2018年高中數(shù)學(xué) 第3章 統(tǒng)計(jì)案例 3.1 獨(dú)立性檢驗(yàn)教學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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3.1 獨(dú)立性檢驗(yàn) 1．22列聯(lián)表的定義 對(duì)于兩個(gè)研究對(duì)象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值，即類A和類B；Ⅱ也有兩類取值，即類1和類2.這些取值可用下面的22列聯(lián)表表示. 　　2 .χ2統(tǒng)計(jì)量的求法 公式χ2＝． 3．獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念 用統(tǒng)計(jì)量χ2研究?jī)勺兞渴欠裼嘘P(guān)的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)． 4．獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟 要判斷“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，可按下面的步驟進(jìn)行： (1)提出假設(shè)H0：Ⅰ與Ⅱ沒(méi)有關(guān)系； (2)根據(jù)22列聯(lián)表及χ2公式，計(jì)算的值； (3)查對(duì)臨界值，作出判斷． 其中臨界值如表所示： P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 χ0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 　　表示在H0成立的情況下，事件“χ2≥x0”發(fā)生的概率． 5．變量獨(dú)立性判斷的依據(jù) (1)如果>10.828時(shí)，那么有99.9%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”； (2)如果>6.635時(shí)，那么有99%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”； (3)如果>2.706時(shí)，那么有90%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”； (4)如果≤2.706時(shí)，那么就認(rèn)為沒(méi)有充分的證據(jù)顯示“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，但也不能作出結(jié)論“H0成立”，即Ⅰ與Ⅱ沒(méi)有關(guān)系． 1．在22列聯(lián)表中，通常要求a，b，c，d的值均不小于5. 2．表中|ad－bc|越小，Ⅰ與Ⅱ關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，Ⅰ與Ⅱ關(guān)系越強(qiáng)．同時(shí)要記準(zhǔn)表中a，b，c，d四個(gè)數(shù)據(jù)是交叉相乘然后再作差取絕對(duì)值，一定不要乘錯(cuò)． 3．表中類A與類B，以及類1與類2的關(guān)系：對(duì)于對(duì)象Ⅰ來(lái)說(shuō)，類A與類B是對(duì)立的，也就是說(shuō)類A發(fā)生，類B一定不發(fā)生，類A不發(fā)生，則類B一定發(fā)生；同樣對(duì)于對(duì)象Ⅱ來(lái)說(shuō)，類1與類2的關(guān)系也是如此． 　　[例1]　在一項(xiàng)有關(guān)醫(yī)療保健的社會(huì)調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)調(diào)查的男性為530人，女性為670人，其中男性中喜歡吃甜食的為117人，女性中喜歡吃甜食的為492人，請(qǐng)作出性別與喜歡吃甜食的列聯(lián)表． [思路點(diǎn)撥]　在22列聯(lián)表中，共有兩類變量，每一類變量都有兩個(gè)不同的取值，然后找出相應(yīng)的數(shù)據(jù)，列表即可． [精解詳析]　作列聯(lián)表如下： 喜歡甜食 不喜歡甜食 合計(jì) 男 117 413 530 女 492 178 670 合計(jì) 609 591 1 200 [一點(diǎn)通]　分清類別是列聯(lián)表的作表關(guān)鍵步驟．表中排成兩行兩列的數(shù)據(jù)是調(diào)查得來(lái)的結(jié)果． 1．下面是22列聯(lián)表： y1 y2 合計(jì) x1 a 21 73 x2 2 25 27 合計(jì) b 46 則表中a，b的值分別為_(kāi)_______，________． 解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.又∵a＋2＝b，∴b＝54. 答案：52　54 2．某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生作一項(xiàng)調(diào)查后發(fā)現(xiàn)：在平時(shí)的模擬考試中，性格內(nèi)向的426名學(xué)生中有332名在考前心情緊張，性格外向的594名學(xué)生中在考前心情緊張的有213人 .作出22列聯(lián)表． 解：作列聯(lián)表如下： 性格內(nèi)向 性格外向 合計(jì) 考前心情緊張 332 213 545 考前心情不緊張 94 381 475 合計(jì) 426 594 1 020 　　[例2]　下表是某地區(qū)的一種傳染病與飲用水的調(diào)查表： 得病 不得病 合計(jì) 干凈水 52 466 518 不干凈水 94 218 312 合計(jì) 146 684 830 (1)這種傳染病是否與飲用水的衛(wèi)生程度有關(guān)，請(qǐng)說(shuō)明理由； (2)若飲用干凈水得病5人，不得病50人，飲用不干凈水得病9人，不得病22人．按此樣本數(shù)據(jù)分析這種疾病是否與飲用水有關(guān)，并比較兩種樣本在反映總體時(shí)的差異． [思路點(diǎn)撥]　(1)根據(jù)表中的信息計(jì)算χ2的值，并根據(jù)臨界值表來(lái)分析相關(guān)性的大小，對(duì)于(2)要列出22列聯(lián)表，方法同(1)． [精解詳析]　(1)假設(shè)H0：傳染病與飲用水無(wú)關(guān)．把表中數(shù)據(jù)代入公式，得 χ2＝≈54.21， 因?yàn)楫?dāng)H0成立時(shí)，χ2≥10.828的概率約為0.001， 所以我們有99.9%的把握認(rèn)為該地區(qū)這種傳染病與飲用不干凈水有關(guān)． (2)依題意得22列聯(lián)表： 得病 不得病 合計(jì) 干凈水 5 50 55 不干凈水 9 22 31 合計(jì) 14 72 86 此時(shí)，χ2＝≈5.785. 