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2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 9.5橢圓教案 理 新人教A版
xx高考會這樣考 1.考查橢圓的定義及應用；2.考查橢圓的方程、幾何性質；3.考查直線與橢圓的位置關系．
復習備考要這樣做 1.熟練掌握橢圓的定義、幾何性質；2.會利用定義法、待定系數(shù)法求橢圓方程；3.重視數(shù)學思想方法的應用，體會解析幾何的本質——用代數(shù)方法求解幾何問題．
1． 橢圓的概念
在平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：
(1)若a>c，則集合P為橢圓；
(2)若a＝c，則集合P為線段；
(3)若a
b>0)
＋＝1(a>b>0)
圖形
性
質
范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對稱性
對稱軸：坐標軸 對稱中心：原點
頂點
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
軸
長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的關系
c2＝a2－b2
[難點正本 疑點清源]
1． 橢圓焦點位置與x2，y2系數(shù)間的關系：
給出橢圓方程＋＝1時，橢圓的焦點在x軸上?m>n>0，橢圓的焦點在y軸上?02，即k<1，又k>0，∴0b>0)的半焦距為c，若直線y＝2x與橢圓的一個交點P的橫坐標恰為c，則橢圓的離心率為 ( )
A. B.
C.－1 D.－1
答案 D
解析 依題意有P(c,2c)，點P在橢圓上，
所以有＋＝1，
整理得b2c2＋4a2c2＝a2b2，
又因為b2＝a2－c2，代入得c4－6a2c2＋a4＝0，
即e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3－2(3＋2舍去)，
從而e＝－1.
題型一 求橢圓的標準方程
例1 (1)若橢圓短軸的一個端點與兩焦點組成一個正三角形；且焦點到同側頂點的距離為，則橢圓的標準方程為____________；
(2)(xx課標全國)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么橢圓C的方程為__________．
思維啟迪：根據(jù)橢圓的定義和幾何性質確定橢圓的基本量．
答案 (1)＋＝1或＋＝1
(2)＋＝1
解析 (1)由已知∴
從而b2＝9，∴所求橢圓的標準方程為
＋＝1或＋＝1.
(2)設橢圓方程為＋＝1 (a>b>0)，由e＝知＝，
故＝.
由于△ABF2的周長為|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，
故a＝4.
∴b2＝8.
∴橢圓C的方程為＋＝1.
探究提高 求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再根據(jù)條件建立關于a，b的方程組．如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設為mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)的形式．
已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1 (a>b>0)的左，右焦點，A，B分別是此橢圓的右頂點和上頂點，P是橢圓上一點，OP∥AB，PF1⊥x軸，|F1A|＝＋，則此橢圓的方程是____________．
答案 ＋＝1
解析 由于直線AB的斜率為－，故OP的斜率為－，直線OP的方程為y＝－x.與橢圓方程＋＝1聯(lián)立，解得x＝a.因為PF1⊥x軸，所以x＝－a，
從而－a＝－c，即a＝c.又|F1A|＝a＋c＝＋，
故c＋c＝＋，解得c＝，從而a＝.
所以所求的橢圓方程為＋＝1.
題型二 橢圓的幾何性質
例2 已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2＝60.
(1)求橢圓離心率的范圍；
(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關．
思維啟迪：(1)在△PF1F2中，使用余弦定理和|PF1|＋|PF2|＝2a，可求|PF1||PF2|與a，c的關系，然后利用基本不等式找出不等關系，從而求出e的范圍；
(2)利用S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin 60可證．
(1)解 設橢圓方程為＋＝1 (a>b>0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos 60＝(m＋n)2－3mn
＝4a2－3mn≥4a2－32＝4a2－3a2＝a2
(當且僅當m＝n時取等號)．∴≥，即e≥.
又0b>0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，∠F1AF2＝60.
(1)求橢圓C的離心率；
(2)已知△AF1B的面積為40，求a，b的值．
解 (1)由題意可知，△AF1F2為等邊三角形，a＝2c，
所以e＝.
(2)方法一 a2＝4c2，b2＝3c2，直線AB的方程為
y＝－(x－c)，
將其代入橢圓方程3x2＋4y2＝12c2，得B，
所以|AB|＝＝c.
