2019-2020年高三數學上學期第五次月考試題 理(II).doc

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2019-2020年高三數學上學期第五次月考試題 理(II) 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁.第Ⅱ卷3至5頁.考試時間120分鐘，滿分150分. 注意事項： 1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試卷的答題卡上. 2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案的標號，非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整，筆跡清楚. 3.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效. 4.保持卷面清潔，不折疊，不破損. 一、選擇題：本大題共有12個小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1.已知，若為實數，則 A. B. C. D. 2.下列四個函數中，既是定義域上的奇函數又在區(qū)間內單調遞增的是 A． B． C． D． 3.已知實數、滿足，則的最大值為 A. B. C. D. 4.直線與圓有兩個不同交點的一個充分不必要條件是 A． B． C． D． 5.已知，則 A. B. C. D. 6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值分別為 A.5，1 B.5，2 C.15，3 D.30，6 7.將函數的圖象向左平移個單位后的圖象關于原點對稱，則函數在上的最小值為 A. B. C. D. 8.在菱形中，對角線，為的中點，則 A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 9.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 A. 6 B. 5 C. 4 D. 5.5 10.某校高三理科實驗班有5名同學報名參加甲、乙、丙三所高校的自主招生考試，每人限報一所高校．若這三所高校中每個學校都至少有1名同學報考，那么這5名同學不同的報考方法種數共有 A.144種 B.150種 C.196種 D.256種 11.設為橢圓的左、右焦點，且，若橢圓上存在點使得，則橢圓的離心率的最小值為 A. B. C. D. 12.設函數，其中，若關于不等式的整數解有且只有一個，則實數的取值范圍為 A. B． C． D． 一、CDCAB DACBB DA 二、13. 14. 15. 16.4 第II卷（非選擇題，共90分） 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.請將答案填寫在答題紙上. 13.在的展開式中含的項的系數是 ． 14.已知數列滿足，，則的最小值為 ． 15.已知正方體的棱長為1，點是線段的中點，則三棱錐 外接球體積為 ． 16.是雙曲線的右焦點，的右支上一點到一條漸近線的距離為2，在另一條漸近線上有一點滿足，則 ． 三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 17.（本小題滿分10分） 在銳角中，角的對邊分別為，已知依次成等差數列，且 求的取值范圍. 17.解： 角成等差數列 ……………………………2分 根據正弦定理的 …………………………6分 又為銳角三角形，則 …………… ……8分 …………………………10分 18.（本小題滿分12分） 已知數列的各項均是正數，其前項和為，滿足. （1）求數列的通項公式； （2）設，數列的前項和為，求證：. 18.解：（1）由，得，解得…………2分 而，即 ………………………………4分 可見數列是首項為2，公比為的等比數列. ； ……………………………… 6分 （2） ， ………………8分 故數列的前項和 ………10分 ……………………12分 19.（本小題滿分12分） 某學校研究性學習小組對該校高三學生視力情況進行調查，在高三的全體1000名學生中隨機抽取了100名學生的體檢表，并得到如圖的頻率分布直方圖. （1）若直方圖中后四組的頻數成等差數列，試估計全年級視力在5.0以下的人數； （2）學習小組成員發(fā)現，學習成績突出的學生，近視的比較多，為了研究學生的視力與學習成績是否有關系，對年級名次在名和名的學生進行了調查，得到右表中數據，根據表中的數據，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系? （3）在（2）中調查的100名學生中，按照分層抽樣在不近視的學生中抽取了9人，進一步調查他們良好的護眼習慣，并且在這9人中任取3人，記名次在的學生人數為，求的分布列和數學期望. 