由于5.785＞2.706， 所以我們有90%的把握認(rèn)為該種疾病與飲用不干凈水有關(guān)． 兩個(gè)樣本都能統(tǒng)計(jì)得到傳染病與飲用不干凈水有關(guān)這一相同結(jié)論，但(1)中我們有99.9%的把握肯定結(jié)論的正確性，(2)中我們只有90%的把握肯定． [一點(diǎn)通]　解決獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題的基本步驟是：①指出相關(guān)數(shù)據(jù)，作列聯(lián)表；②求χ2的值；③判斷可能性，注意與臨界值作比較，得出事件有關(guān)的可能性大?。? 3．某保健藥品，在廣告中宣傳：“在服用該藥品的105人中有100人未患A疾病”．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在不使用該藥品的418人中僅有18人患A疾病，請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)分析該藥品對(duì)患A疾病是否有效？ 解：依題意得22的列聯(lián)表： 患病 不患病 合計(jì) 使用 5 100 105 不使用 18 400 418 合計(jì) 23 500 523 要判斷該藥品對(duì)患A疾病是否有效，即進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)提出假設(shè)H0：該藥品對(duì)患A疾病沒(méi)有效． 根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得 χ2＝≈0.041 45<0.455， 而查表可知P(χ2≥0.455)≈0.5，故沒(méi)有充分的理由認(rèn)為該保健藥品對(duì)預(yù)防A疾病有效． 4．在國(guó)家未實(shí)施西部開(kāi)發(fā)戰(zhàn)略前，一新聞單位在應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)抽取1 000人問(wèn)卷，只有80人志愿加入西部建設(shè)．而國(guó)家實(shí)施西部開(kāi)發(fā)戰(zhàn)略后，隨機(jī)抽取1 200名應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生問(wèn)卷，有400人志愿加入國(guó)家西部建設(shè)．實(shí)施西部開(kāi)發(fā)戰(zhàn)略是否對(duì)應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生的選擇產(chǎn)生了影響？ 解：依題意，得22列聯(lián)表： 志愿者 非志愿者 合計(jì) 開(kāi)發(fā)戰(zhàn)略公布前 80 920 1 000 開(kāi)發(fā)戰(zhàn)略公布后 400 800 1 200 合計(jì) 480 1 720 2 200 提出假設(shè)H0：實(shí)施西部開(kāi)發(fā)戰(zhàn)略的公布對(duì)應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生的選擇沒(méi)有產(chǎn)生影響，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得 χ2＝≈205.22. 因?yàn)楫?dāng)H0成立時(shí)，χ2≥10.828的概率約為0.001，所以有99.9%的所握認(rèn)為西部開(kāi)發(fā)戰(zhàn)略的實(shí)施對(duì)應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生的選擇產(chǎn)生了影響． 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想與反證法的思想比較 反證法 獨(dú)立性檢驗(yàn) 要證明結(jié)論A 要確認(rèn)“兩個(gè)對(duì)象有關(guān)系” 在A不成立的前提下進(jìn)行推理 假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個(gè)對(duì)象沒(méi)有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下計(jì)算χ2 推出矛盾意味著結(jié)論A成立 由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的χ2的觀測(cè)值很大，則在一定可信程度上說(shuō)明假設(shè)不合理 沒(méi)有找到矛盾，不能對(duì)A下任何結(jié)論，即反證法不成立 根據(jù)隨機(jī)變量χ2的含義，可以通過(guò)概率P(χ2≥x0)的大小來(lái)評(píng)價(jià)該假設(shè)不合理的程度有多大，從而得出“兩個(gè)對(duì)象有關(guān)系” 這一結(jié)論成立的可信程度有多大 課下能力提升(十八) 一、填空題 1．在一項(xiàng)打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1 671人，經(jīng)過(guò)計(jì)算χ2＝27.63，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們有理由認(rèn)為打鼾與患心臟病是________的．(有關(guān)，無(wú)關(guān)) 解析：由χ2值可判斷有關(guān)． 答案：有關(guān) 2．若兩個(gè)研究對(duì)象X和Y的列聯(lián)表為： y1 y2 x1 5 15 x2 40 10 則X與Y之間有關(guān)系的概率約為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)棣?＝≈18.8，查表知P(χ2≥10.828)≈0.001. 答案：99.9% 3．在吸煙與患肺病這兩個(gè)對(duì)象的獨(dú)立性檢驗(yàn)的計(jì)算中，下列說(shuō)法正確的是________．(填序號(hào)) ①若χ2＝6.635，則我們認(rèn)為有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系．那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患肺?。? ②從獨(dú)立性檢驗(yàn)的計(jì)算中求有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，我們認(rèn)為如果某人吸煙，那么他有99%的可能患肺?。? ③若從統(tǒng)計(jì)量中求出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤． ④以上三種說(shuō)法都不正確． 解析：由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知，③正確． 