由S△AF1B＝|AF1||AB|sin∠F1AB＝ac＝a2＝40，解得a＝10，b＝5.
方法二 設|AB|＝t.因為|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.
由橢圓定義|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，
再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60可得，t＝a.
由S△AF1B＝aa＝a2＝40 知，
a＝10，b＝5.
題型三 直線與橢圓的位置關系
例3 (xx北京)已知橢圓G：＋y2＝1.過點(m,0)作圓x2＋y2＝1的切線l交橢圓G于A，B兩點．
(1)求橢圓G的焦點坐標和離心率；
(2)將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．
思維啟迪：對于直線和橢圓的交點問題，一般要轉化為方程組解的問題，充分體現(xiàn)數(shù)形結合思想．
解 (1)由已知得a＝2，b＝1，所以c＝＝.
所以橢圓G的焦點坐標為(－，0)，(，0)．
離心率為e＝＝.
(2)由題意知，|m|≥1.
當m＝1時，切線l的方程為x＝1，點A，B的坐標分別為(1，)，(1，－)．此時|AB|＝.
當m＝－1時，同理可得|AB|＝.
當|m|＞1時，設切線l的方程為y＝k(x－m)．
由
得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.
設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則
x1＋x2＝，x1x2＝.
又由l與圓x2＋y2＝1相切，得＝1，
即m2k2＝k2＋1.
所以|AB|＝
＝
＝
＝.
由于當m＝1時，|AB|＝，
所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
因為|AB|＝＝≤2，
且當m＝時，|AB|＝2，
所以|AB|的最大值為2.
探究提高 (1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．
(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
設F1、F2分別是橢圓E：x2＋＝1(0b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2.點P(a，b)滿足|PF2|＝|F1F2|.
(1)求橢圓的離心率e.
(2)設直線PF2與橢圓相交于A，B兩點．若直線PF2與圓(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N兩點，且|MN|＝|AB|，求橢圓的方程．
審題視角 第(1)問由|PF2|＝|F1F2|建立關于a、c的方程；第(2)問可以求出點A、B的坐標或利用根與系數(shù)的關系求|AB|均可，再利用圓的知識求解．
規(guī)范解答
解 (1)設F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)，因為|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c.整理得2()2＋－1＝0，得＝－1(舍)，或＝.所以e＝.[4分]
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得橢圓方程為3x2＋4y2＝12c2，直線PF2的方程為y＝(x－c)．
A，B兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得5x2－8cx＝0.
解得x1＝0，x2＝c.[6分]
得方程組的解
不妨設A(c，c)，B(0，－c)，
所以|AB|＝＝c.[8分]
于是|MN|＝|AB|＝2c.
圓心(－1，)到直線PF2的距離
d＝＝.[10分]
因為d2＋()2＝42，
所以(2＋c)2＋c2＝16.
整理得7c2＋12c－52＝0，得c＝－(舍)，或c＝2.
所以橢圓方程為＋＝1.[12分]
溫馨提醒 (1)解決與弦長有關的橢圓方程問題，首先根據(jù)題設條件設出所求的橢圓方程，再由直線與橢圓聯(lián)立，結合根與系數(shù)的關系及弦長公式求出待定系數(shù)．
(2)用待定系數(shù)法求橢圓方程時，可盡量減少方程中的待定系數(shù)(本題只有一個c)，這樣可避免繁瑣的運算．
方法與技巧
1． 求橢圓的標準方程時，應從“定形”“定式”“定量”三個方面去思考．“定形”就是指橢圓的對稱中心在原點，以坐標軸為對稱軸的情況下，能否確定橢圓的焦點在哪個坐標軸上．“定式”就是根據(jù)“形”設出橢圓方程的具體形式，“定量”就是指利用定義和已知條件確定方程中的系數(shù)a，b或m，n.
2． 討論橢圓的幾何性質時，離心率問題是重點，求離心率的常用方法有以下兩種：
(1)求得a，c的值，直接代入公式e＝求得；
(2)列出關于a，b，c的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)b2＝a2－c2，消去b，轉化成關于e的方程(或不等式)求解．
失誤與防范
1． 判斷兩種標準方程的方法為比較標準形式中x2與y2的分母大?。?
