2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 6.4數(shù)列求和教案 理 新人教A版 .DOC
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 6.4數(shù)列求和教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.考查等差、等比數(shù)列的求和；2.以數(shù)列求和為載體，考查數(shù)列求和的各種方法和技巧；3.綜合考查數(shù)列和集合、函數(shù)、不等式、解析幾何、概率等知識的綜合問題． 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.靈活掌握數(shù)列由遞推式求通項公式的幾種方法；2.掌握必要的化歸方法與求和技巧，根據(jù)數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)特點，巧妙解決數(shù)列求和的問題． 1． 等差數(shù)列前n項和Sn＝＝na1＋d，推導(dǎo)方法：倒序相加法； 等比數(shù)列前n項和Sn＝ 推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減法． 2． 數(shù)列求和的常用方法 (1)分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列． (2)拆項相消：有時把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和. (3)錯位相減：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成的數(shù)列求和． (4)倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)． (5)并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 3． 常見的拆項公式 (1)＝－； (2)＝； (3)＝－. [難點正本 疑點清源] 1． 解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路 (1)轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相減來完成． (2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等來求和． 2． 等價轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)列問題的基本思想方法，它可將復(fù)雜的數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題來解決． 1． 在等差數(shù)列{an}中，Sn表示前n項和，a2＋a8＝18－a5，則S9＝________. 答案 54 解析 由等差數(shù)列的性質(zhì)，a2＋a8＝18－a5， 即2a5＝18－a5，∴a5＝6， ∴S9＝＝9a5＝54. 2． 等比數(shù)列{an}的公比q＝，a8＝1，則S8＝________. 答案 255 解析 由a8＝1，q＝得a1＝27， ∴S8＝＝＝28－1＝255. 3． 若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，則S50＝________. 答案?。?5 解析 S50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)25＝－25. 4． (xx天津)已知{an}為等差數(shù)列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為{an}的前n項和，n∈N*，則S10的值為 ( ) A．－110 B．－90 C．90 D．110 答案 D 解析 ∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，又∵a7是a3與a9的等比中項，∴(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20. ∴S10＝1020＋109(－2)＝110. 5． (xx大綱全國)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列的前100項和為 ( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 利用裂項相消法求和． 設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d. ∵a5＝5，S5＝15， ∴∴ ∴an＝a1＋(n－1)d＝n. ∴＝＝－， ∴數(shù)列的前100項和為1－＋－＋…＋－＝1－＝. 題型一 分組轉(zhuǎn)化求和 例1 已知數(shù)列{xn}的首項x1＝3，通項xn＝2np＋nq (n∈N*，p，q為常數(shù))，且x1，x4，x5成等差數(shù)列．求： (1)p，q的值； (2)數(shù)列{xn}前n項和Sn的公式． 思維啟迪：第(1)問由已知條件列出關(guān)于p、q的方程組求解；第(2)問分組后用等差、等比數(shù)列的求和公式求解． 解 (1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又因為x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q， 解得p＝1，q＝1. (2)由(1)，知xn＝2n＋n， 所以Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n) ＝2n＋1－2＋. 探究提高 某些數(shù)列的求和是將數(shù)列分解轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，這就要通過對數(shù)列通項結(jié)構(gòu)特點進行分析研究，將數(shù)列的通項合理分解轉(zhuǎn)化．特別注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論． 求和Sn＝1＋＋＋…＋. 