X)的求法，即隨機變量取值與相應(yīng)概率值分別相乘后相加．由此可知，求出隨機變量的數(shù)學(xué)期望關(guān)鍵在于寫出它的分布列． 1． 若隨機變量ξ的分布列如下表，則E(ξ)的值為________. ξ 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x 答案 解析 根據(jù)概率之和為1，求出x＝， 則E(ξ)＝02x＋13x＋…＋5x＝40x＝. 2． (xx浙江)某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的，記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)．若P(X＝0)＝，則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________. 答案 解析 由題意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，∴p＝. 隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)＝0＋1＋2＋3＝. 3． 某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，則y的值為 ( ) A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.9 答案 A 解析 由 可得y＝0.4. 4． 已知X的分布列為 X －1 0 1 P 設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為 ( ) A. B．4 C．－1 D．1 答案 A 解析 E(X)＝(－1)＋0＋1＝－. ∴E(Y)＝2E(X)＋3＝2＋3＝. 5． 口袋中有5只球，編號分別為1,2,3,4,5，從中任意取3只球，以X表示取出的球的最大號碼，則X的期望E(X)的值是 ( ) A．4 B．4.5 C．4.75 D．5 答案 B 解析 X的所有可能取值是3,4,5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝＝， ∴E(X)＝3＋4＋5＝4.5. 題型一 離散型隨機變量的均值 例1 (xx湖北)根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表： 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延誤天數(shù)Y 0 2 6 10 歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求： (1)工期延誤天數(shù)Y的均值； (2)在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率． 思維啟迪：先求出降水量在各范圍內(nèi)的概率，再求對應(yīng)工期延誤天數(shù)的概率，列出Y的分布列． 解 (1)由已知條件和概率的加法公式有 P(X<300)＝0.3， P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300) ＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700) ＝0.9－0.7＝0.2， P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y的分布列為 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是，E(Y)＝00.3＋20.4＋60.2＋100.1＝3； 故工期延誤天數(shù)Y的均值為3. (2)由概率的加法公式， 得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7， 又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300) ＝0.9－0.3＝0.6. 由條件概率， 得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300) ＝＝＝. 故在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率是. 探究提高 (1)求離散型隨機變量的均值關(guān)鍵是確定隨機變量的所有可能值，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值公式進(jìn)行計算． (2)概率與統(tǒng)計的結(jié)合是高考的熱點，熟練掌握基礎(chǔ)知識，理解二者的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵． 某中學(xué)在高三開設(shè)了4門選修課，每個學(xué)生必須且只需選修1門選修課．對于該年級的甲、乙、丙3名學(xué)生，回答下面的問題： (1)求這3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率； (2)某一選修課被這3名學(xué)生選修的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望． 解 (1)3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率：p1＝＝； (2)設(shè)某一選修課被這3名學(xué)生選擇的人數(shù)為ξ， 則ξ＝0,1,2,3.P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列為 Ξ 0 1 2 3 P 數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝. 題型二 二項分布的均值 例2 某人投彈命中目標(biāo)的概率p＝0.8. (1)求投彈一次，命中次數(shù)X的均值； (2)求重復(fù)10次投彈時命中次數(shù)Y的均值． 思維啟迪：投彈一次，X服從兩點分布；重復(fù)10次，Y服從二項分布． 解 (1)隨機變量X的分布列為 X 0 1 P 0.2 0.8 因為X服從兩點分布，故E(X)＝p＝0.8. (2)由題意知，命中次數(shù)Y服從二項分布， 即Y～B(10，0.8)， ∴E(Y)＝np＝100.8＝8. 探究提高 若X～B(n，p)，則E(X)＝np，可直接利用方式． 有一種舞臺燈，外形是正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1，在其每一個側(cè)面上(不在棱上)安裝5只顏色各異的彩燈，假若每只燈正常發(fā)光的概率是，若一個面上至少有3只燈發(fā)光，則不需要維修，否則需要更換這個面．假定更換一個面需100元，用ξ表示維修一次的費用． (1)求面ABB1A1需要維修的概率； (2)寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望． 解 (1)P1＝C5＋C5＋C5＝. (2)∵ξ～B， P6(0)＝，P6(1)＝， P6(2)＝，P6(3)＝，P6(4)＝， P6(5)＝，P6(6)＝， ∴ξ的分布列為 ξ 0 100 200 300 400 500 600 P E(ξ)＝1006＝300(元)． 題型三 均值與方差的應(yīng)用 例3 現(xiàn)有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資10萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、；已知乙項目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中，價格下降的概率都是p(0下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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