江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前回扣3 三角函數(shù)、解三角形、平面向量學(xué)案.doc
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3.三角函數(shù)、解三角形、平面向量 1.α終邊與θ終邊相同(α的終邊在θ終邊所在的射線(xiàn)上)?α=θ+2kπ(k∈Z),注意:相等的角的終邊一定相同,終邊相同的角不一定相等. 任意角的三角函數(shù)的定義:設(shè)α是任意一個(gè)角,P(x,y)是α的終邊上的任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn)),它與原點(diǎn)的距離是r=>0,那么sin α=,cos α=,tan α=(x≠0),三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān),而與終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān). [問(wèn)題1] 已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,-4),則sin α+cos α的值為_(kāi)_______. 答案?。? 2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式 (1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1. (2)商數(shù)關(guān)系:tan α=. (3)誘導(dǎo)公式記憶口訣:奇變偶不變、符號(hào)看象限 角 -α π-α π+α 2π-α -α 正弦 -sin α sin α -sin α -sin α cos α 余弦 cos α -cos α -cos α cos α sin α [問(wèn)題2] cos +tan+sin 21π的值為_(kāi)_____________________________________. 答案?。? 3.正弦、余弦和正切函數(shù)的常用性質(zhì) 函數(shù) y=sin x y=cos x y=tan x 圖象 定義域 R R {x|x≠+kπ,k∈Z} 值域 {y|-1≤y≤1} {y|-1≤y≤1} R 單調(diào)性 在 ,k∈Z上遞增; 在,k∈Z上遞減 在[(2k-1)π,2kπ],k∈Z上遞增;在[2kπ,(2k+1)π],k∈Z上遞減 在,k∈Z上遞增 最值 x=+2kπ(k∈Z)時(shí),ymax=1;x=-+2kπ(k∈Z)時(shí),ymin=-1 x=2kπ(k∈Z)時(shí),ymax=1;x=π+2kπ(k∈Z)時(shí),ymin=-1 無(wú)最值 奇偶性 奇 偶 奇 對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)中心:(kπ,0),k∈Z 對(duì)稱(chēng)中心: ,k∈Z 對(duì)稱(chēng)中心: ,k∈Z 對(duì)稱(chēng)軸:x=kπ+,k∈Z 對(duì)稱(chēng)軸:x=kπ,k∈Z 無(wú) 周期性 2π 2π π [問(wèn)題3] 函數(shù)y=sin的單調(diào)減區(qū)間是________________. 答案 (k∈Z) 4.三角函數(shù)化簡(jiǎn)與求值的常用技巧 解答三角變換類(lèi)問(wèn)題要靈活地正用、逆用,變形運(yùn)用和、差、倍角公式和誘導(dǎo)公式,進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值.常用到切化弦、降冪、拆角拼角等技巧.如: α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β), α=[(α+β)+(α-β)]. α+=(α+β)-,α=-. [問(wèn)題4] 已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin=,則cos=________. 答案?。? 5.解三角形 (1)正弦定理:===2R(R為三角形外接圓的半徑).注意:①正弦定理的一些變式:(ⅰ)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;(ⅱ)sin A=,sin B=,sin C=;(ⅲ)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;(ⅳ)=2R. ②已知三角形兩邊及一對(duì)角,求解三角形時(shí),若運(yùn)用正弦定理,則務(wù)必注意可能有兩解,要結(jié)合具體情況進(jìn)行取舍.在△ABC中,A>B?sin A>sin B. (2)余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A,cos A=等,常選用余弦定理判定三角形的形狀. [問(wèn)題5] 在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=,b=,A=60,則B=________. 答案 45 6.