解 和式中第k項為 ak＝1＋＋＋…＋＝＝2. ∴Sn＝2 ＝2[(1＋1＋…＋1－(＋＋…＋)] ＝2＝＋2n－2. 題型二 錯位相減法求和 例2 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 思維啟迪：(1)由已知寫出前n－1項之和，兩式相減．(2)bn＝n3n的特點是數(shù)列{n}與{3n}之積，可用錯位相減法． 解 (1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，① ∴當(dāng)n≥2時， a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，② ①－②得3n－1an＝，∴an＝. 在①中，令n＝1，得a1＝，適合an＝，∴an＝. (2)∵bn＝，∴bn＝n3n. ∴Sn＝3＋232＋333＋…＋n3n，③ ∴3Sn＝32＋233＋334＋…＋n3n＋1.④ ④－③得2Sn＝n3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)， 即2Sn＝n3n＋1－，∴Sn＝＋. 探究提高 解答本題的突破口在于將所給條件式視為數(shù)列{3n－1an}的前n項和，從而利用an與Sn的關(guān)系求出通項3n－1an，進而求得an；另外乘公比錯位相減是數(shù)列求和的一種重要方法，但值得注意的是，這種方法運算過程復(fù)雜，運算量大，應(yīng)加強對解題過程的訓(xùn)練，重視運算能力的培養(yǎng)． (xx遼寧)已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝0，a6＋a8＝－10. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求數(shù)列的前n項和． 解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 由已知條件可得解得. 故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2－n. (2)設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn， 即Sn＝a1＋＋…＋，① 故S1＝1，＝＋＋…＋.② 所以，當(dāng)n＞1時，①－②得 ＝a1＋＋…＋－ ＝1－(＋＋…＋)－ ＝1－(1－)－＝. 所以Sn＝.當(dāng)n＝1時也成立． 綜上，數(shù)列的前n項和Sn＝. 題型三 裂項相消法求和 例3 在數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時，其前n項和Sn滿足S＝an. (1)求Sn的表達式； (2)設(shè)bn＝，求{bn}的前n項和Tn. 思維啟迪：第(1)問利用an＝Sn－Sn－1 (n≥2)后，再同除Sn－1Sn轉(zhuǎn)化為的等差數(shù)列即可求Sn. 第(2)問求出{bn}的通項公式，用裂項相消求和． 解 (1)∵S＝an， an＝Sn－Sn－1 (n≥2)， ∴S＝(Sn－Sn－1)， 即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，① 由題意Sn－1Sn≠0， ①式兩邊同除以Sn－1Sn，得－＝2， ∴數(shù)列是首項為＝＝1，公差為2的等差數(shù)列． ∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝. (2)又bn＝＝ ＝， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)] ＝＝. 探究提高 使用裂項相消法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負相消是此法的根源與目的． 已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，前n項和為Sn，且Sn＝，n∈N*. (1)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列； (2)設(shè)bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn. (1)證明 ∵Sn＝，n∈N*， ∴當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝ (an>0)，∴a1＝1. 當(dāng)n≥2時，由 得2an＝a＋an－a－an－1. 即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， ∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1(n≥2)． 所以數(shù)列{an}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列． (2)解 由(1)可得an＝n，Sn＝， bn＝＝＝－. ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝1－＋－＋…＋－ ＝1－＝. 四審結(jié)構(gòu)定方案 典例：(12分)已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n項和為Sn. (1)求an及Sn； (2)令bn＝(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 審題路線圖 等差數(shù)列{an}中，特定項的值 ↓(a3，a5，a7即為特定項) a3＝7，a5＋a7＝26 ↓(從特定項，考慮基本量a1，d) 列方程組 ↓(根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特征，確定了方程的方法) 用公式：an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋d. ↓(將an代入化簡求bn) bn＝ ↓(根據(jù)bn的結(jié)構(gòu)特征，確定裂項相消) bn＝ ↓Tn＝ ＝＝. 規(guī)范解答 解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d. 