附： 19. （1）設各組的頻率為， 由圖可知，第一組有3人，第二組7人，第三組27人， ……1分 因為后四組的頻數成等差數列， 所以后四組頻數依次為 ……………………………2分 所以視力在5.0以下的頻率為3+7+27+24+21=82人， 故全年級視力在5.0以下的人數約為 …………………………3分 （2） 因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系.……………6分 （Ⅲ）依題意9人中年級名次在名和名分別有3人和6人， 可取0、1、2、3 …………………7分 ， ， ， 的分布列為 0 1 2 3 ………………11分 的數學期望 ………………12分 20.（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，平面，，且，，點在上. （1）求證：； （2）若二面角的大小為，求與平面所成角的正弦值. 20.解：⑴取中點，連結,則，所以四邊形為平行 四邊形，故，又,所以,故 ,又，,所以,故有 ………………5分 ⑵如圖建立空間直角坐標系 則 設,易得 設平面的一個法向量為，則 令， 即 ………………8分 又平面的一個法向量為， ，解得， 即，， 而是平面的一個法向量， 設直線與平面所成的角為， 則. 故直線與平面所成的角的正弦值為 …………………12分 21.（本小題滿分12分） 已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切． （1）求橢圓的標準方程； （2）若直線與橢圓相交于兩點，且，判斷的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由． （1）由題意知，∴，即 又， 2分 ∴， 橢圓的方程為 4分 (2)設，由得 ， ，. 6分 ,, ,，, 8分 10分 12分 22.（本小題滿分12分） 已知函數，其中常數. （1）討論函數的單調性； （2）已知，表示的導數，若，且滿足，試比較與的大小，并加以證明. 22．解：（1）函數的定義域為， 由得，，……………2分 當時，，所以在上為增函數；……3分 當時， ，所以在，上為增函數；在上為減函數；………4分 當時， ，所以在，上為增函數；在上為減函數；…………5分 （2）令 則 ， 在上為減函數，即在上為減函數 以題意，不妨設，又因為，………8分 所以，，所以，且， 由，得， ， ， ………10分 令， 則， ………11分 所以，在內為增函數，又因為 所以，， 即： 所以，. ……………12分 高三第五次月考 數學（理）答案 一、CDCAB DACBB DA 二、13. 14. 15. 16.4 三、17.解： 角成等差數列 ……………………………2分 根據正弦定理的 …………………………6分 又為銳角三角形，則 …………… ……8分 …………………………10分 18.解：（1）由，得，解得…………2分 而，即 ………………………………4分 可見數列是首項為2，公比為的等比數列. ； ……………………………… 6分 （2） ， ………………8分 故數列的前項和 ………10分 ……………………12分 19. （1）設各組的頻率為， 由圖可知，第一組有3人，第二組7人，第三組27人， ……1分 因為后四組的頻數成等差數列， 所以后四組頻數依次為 ……………………………2分 所以視力在5.0以下的頻率為3+7+27+24+21=82人， 故全年級視力在5.0以下的人數約為 …………………………3分 （2） 因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系.……………6分 （Ⅲ）依題意9人中年級名次在名和名分別有3人和6人， 可取0、1、2、3 …………………7分 ， ， ， 的分布列為 0 1 2 3 ………………11分 的數學期望 ………………12分 20.解：⑴取中點，連結,則，所以四邊形為平行 四邊形，故，又,所以,故 ,又，,所以,故有 ………………5分 ⑵如圖建立空間直角坐標系 則 設,易得 設平面的一個法向量為，則 令， 即 ………………8分 又平面的一個法向量為， ，解得， 即，， 而是平面的一個法向量， 設直線與平面所成的角為， 則. 故直線與平面所成的角的正弦值為 …………………12分 21.【解析】 （1）由題意知，∴，即 又， 2分 ∴， 橢圓的方程為 4分 (2)設，由得 ， ，. 6分 ,, ,，, 8分 10分 12分 22．解：（1）函數的定義域為， 由得，，……………2分 當時，，所以在上為增函數；……3分 當時， ，所以在，上為增函數；在上為減函數；………4分 當時， ，所以在，上為增函數；在上為減函數；…………5分 （2）令 則 ， 在上為減函數，即在上為減函數 以題意，不妨設，又因為，………8分 所以，，所以，且， 由，得， ， ， ………10分 令， 則， ………11分 所以，在內為增函數，又因為 所以，， 即： 所以，. ……………12分