2． 注意橢圓的范圍，在設橢圓＋＝1 (a>b>0)上點的坐標為P(x，y)時，則|x|≤a，這往往在求與點P有關的最值問題中特別有用，也是容易被忽略而導致求最值錯誤的原因．
3． 注意橢圓上點的坐標范圍，特別是把橢圓上某一點坐標視為某一函數(shù)問題，求函數(shù)的單調區(qū)間、最值時有重要意義．
A組 專項基礎訓練
(時間：35分鐘，滿分：57分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1． (xx江西)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別是A、B，左、右焦點分別是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為 ( )
A. B. C. D.－2
答案 B
解析 由題意知|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，
且三者成等比數(shù)列，則|F1F2|2＝|AF1||F1B|，
即4c2＝a2－c2，a2＝5c2，
所以e2＝，所以e＝.
2． 已知橢圓C的短軸長為6，離心率為，則橢圓C的焦點F到長軸的一個端點的距離為
( )
A．9 B．1
C．1或9 D．以上都不對
答案 C
解析 ，解得a＝5，b＝3，c＝4.
∴橢圓C的焦點F到長軸的一個端點的距離為a＋c＝9或a－c＝1.
3． 已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為，且它的長軸長等于圓C：x2＋y2－2x－15＝0的半徑，則橢圓的標準方程是 ( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 由 x2＋y2－2x－15＝0，知r＝4＝2a?a＝2.
又e＝＝，c＝1，則b2＝a2－c2＝3.
4． 已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點分別為F1、F2，點M在該橢圓上，且＝0，則點M到y(tǒng)軸的距離為 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由題意，得F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)．
設M(x，y)，則＝(－－x，－y)(－x，－y)＝0，
整理得x2＋y2＝3.①
又因為點M在橢圓上，故＋y2＝1，
即y2＝1－.②
將②代入①，得x2＝2，解得x＝.
故點M到y(tǒng)軸的距離為.
二、填空題(每小題5分，共15分)
5． 已知F1、F2是橢圓C的左、右焦點，點P在橢圓上，且滿足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30，則橢圓的離心率為____________．
答案
解析 在三角形PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝，設|PF2|＝1，則|PF1|＝2，|F2F1|＝，所以離心率e＝＝.
6． 已知橢圓＋＝1的焦點分別是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點，若連接F1，F(xiàn)2，P三點恰好能構成直角三角形，則點P到y(tǒng)軸的距離是________．
答案
解析 F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)，∵3<4，
∴∠F1F2P＝90或∠F2F1P＝90.
設P(x,3)，代入橢圓方程得x＝.
即點P到y(tǒng)軸的距離是.
7. 如圖所示，A，B是橢圓的兩個頂點，C是AB的中點，F(xiàn)為橢圓的
右焦點，OC的延長線交橢圓于點M，且|OF|＝，若MF⊥OA，
則橢圓的方程為__________．
答案?。?
解析 設所求的橢圓方程為＋＝1 (a>b>0)，
則A(a,0)，B(0，b)，C，F(xiàn)(，0)．
依題意，得＝，F(xiàn)M的直線方程是x＝，
所以M.
由于O，C，M三點共線，所以＝，
即a2－2＝2，所以a2＝4，b2＝2.
所求方程是＋＝1.
三、解答題(共22分)
8． (10分)已知橢圓的兩焦點為F1(－1,0)、F2(1,0)，P為橢圓上一點，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1)求此橢圓的方程；
(2)若點P在第二象限，∠F2F1P＝120，求△PF1F2的面積．
解 (1)依題意得|F1F2|＝2，
又2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，
∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a.∴a＝2，c＝1，b2＝3.
∴所求橢圓的方程為＋＝1.
(2)設P點坐標為(x，y)，∵∠F2F1P＝120，
∴PF1所在直線的方程為y＝(x＋1)tan 120，
即y＝－(x＋1)．
解方程組
并注意到x<0，y>0，可得
∴S△PF1F2＝|F1F2|＝.
9． (12分)(xx安徽)如圖，點F1(－c，0)，F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓C：＋
＝1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1作x軸的垂線交橢圓C的上
半部分于點P，過點F2作直線PF2的垂線交直線x＝于點Q.
(1)如果點Q的坐標是(4,4)，求此時橢圓C的方程；
(2)證明：直線PQ與橢圓C只有一個交點．
(1)解 方法一 由條件知，P，故直線PF2的斜率為kPF2＝＝－.