因為a3＝7，a5＋a7＝26，所以 解得[4分] 所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1， Sn＝3n＋2＝n2＋2n.[6分] (2)由(1)知an＝2n＋1， 所以bn＝＝＝ ＝，[8分] 所以Tn＝(1－＋－＋…＋－)[10分] ＝(1－)＝， 即數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝.[12分] 溫馨提醒 本題審題的關(guān)鍵有兩個環(huán)節(jié)．一是根據(jù)a3＝7，a5＋a7＝26的特征，確定列方程組求解．二是根據(jù)數(shù)列{bn}的通項bn＝的特征，確定用裂項相消法求和．所以，在審題時，要根據(jù)數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征確定解題方案. 方法與技巧 數(shù)列求和的方法技巧 (1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和． (2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和． (3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和． 失誤與防范 1．通過數(shù)列通項公式觀察數(shù)列特點和規(guī)律，在分析數(shù)列通項的基礎(chǔ)上，判斷求和類型，尋找求和的方法，或拆為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和．求和過程中同時要對項數(shù)作出準確判斷． 2．含有字母的數(shù)列求和，常伴隨著分類討論． A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． 等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋1，其前n項和為Sn，則數(shù)列的前10項的和為 ( ) A．120 B．70 C．75 D．100 答案 C 解析 ∵＝n＋2，∴的前10項和為103＋＝75. 2． 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a9＋3a11<0，a10a11<0，且數(shù)列{an}的前n項和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時，n等于 ( ) A．20 B．17 C．19 D．21 答案 C 解析 由a9＋3a11<0，得2a10＋2a11<0，即a10＋a11<0，又a10a11<0，則a10與a11異號，因為數(shù)列{an}的前n項和Sn有最大值，所以數(shù)列{an}是一個遞減數(shù)列，則a10>0，a11<0，所以S19＝＝19a10>0，S20＝＝10(a10＋a11)<0. 3． 若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和為 ( ) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 答案 C 解析 Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2. 4． 數(shù)列{an}的通項公式為an＝(－1)n－1(4n－3)，則它的前100項之和S100等于( ) A．200 B．－200 C．400 D．－400 答案 B 解析 S100＝(41－3)－(42－3)＋(43－3)－…－(4100－3)＝4[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4(－50)＝－200. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n (n∈N*)，則S100＝________. 答案 2 600 解析 由an＋2－an＝1＋(－1)n知a2k＋2－a2k＝2， a2k＋1－a2k－1＝0，∴a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝1，數(shù)列{a2k}是等差數(shù)列，a2k＝2k. ∴S100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100) ＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋＝2 600. 6． 數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－4n＋2，則|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝________. 答案 66 解析 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝－1. 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－5. ∴an＝. 令2n－5≤0，得n≤， ∴當(dāng)n≤2時，an<0，當(dāng)n≥3時，an>0， ∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋a10)＝S10－2S2＝66. 7． (xx課標全國)數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項和為________． 答案 1 830 解析 利用數(shù)列的遞推式的意義結(jié)合等差數(shù)列求和公式求解． ∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1， ∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1， ∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝＝1 830. 三、解答題(共22分) 8． (10分)求和：(1)Sn＝＋＋＋＋…＋； (2)Sn＝2＋2＋…＋2. 解 (1)由于an＝＝n＋， ∴Sn＝＋＋＋…＋ ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋ ＝＋＝－＋1. (2)當(dāng)x＝1時，Sn＝4n.