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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.8函數(shù)與方程教案 理 新人教A版
xx高考會這樣考 1.考查函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)和取值范圍；2.利用函數(shù)零點(diǎn)求解參數(shù)的取值范圍；3.利用二分法求方程近似解；4.與實(shí)際問題相聯(lián)系，考查數(shù)學(xué)應(yīng)用能力．
復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.準(zhǔn)確理解函數(shù)零點(diǎn)與方程的根，函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)之間的關(guān)系，能根據(jù)零點(diǎn)存在性定理和二分法求方程近似解；2.會利用函數(shù)值域求解“a＝f(x)有解”型問題；3.利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)問題．
1． 函數(shù)的零點(diǎn)
(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義
對于函數(shù)y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x) (x∈D)的零點(diǎn)．
(2)幾個等價關(guān)系
方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．
(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個__c__也就是f(x)＝0的根．
2． 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函數(shù)
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的圖象
與x軸的交點(diǎn)
(x1,0)，
(x2,0)
(x1,0)
無交點(diǎn)
零點(diǎn)個數(shù)
兩個
一個
無
3. 二分法
(1)定義：對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)
f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．
(2)給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟如下：
①確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)f(b)<0，給定精確度ε；②求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c；③計(jì)算f(c)；
(ⅰ)若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；
(ⅱ)若f(a)f(c)<0，則令b＝c(此時零點(diǎn)x0∈(a，c))；
(ⅲ)若f(c)f(b)<0，則令a＝c(此時零點(diǎn)x0∈(c，b))．
④判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)②③④.
[難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源]
(1)函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是方程f(x)＝0的根；
(2)函數(shù)零點(diǎn)的存在定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點(diǎn)，而不能判斷函數(shù)的不變號零點(diǎn)，而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分條件，而不是必要條件．
(3)利用圖象交點(diǎn)的個數(shù)：畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點(diǎn)．
1． 若函數(shù)f(x)＝x2－ax－b的兩個零點(diǎn)是2和3，則函數(shù)g(x)＝bx2－ax－1的零點(diǎn)是_______．
答案?。?，－
解析 由，得.
∴g(x)＝－6x2－5x－1的零點(diǎn)為－，－.
2． 已知函數(shù)f(x)＝ln x－x＋2有一個零點(diǎn)所在的區(qū)間為(k，k＋1) (k∈N*)，則k的值為
________．
答案 3
解析 由題意知，f(3)＝ln 3－1>0，f(4)＝ln 4－2<0，所以該函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間(3,4)內(nèi)，
所以k＝3.
3． (xx湖北)函數(shù)f(x)＝xcos x2在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個數(shù)為 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C
解析 當(dāng)x＝0時，f(x)＝0.又因?yàn)閤∈[0,4]，
所以0≤x2≤16.
因?yàn)?π<16<，
所以函數(shù)y＝cos x2在x2取，，，，時為0，
此時f(x)＝0，所以f(x)＝xcos x2在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個數(shù)為6.
4． (xx課標(biāo)全國)在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為 ( )
A．(－，0) B．(0，)
C．(，) D．(，)
答案 C
解析 ∵f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x)＝ex＋4>0.
∴f(x)在其定義域上是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)．
∵f(－)＝e－－4<0，f(0)＝e0＋40－3＝－2<0，
f()＝e－2<0，f()＝e－1>0，
∴f()f()<0.
題型一 函數(shù)零點(diǎn)的判斷
例1 判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點(diǎn)．
(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；
(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
思維啟迪：第(1)問利用零點(diǎn)的存在性定理或直接求出零點(diǎn)，第(2)問利用零點(diǎn)的存在性定理或利用兩圖象的交點(diǎn)來求解．
解 (1)方法一 ∵f(1)＝12－31－18＝－20<0，
f(8)＝82－38－18＝22>0，∴f(1)f(8)<0，
故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零點(diǎn)．
方法二 令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]．
∴(x－6)(x＋3)＝0，∵x＝6∈[1,8]，x＝－3?[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零點(diǎn)．
(2)方法一 ∵f(1)＝log23－1>log22－1＝0，
f(3)＝log25－3
0，
∴f(x)＝2x＋3x在R上是增函數(shù)．
而f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，
f(0)＝20＝1>0，f(1)＝2＋3＝5>0，f(2)＝22＋6＝10>0，
∴f(－1)f(0)<0.故函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,0)上有零點(diǎn)．
題型二 函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷
例2 若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點(diǎn)個數(shù)是________．
思維啟迪：函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)?方程解的個數(shù)?函數(shù)y＝f(x)與y＝log3|x|交點(diǎn)的個數(shù)．
答案 4
解析 由題意知，f(x)是周期為2的偶函數(shù)．
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝f(x)及y＝log3|x|的圖象，如下：
觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個交點(diǎn)，
即函數(shù)y＝f(x)－log3|x|有4個零點(diǎn)．
探究提高 對函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷方法：(1)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，利用函數(shù)的單調(diào)性、
對稱性確定函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)；(2)利用函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)判斷方程根的個數(shù)或函數(shù)零點(diǎn)個
數(shù)．
(xx天津)函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 因?yàn)閒′(x)＝2xln 2＋3x2>0，
所以函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上遞增，
且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，
所以有1個零點(diǎn)．
題型三 二次函數(shù)的零點(diǎn)問題
例3 已知關(guān)于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的范圍；
(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的范圍．
思維啟迪：設(shè)出二次方程對應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖， 然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制．
解 (1)由條件，拋物線f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1
與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和(1,2)內(nèi)，如圖(1)所示，得
?
