陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué) 第四章 定積分 4.2.1 微積分基本定理教案 北師大版選修2-2.doc

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2 微積分基本定理 課標(biāo)要求 了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念。 三維目標(biāo) （1）知識與技能：了解微積分基本定理的含義 （2）過程與方法：運(yùn)用基本定理計(jì)算簡單的定積分 （3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過微積分基本定理的學(xué)習(xí)，提高理性思維能力． 教材分析 本節(jié)的主要在于讓學(xué)生主動去探索，體會微積分基本公式的導(dǎo)出以及利用它來計(jì)算簡單的定積分。 學(xué)情分析 學(xué)生已經(jīng)在高一學(xué)習(xí)了物理中的勻速直線運(yùn)動的速度與位移的關(guān)系，并且在前一節(jié)課通過學(xué)習(xí)了“已知物體的速度與時(shí)間的關(guān)系，求其在一定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程”，得到定積分的概念以及求法．學(xué)生必然會提出：如果每次求定積分都按“四部曲”求解是一件很麻煩的事情．利用學(xué)生的疑問，激發(fā)他們的探究精神學(xué)習(xí)微積分基本定理．以學(xué)生現(xiàn)有的知識水平對于微積分基本定理的嚴(yán)密證明是存在著一定難度的，而突破難點(diǎn)在于讓學(xué)生主動去探索，體會微積分基本公式的導(dǎo)出以及利用它來計(jì)算簡單的定積分，這樣才能從真正意義上把握該定理的含義，提高學(xué)生的能力，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位． 教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)：通過探究變速直線運(yùn)動物體的速度與位移的關(guān)系，使學(xué)生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運(yùn)用基本定理計(jì)算簡單的定積分 難點(diǎn)：了解微積分基本定理的含義． 提煉的課題 微積分基本定理 教學(xué)手段運(yùn)用 教學(xué)資源選擇 專家伴讀 教學(xué)過程 （一）、復(fù)習(xí)：定積分的概念及用定義計(jì)算 （二）、探究新課 我們講過用定積分定義計(jì)算定積分,但其計(jì)算過程比較復(fù)雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計(jì)算定積分的新方法，也是比較一般的方法。 變速直線運(yùn)動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系 設(shè)一物體沿直線作變速運(yùn)動，在時(shí)刻t時(shí)物體所在位置為S(t),速度為v(t)（）， 則物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為。 另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù)S（t）在上的增量來表達(dá)，即 = 而。 對于一般函數(shù)，設(shè)，是否也有 若上式成立，我們就找到了用的原函數(shù)（即滿足）的數(shù)值差來計(jì)算在上的定積分的方法。 注：1：定理 如果函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù)，則 證明：因?yàn)?與都是的原函數(shù)，故-=C（） 其中C為某一常數(shù)。 令得-=C，且==0 即有C=，故=+ =-= 令，有 此處并不要求學(xué)生理解證明的過程 為了方便起見，還常用表示，即 該式稱之為微積分基本公式或牛頓—萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題，是微分學(xué)與積分學(xué)之間聯(lián)系的橋梁。 它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)也提供計(jì)算定積分的一種有效方法，為后面的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學(xué)的發(fā)展帶來了深遠(yuǎn)的影響，是微積分學(xué)中最重要最輝煌的成果。 例1．計(jì)算下列定積分： （1）； （2）。 解：（1）因?yàn)椋? 所以。 （2））因?yàn)椋? 所以 。 練習(xí)：計(jì)算 解：由于是的一個(gè)原函數(shù)，所以根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式有 === 例2．計(jì)算下列定積分：。 由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。 解：因?yàn)椋? ， ， . 可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是0: ( l ）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸上方時(shí)（圖1.6一3 ) ，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積； 圖1 . 6 一 3 ( 2 ） （2）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸下方時(shí)（圖 1 . 6 一 4 ) ，定積分的值取負(fù)值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)； ( 3）當(dāng)位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時(shí)，定積分的值為0（圖 1 . 6 一5 ) ，且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積． 例3．A、B兩站相距7.2km，一輛電車從A站B開往站，電車開出ts后到達(dá)途中C點(diǎn)，這一段的速度為1.2t(m/s)，到C點(diǎn)的速度為24m/s，從C點(diǎn)到B點(diǎn)前的D點(diǎn)以等速行駛，從D點(diǎn)開始剎車，經(jīng)ts后，速度為（24-1.2t）m/s，在B點(diǎn)恰好停車，試求 （1）A、C間的距離；（2）B、D間的距離；（3）電車從A站到B站所需的時(shí)間。 分析：作變速直線運(yùn)動的物體所經(jīng)過的路程s,等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a,b]上的定積分,即 略解：（1）設(shè)A到C的時(shí)間為t1則1.2t=24, t1=20(s),則AC＝ （2）設(shè)D到B的時(shí)間為t21則24-1.2t2=0, t21=20(s), 則DB＝ （3）CD=7200-2240=6720(m),則從C到D的時(shí)間為280(s),則所求時(shí)間為20+280+20=320（s） 微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)它也提供了計(jì)算定積分的一種有效方法．微積分基本定理是微積分學(xué)中最重要的定理，它使微積分學(xué)蓬勃發(fā)展起來，成為一門影響深遠(yuǎn)的學(xué)科，可以毫不夸張地說，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果． 四：課堂小結(jié)： 本節(jié)課借助于變速運(yùn)動物體的速度與路程的關(guān)系以及圖形得出了特殊情況下的牛頓-萊布尼茲公式.成立，進(jìn)而推廣到了一般的函數(shù)，得出了微積分基本定理，得到了一種求定積分的簡便方法，運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，這就要求大家前面的求導(dǎo)數(shù)的知識比較熟練，希望，不明白的同學(xué)，回頭來多復(fù)習(xí)！ 五．課堂練習(xí) 1．定積分的概念、定積分法求簡單的定積分、定積分的幾何意義．