因為PF2⊥F2Q，
所以直線F2Q的方程為y＝x－，故Q.
由題設知，＝4,2a＝4，解得a＝2，c＝1.
故橢圓方程為＋＝1.
方法二 設直線x＝與x軸交于點M.
由條件知，P.
因為△PF1F2∽△F2MQ，所以＝，
即＝，解得|MQ|＝2a.
所以解得
故橢圓方程為＋＝1.
(2)證明 直線PQ的方程為＝，
即y＝x＋a.
將上式代入＋＝1得x2＋2cx＋c2＝0，
解得x＝－c，y＝.
所以直線PQ與橢圓C只有一個交點．
B組 專項能力提升
(時間：25分鐘，滿分：43分)
一、選擇題(每小題5分，共15分)
1． (xx課標全國)設F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦點，P為直線x＝上一點，△F2PF1是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由題意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30，
∴∠PF2x＝60.
∴|PF2|＝2＝3a－2c.
∵|F1F2|＝2c，|F1F2|＝|PF2|，∴3a－2c＝2c，
∴e＝＝.
2． 若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則
的最大值為 ( )
A．2 B．3 C．6 D．8
答案 C
解析 由橢圓方程得F(－1,0)，設P(x0，y0)，
則＝(x0，y0)(x0＋1，y0)＝x＋x0＋y.
∵P為橢圓上一點，∴＋＝1.
∴＝x＋x0＋3(1－)
＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.
∵－2≤x0≤2，
∴的最大值在x0＝2時取得，且最大值等于6.
3． 在橢圓＋＝1內，通過點M(1,1)，且被這點平分的弦所在的直線方程為 ( )
A．x＋4y－5＝0 B．x－4y－5＝0
C．4x＋y－5＝0 D．4x－y－5＝0
答案 A
解析 設直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則
由①－②，得
＋＝0，
因所以＝－＝－，
所以所求直線方程為y－1＝－(x－1)，
即x＋4y－5＝0.
二、填空題(每小題5分，共15分)
4． 設F1、F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為________．
答案 15
解析 |PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，易知M點在橢圓外，連接MF2并延長交橢圓于P點，此時|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值為10＋|MF2|＝10＋＝15.
5. 如圖，已知點P是以F1、F2為焦點的橢圓＋＝1 (a>b>0)上一點，
若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，則此橢圓的離心率是________．
答案
解析 由題得△PF1F2為直角三角形，設|PF1|＝m，
∵tan∠PF1F2＝，∴|PF2|＝，|F1F2|＝m，
∴e＝＝＝.
6． 已知橢圓＋＝1 (a>b>0)的離心率等于，其焦點分別為A、B，C為橢圓上異于長軸端點的任意一點，則在△ABC中，的值等于________．
答案 3
解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，因為點C在橢圓上，所以由橢圓定義知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以＝＝＝3.
三、解答題
7． (13分)已知橢圓＋＝1 (a>b>0)的長軸長為4，離心率為，點P是橢圓上異于頂點的任意一點，過點P作橢圓的切線l，交y軸于點A，直線l′過點P且垂直于l，交y軸于點B.
(1)求橢圓的方程；
(2)試判斷以AB為直徑的圓能否經過定點？若能，求出定點坐標；若不能，請說明理由．
解 (1)∵2a＝4，＝，∴a＝2，c＝1，b＝.
∴橢圓的方程為＋＝1.
(2)能．設點P(x0，y0) (x0≠0，y0≠0)，
由題意知直線l的斜率存在．
設直線l的方程為y－y0＝k(x－x0)，
代入＋＝1，
整理得(3＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－12＝0.
∵x＝x0是方程的兩個相等實根，
∴2x0＝－，解得k＝－.
∴直線l的方程為y－y0＝－(x－x0)．
令x＝0，得點A的坐標為.
又∵＋＝1，∴4y＋3x＝12.
∴點A的坐標為.
又直線l′的方程為y－y0＝(x－x0)，
令x＝0，得點B的坐標為.
∴以AB為直徑的圓的方程為
xx＋＝0.
整理，得x2＋y2＋y－1＝0.令y＝0，得x＝1，
∴以AB為直徑的圓恒過定點(1,0)和(－1,0)．
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