即－2.
(2)由已知條件解得22.
(4)由已知條件f(1)f(3)<0，解得0)，則原方程可變?yōu)閠2＋at＋a＋1＝0，(*)
原方程有實(shí)根，即方程(*)有正根．
令f(t)＝t2＋at＋a＋1.
①若方程(*)有兩個正實(shí)根t1，t2，
則解得－10)，
則a＝－＝－
＝2－，其中t＋1>1，
由基本不等式，得(t＋1)＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝－1時取等號，故a≤2－2.
探究提高 對于“a＝f(x)有解”型問題，可以通過求函數(shù)y＝f(x)的值域來解決．
(xx天津)已知函數(shù)y＝的圖象與函數(shù)y＝kx－2的圖象恰有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
答案 (0,1)∪(1,4)
解析
根據(jù)絕對值的意義，
y＝
＝
在直角坐標(biāo)系中作出該函數(shù)的圖象，如圖中實(shí)線所示．
根據(jù)圖象可知，當(dāng)00)．
(1)若y＝g(x)－m有零點(diǎn)，求m的取值范圍；
(2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個相異實(shí)根．
審題視角 (1)y＝g(x)－m有零點(diǎn)即y＝g(x)與y＝m的圖象有交點(diǎn)，所以可以結(jié)合圖象求
解．(2)g(x)－f(x)＝0有兩個相異實(shí)根?y＝f(x)與y＝g(x)的圖象有兩個不同交點(diǎn)，所以可
利用它們的圖象求解．
規(guī)范解答
解 (1)方法一 ∵g(x)＝x＋≥2＝2e，
等號成立的條件是x＝e，
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，[3分]
因而只需m≥2e，則y＝g(x)－m就有零點(diǎn)．[6分]
方法二 作出g(x)＝x＋ (x>0)的大致圖象如圖．[3分]
可知若使y＝g(x)－m有零點(diǎn)，則只需m≥2e.[6分]
(2)
若g(x)－f(x)＝0有兩個相異實(shí)根，即g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，
作出g(x)＝x＋ (x>0)的大致圖象如圖．[8分]
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
∴其圖象的對稱軸為x＝e，開口向下，
最大值為m－1＋e2.[10分]
故當(dāng)m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1時，g(x)與f(x)有兩個交點(diǎn)，即g(x)－f(x)＝0有兩
個相異實(shí)根．
∴m的取值范圍是(－e2＋2e＋1，＋∞)．[12分]
溫馨提醒 (1)求函數(shù)零點(diǎn)的值，判斷函數(shù)零點(diǎn)的范圍及零點(diǎn)的個數(shù)以及已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍等問題，都可利用方程來求解，但當(dāng)方程不易甚至不可能解出時，可構(gòu)造兩個函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解．
(2)本題的易錯點(diǎn)是確定g(x)的最小值和f(x)的最大值時易錯．要注意函數(shù)最值的求法．
方法與技巧
1． 函數(shù)零點(diǎn)的判定常用的方法有
(1)零點(diǎn)存在性定理；(2)數(shù)形結(jié)合；(3)解方程f(x)＝0.
2． 研究方程f(x)＝g(x)的解，實(shí)質(zhì)就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)．
3． 二分法是求方程的根的近似值的一種計(jì)算方法．其實(shí)質(zhì)是通過不斷地“取中點(diǎn)”來逐步
縮小零點(diǎn)所在的范圍，當(dāng)達(dá)到一定的精確度要求時，所得區(qū)間的任一點(diǎn)就是這個函數(shù)零
點(diǎn)的近似值．
4． 轉(zhuǎn)化思想：方程解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù)問題；已知方程有解求
參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題．
失誤與防范
1． 函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是一個實(shí)數(shù)，是方程f(x)＝0的根，也是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的
橫坐標(biāo)．
2． 函數(shù)零點(diǎn)存在性定理是零點(diǎn)存在的一個充分條件，而不必要；判斷零點(diǎn)個數(shù)還要根據(jù)函
數(shù)的單調(diào)性、對稱性或結(jié)合函數(shù)圖象.