答案：③ 4．調(diào)查者詢問(wèn)了72名男女大學(xué)生在購(gòu)買(mǎi)食品時(shí)是否觀看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明得到如下22列聯(lián)表： 看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明 不看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明 總計(jì) 男大學(xué)生 28 8 36 女大學(xué)生 16 20 36 總計(jì) 44 28 72 從表中數(shù)據(jù)分析大學(xué)生的性別與看不看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明之間的關(guān)系是________．(填“有關(guān)”或“無(wú)關(guān)”) 解析：提出假設(shè)H0：大學(xué)生的性別與看不看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明無(wú)關(guān)，由題目中的數(shù)據(jù)可計(jì)算χ2＝≈8.42，因?yàn)楫?dāng)H0成立時(shí)，P(χ2≥7.879)≈0.005，這里的χ2≈8.42>7.879，所以我們有99.5%的把握認(rèn)為大學(xué)生的性別與看不看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明有關(guān)． 答案：有關(guān) 5．有人發(fā)現(xiàn)，多看電視容易使人變冷漠，下表是一個(gè)調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)此現(xiàn)象的調(diào)查結(jié)果： 冷漠 不冷漠 合計(jì) 多看電視 68 42 110 少看電視 20 38 58 合計(jì) 88 80 168 則由表可知大約有________的把握認(rèn)為多看電視與人變冷漠有關(guān)系． 解析：由公式得χ2＝≈11.377>10.828，所以我們有99.9%的把握說(shuō)，多看電視與人變冷漠有關(guān)． 答案：99.9% 二、解答題 6．為研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否有關(guān)，對(duì)某年級(jí)學(xué)生作調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)： 成績(jī)優(yōu)秀 成績(jī)較差 合計(jì) 興趣濃厚的 64 30 94 興趣不濃厚的 22 73 95 合計(jì) 86 103 189 學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)好壞與對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否有關(guān)？ 解析：提出假設(shè)H0：學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的好壞與對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣無(wú)關(guān)． 由公式得χ2的值為 χ2＝≈38.459. ∵當(dāng)H0成立時(shí)，χ2≥10.828的概率約為0.001， 而這里χ2≈38.459>10.828， ∴有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的好壞與對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是有關(guān)的． 7．考察小麥種子經(jīng)過(guò)滅菌與否跟發(fā)生黑穗病的關(guān)系，經(jīng)試驗(yàn)觀察，得到數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表. 種子滅菌 種子未滅菌 合計(jì) 有黑穗病 26 184 210 無(wú)黑穗病 50 200 250 合計(jì) 76 384 460 試按照原試驗(yàn)?zāi)康淖鹘y(tǒng)計(jì)推斷． 解：提出假設(shè)H0：種子是否滅菌與有無(wú)黑穗病無(wú)關(guān)． 由公式得，χ2＝≈4.804. 由于4.804>3.841，即當(dāng)H0成立時(shí)，χ2>3.841的概率約為0.05，所以我們有95%的把握認(rèn)為種子是否滅菌與有無(wú)黑穗病是有關(guān)系的． 8．為了調(diào)查某生產(chǎn)線上質(zhì)量監(jiān)督員甲是否在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量好壞有無(wú)影響，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：甲在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)時(shí)，990件產(chǎn)品中有合格品982件，次品8件；甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)時(shí)，510件產(chǎn)品中有合格品493件，次品17件．試用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法分析監(jiān)督員甲是否在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量好壞有無(wú)影響． 解：22列聯(lián)表如下 合格品數(shù) 次品數(shù) 合計(jì) 甲在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng) 982 8 990 甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng) 493 17 510 合計(jì) 1 475 25 1 500 提出假設(shè)H0：質(zhì)量監(jiān)督員甲是否在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)與產(chǎn)品質(zhì)量的好壞無(wú)明顯關(guān)系． 根據(jù)χ2公式得 χ2＝≈13.097. 因?yàn)镠0成立時(shí)，χ2>10.828的概率約為0.001， 而這里χ2≈13.097>10.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為質(zhì)量監(jiān)督員甲是否在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)與產(chǎn)品質(zhì)量的好壞有關(guān)系．