當(dāng)x≠1時， Sn＝2＋2＋…＋2 ＝＋＋…＋ ＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋ ＝＋＋2n ＝＋2n. ∴Sn＝ 9． (12分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)當(dāng)bn＝log(3an＋1)時，求證：數(shù)列的前n項和Tn＝. (1)解 由已知得 (n≥2)， 得到an＋1＝an (n≥2)． ∴數(shù)列{an}是以a2為首項，以為公比的等比數(shù)列． 又a2＝S1＝a1＝， ∴an＝a2n－2 ＝n－2 (n≥2)． ∴an＝ (2)證明 bn＝log(3an＋1)＝log＝n. ∴＝＝－. ∴Tn＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋ ＝1－＝. B組 專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 已知等比數(shù)列{an}的各項均為不等于1的正數(shù)，數(shù)列{bn}滿足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，則數(shù)列{bn}的前n項和的最大值等于 ( ) A．126 B．130 C．132 D．134 答案 C 解析 bn＋1－bn＝lg an＋1－lg an＝lg ＝lg q(常數(shù))， ∴{bn}為等差數(shù)列．∴∴ 由bn＝－2n＋24≥0，得n≤12，∴{bn}的前11項為正，第12項為零，從第13項起為負，∴S11、S12最大且S11＝S12＝132. 2． 數(shù)列an＝，其前n項之和為，則在平面直角坐標系中，直線(n＋1)x＋y＋n＝0在y軸上的截距為 ( ) A．－10 B．－9 C．10 D．9 答案 B 解析 數(shù)列的前n項和為 ＋＋…＋＝1－＝＝， ∴n＝9，∴直線方程為10x＋y＋9＝0. 令x＝0，得y＝－9，∴在y軸上的截距為－9. 3． 已知數(shù)列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…這個數(shù)列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數(shù)列的前2 013項之和S2 013等于 ( ) A．1 B．2 010 C．4 018 D．0 答案 C 解析 由已知得an＝an－1＋an＋1 (n≥2)，∴an＋1＝an－an－1. 故數(shù)列的前8項依次為2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1，2 008,2 009.由此可知數(shù)列為周期數(shù)列，周期為6，且S6＝0.∵2 013＝6335＋3，∴S2 013＝S3＝4 018. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n－1，則a＋a＋…＋a＝________. 答案 (4n－1) 解析 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1， 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1， 又∵a1＝1適合上式．∴an＝2n－1，∴a＝4n－1. ∴數(shù)列{a}是以a＝1為首項，以4為公比的等比數(shù)列． ∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)． 5． 若數(shù)列{an}是正項數(shù)列，且＋＋…＋＝n2＋3n (n∈N*)，則＋＋…＋＝__________. 答案 2n2＋6n 解析 令n＝1得＝4，即a1＝16，當(dāng)n≥2時，＝(n2＋3n)－[(n－1)2＋3(n－1)]＝2n＋2，所以an＝4(n＋1)2，當(dāng)n＝1時，也適合上式，所以an＝4(n＋1)2 (n∈N*)．于是＝4(n＋1)，故＋＋…＋＝2n2＋6n. 6． 已知數(shù)列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，則這個數(shù)列前30項的絕對值的和是________． 答案 765 解析 由題意知{an}是等差數(shù)列，an＝－60＋3(n－1)＝3n－63，令an≥0，解得n≥21. ∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30| ＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋(a21＋…＋a30) ＝S30－2S20＝－(－60＋60－63)20＝765. 三、解答題 7． (13分)(xx四川)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2an＝S2＋Sn對一切正整數(shù)n都成立． (1)求a1，a2的值； (2)設(shè)a1>0，數(shù)列的前n項和為Tn，當(dāng)n為何值時，Tn最大？并求出Tn的最大值． 解 (1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，① 取n＝2，得a＝2a1＋2a2.② 由②－①，得a2(a2－a1)＝a2.③ 若a2＝0，由①知a1＝0； 若a2≠0，由③知a2－a1＝1.④ 由①④解得a1＝＋1，a2＝2＋或a1＝1－， a2＝2－. 綜上可得，a1＝0，a2＝0或a1＝＋1，a2＝＋2或a1＝1－，a2＝2－. (2)當(dāng)a1>0時，由(1)知a1＝＋1，a2＝＋2. 當(dāng)n≥2時，有(2＋)an＝S2＋Sn， (2＋)an－1＝S2＋Sn－1. 所以(1＋)an＝(2＋)an－1，即an＝an－1(n≥2)． 所以an＝a1()n－1＝(＋1)()n－1. 令bn＝lg ， 則bn＝1－lg()n－1＝1－(n－1)lg 2＝lg . 所以數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列. 從而b1>b2>…>b7＝lg >lg 1＝0. 當(dāng)n≥8時，bn≤b8＝lg下載提示(請認真閱讀)
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