(時間：60分鐘)
A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1． 方程|x2－2x|＝a2＋1 (a>0)的解的個數(shù)是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的圖象如圖，∴y＝|x2－2x|的圖象與y＝a2＋1的
圖象總有兩個交點(diǎn)．
∴方程有兩解．
點(diǎn)評 y＝|x2－2x|的圖象畫不準(zhǔn)確致誤．
2． (xx福建)若關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 ∵方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝m2－4>0，∴m>2或m<－2.
3． 函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)個數(shù)為 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 B
解析 當(dāng)x≤0時，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；當(dāng)x>0時，由f(x)
＝－2＋ln x＝0，
得x＝e2，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù)為2，故選B.
4． 已知三個函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零點(diǎn)依次為a，b，c，則
( )
A．a(chǎn)0，
且f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)．
故f(x)＝2x＋x的零點(diǎn)a∈(－1,0)．
∵g(2)＝0，故g(x)的零點(diǎn)b＝2；
h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，
故h(x)的零點(diǎn)c∈，因此a0時，f(x)＝2 014x＋log2 014x，則在R上，函數(shù)f(x)
零點(diǎn)的個數(shù)為________．
答案 3
解析 函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，因此f(0)＝0，當(dāng)x>0時，f(x)＝2 014x＋log2 014x在區(qū)間(0，)內(nèi)存在一個零點(diǎn)，又f(x)為增函數(shù)，因此在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)．根
據(jù)對稱性可知函數(shù)在(－∞，0)內(nèi)有且僅有一解，從而函數(shù)在R上的零點(diǎn)的個數(shù)為3.
6． (xx深圳模擬)已知函數(shù)f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零點(diǎn)分別為x1，
x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是______________．
答案 x11，所以x10，所以f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點(diǎn)．又f′(x)＝4＋2x－2x2＝－22，當(dāng)－1≤x≤1時，0≤f′(x)≤，所以f(x)
在[－1,1]上單調(diào)遞增．
所以f(x)在[－1,1]上有且只有一個零點(diǎn)．
9． (13分)已知函數(shù)f(x)＝4x＋m2x＋1有且僅有一個零點(diǎn)，求m的取值范圍，并求出該零點(diǎn)．解 ∵f(x)＝4x＋m2x＋1有且僅有一個零點(diǎn)，
即方程(2x)2＋m2x＋1＝0僅有一個實(shí)根．
設(shè)2x＝t (t>0)，則t2＋mt＋1＝0.
當(dāng)Δ＝0，即m2－4＝0，
∴m＝－2時，t＝1；m＝2時，t＝－1(不合題意，舍去)，
∴2x＝1，x＝0符合題意．
當(dāng)Δ>0，即m>2或m<－2時，
t2＋mt＋1＝0有兩正或兩負(fù)根，
即f(x)有兩個零點(diǎn)或沒有零點(diǎn)．
∴這種情況不符合題意．
綜上可知，m＝－2時，f(x)有唯一零點(diǎn)，該零點(diǎn)為x＝0.
B組 專項(xiàng)能力提升
一、選擇題(每小題5分，共15分)
1． (xx遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝x3.
又函數(shù)g(x)＝|xcos(πx)|，則函數(shù)h(x)＝g(x)－f(x)在上的零點(diǎn)個數(shù)為 ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 B
解析 根據(jù)題意，函數(shù)y＝f(x)是周期為2的偶函數(shù)且0≤x≤1時，f(x)＝x3，
則當(dāng)－1≤x≤0時，f(x)＝－x3，且g(x)＝|xcos(πx)|，
所以當(dāng)x＝0時，f(x)＝g(x)．
當(dāng)x≠0時，若01時，y＝
>1，y＝cos x≤1，所以兩圖象只有一個交點(diǎn)，即方程－cos x＝0在[0，＋∞)內(nèi)只有一個根，所以f(x)＝－cos x在[0，＋∞)內(nèi)只有一個零點(diǎn)，所以選B.
3． (xx福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝log2x－x，若實(shí)數(shù)x0是方程f(x)＝0的解，且0100，由26＝64,27＝128
知n＝7.
5． 已知函數(shù)y＝f(x) (x∈R)滿足f(－x＋2)＝f(－x)，當(dāng)x∈[－1,1]時，f(x)＝|x|，則y＝f(x)與y＝log7x的交點(diǎn)的個數(shù)為________．
答案 6
解析 因?yàn)閒(－x＋2)＝f(－x)，所以y＝f(x)為周期函數(shù)，其周期為2.
在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝f(x)和y＝log7x的圖象如圖，
當(dāng)x＝7時，f(7)＝1，log77＝1，故y＝f(x)與y＝log7x共有6個交點(diǎn)．
6． (xx海淀調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點(diǎn)，
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
答案 (0,1)
解析 畫出f(x)＝
的圖象，如圖．
由函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點(diǎn)，結(jié)合圖象得：0
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)
2.8函數(shù)與方程教案
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