求三角函數(shù)最值的常見(jiàn)類(lèi)型、方法 (1)y=asin x+b(或acos x+b)型,利用三角函數(shù)的值域,須注意對(duì)字母a的討論. (2)y=asin x+bsin x型,借助輔助角公式化成y=sin(x+φ)的形式,再利用三角函數(shù)有界性解決. (3)y=asin2x+bsin x+c型,配方后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值,應(yīng)注意|sin x|≤1的約束. (4)y=型,反解出sin x,化歸為|sin x|≤1解決. (5)y=型,化歸為Asin x+Bcos x=C型或用數(shù)形結(jié)合法(常用到直線(xiàn)斜率的幾何意義)求解. (6)y=a(sin x+cos x)+bsin xcos x+c型,常令t=sin x+cos x,換元后求解(|t|≤). [問(wèn)題6] 函數(shù)y=sin2x+sin x-1的值域?yàn)開(kāi)_______. 答案 解析 ∵y=2-,又sin x∈[-1,1], ∴當(dāng)sin x=-時(shí),ymin=-; 當(dāng)sin x=1時(shí),ymax=1. ∴函數(shù)的值域?yàn)? 7.向量的平行與平面向量的數(shù)量積 (1)向量平行(共線(xiàn))的充要條件:a∥b(b≠0)?a=λb?(ab)2=(|a||b|)2?x1y2-y1x2=0. (2)ab=|a||b|cos θ, 變形:|a|2=a2=aa, cos θ=. 注意:〈a,b〉為銳角?ab>0且a,b不同向; 〈a,b〉為鈍角?ab<0且a,b不反向. [問(wèn)題7] 如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,=2,則的值是________. 答案 22 解析 由題意,=+=+, =+=+=-, 所以= =2--2, 即2=25--64, 解得=22. 8.向量中常用的結(jié)論 (1)=λ+μ (λ,μ為實(shí)數(shù)),若λ+μ=1,則三點(diǎn)A,B,C共線(xiàn).反之也成立. (2)在△ABC中,若D是BC邊的中點(diǎn),則=(+). (3)已知O,N,P在△ABC所在平面內(nèi).若||=||=||,則O為△ABC的外心;若++=0,則N為△ABC的重心;若==,則P為△ABC的垂心. [問(wèn)題8] 在△ABC中,D是邊AB的中點(diǎn),E是邊AC的中點(diǎn),CD與BE交于點(diǎn)F,設(shè)=a,=b,=xa+yb,則x,y的值分別為_(kāi)_____________. 答案 , 解析 由題意知,點(diǎn)F為△ABC的重心, 如圖,設(shè)H為BC的中點(diǎn), 則==(+)=a+b, 所以x=,y=. 易錯(cuò)點(diǎn)1 忽視角的范圍 例1 已知方程x2+4ax+3a+1=0(a為大于1的常數(shù))的兩根為tan α,tan β,且α,β∈,則tan 的值是________. 易錯(cuò)分析 本題易忽略隱含條件tan α,tan β是方程x2+4ax+3a+1=0的兩個(gè)負(fù)根,α,β∈,從而導(dǎo)致錯(cuò)誤. 解析 ∵a>1,∴tan α+tan β=-4a<0, tan αtan β=3a+1>0, ∴tan α,tan β是方程x2+4ax+3a+1=0的兩個(gè)負(fù)根. 又α,β∈, ∴α,β∈,即∈. 由tan(α+β)= ==, 可得tan =-2. 答案 -2 易錯(cuò)點(diǎn)2 圖象變換方向或 變換量把握不準(zhǔn) 例2 已知函數(shù)f(x)=sin,為了得到函數(shù)g(x)=cos 2x的圖象,只要將y=f(x)的圖象向__________平移________個(gè)單位長(zhǎng)度. 易錯(cuò)分析 (1)沒(méi)有將f(x),g(x)化為同名函數(shù);(2)平移時(shí)看2x變成了什么,而沒(méi)有認(rèn)識(shí)到平移過(guò)程只是對(duì)“x”而言. 解析 g(x)=sin=sin, ∴y=f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到y(tǒng)=g(x)的圖象. 答案 左 易錯(cuò)點(diǎn)3 三角函數(shù)單調(diào)性理解不透 例3 求函數(shù)y=3sin的單調(diào)區(qū)間. 易錯(cuò)分析 對(duì)形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的函數(shù),如果ω<0,要求其單調(diào)區(qū)間,必須先提出負(fù)號(hào),然后去求解,否則單調(diào)區(qū)間正好相反. 解 y=3sin=-3sin. 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. ∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,k∈Z. 同理,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,k∈Z. 易錯(cuò)點(diǎn)4 解三角形時(shí)漏解或增解 例4 在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a=1,c=. (1)若角C=,則角A=________; (2)若角A=,則b=________. 易錯(cuò)分析 在用正弦定理解三角形時(shí),易出現(xiàn)漏解或多解的錯(cuò)誤,如第(1)問(wèn)中沒(méi)有考慮c邊比a邊大,在求得sin A==后,得出角A=或;在第(2)問(wèn)中沒(méi)有考慮角C有兩解,由sin C==,只得出角C=,所以角B=,解得b=2,這樣就出現(xiàn)漏解的錯(cuò)誤. 解析 (1)由正弦定理=, 得sin A==, 又a- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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