2019屆高三數(shù)學12月月考試題 文(含解析) (I).doc

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2019屆高三數(shù)學12月月考試題 文(含解析) (I) 一、選擇題.（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項） 1.已知集合，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 解出集合A和集合B，取交集即可. 【詳解】由A中不等式得：x﹣1>0， 解得：x>1，即A＝（1，+∞）； 由B中y＝ln（x2﹣1），得到x2﹣1＞0，即x＜﹣1或x＞1 ∴B＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 則A∩B＝（1，+∞）． 故選：D． 【點睛】本題考查集合的交集運算，屬于基礎題. 2.若且，則下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用不等式的性質(zhì)逐個檢驗即可得到答案. 【詳解】A,a＞b且c∈R，當c小于等于0時不等式不成立，故錯誤； B,a，b，c∈R，且a＞b，可得a﹣b＞0，當c=0時不等式不成立，故錯誤；, C,舉反例，a=2,b=-1滿足a>b,但不滿足，故錯誤； D,將不等式化簡即可得到a>b,成立， 故選：D. 【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)以及排除法的應用，屬于簡單題. 用特例代替題設所給的一般性條件，得出特殊結(jié)論，然后對各個選項進行檢驗，從而做出正確的判斷，這種方法叫做特殊法. 若結(jié)果為定值，則可采用此法. 特殊法是“小題小做”的重要策略. 常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等． 3.已知數(shù)列1，，，，…，，…，則是它的（ ） A. 第62項 B. 第63項 C. 第64項 D. 第68項 【答案】B 【解析】 【分析】 分析可得該數(shù)列的通項公式為，解方程＝即可得答案 【詳解】數(shù)列1，，，，…，，…，則該數(shù)列的通項公式為an＝， 若＝，即2n﹣1＝125， 解可得n＝63， 則是這個數(shù)列的第63項； 故選：B． 【點睛】本題考查數(shù)列的概念及數(shù)列通項的概念，屬基礎題. 4.鞋柜里有4雙不同的鞋，從中隨機取出一只左腳的，一只右腳的，恰好成雙的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出基本事件總數(shù)n，恰好成雙包含的基本事件個數(shù)m，由概率公式即可得到答案． 【詳解】鞋柜里有4雙不同的鞋，從中取出一只左腳的，一只右腳的， 基本事件總數(shù)n＝＝16， 恰好成雙包含的基本事件個數(shù)m＝＝4， ∴恰好成雙的概率為p＝． 故選：A． 【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題． 5.已知雙曲線 的離心率為，則的漸近線方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，故，即，故漸近線方程為. 【考點定位】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，考查學生的化歸與轉(zhuǎn)化能力. 6.已知實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案． 【詳解】由約束條件作出可行域如圖， 聯(lián)立，解得A（1，1）， 化目標函數(shù)z＝2x+y為y＝﹣2x+z， 由圖可知，當直線y＝﹣2x+z過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為3． 故選：B． 【點睛】本題考查二元一次不等式組與平面區(qū)域問題、函數(shù)的最值及其幾何意義，線性規(guī)劃中的最值問題主要涉及三個類型：1.分式形式：與斜率有關的最值問題：表示定點P與可行域內(nèi)的動點M(x,y)連線的斜率.2. 一次形式z=ax+by:與直線的截距有關的最值問題, 特別注意斜率范圍及截距符號. 7.下列說法中錯誤的是（ ） A. 先把高二年級的xx名學生編號為1到xx，再從編號為1到50的50名學生中隨機抽取1名學生，其編號為，然后抽取編號為，，的學生，這樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣法； B. 獨立性檢驗中，越大，則越有把握說兩個變量有關； C. 若兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數(shù)的值越接近于1； D. 若一組數(shù)據(jù)1、a、3的平均數(shù)是2，則該組數(shù)據(jù)的方差是. 【答案】C 【解析】 【分析】 對選項逐個進行分析，排除即可得到答案. 【詳解】對于A，根據(jù)個體數(shù)目較多，且沒有明顯的差異，抽取樣本間隔相等，知這種抽樣方法是系統(tǒng)抽樣法，∴A正確； 對應B,獨立性檢驗中，越大，應該是說明兩個變量有關系的可能性大，即有足夠的把握說明兩個變量有關，B正確； 對于C，兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數(shù)|r|的值越接近于1，C錯誤； 對于D，一組數(shù)據(jù)1、a、3的平均數(shù)是2，∴a＝2； ∴該組數(shù)據(jù)的方差是s2＝[（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2]＝，D正確． 故選：C. 【點睛】本題利用命題真假的判斷考查了概率與統(tǒng)計的應用問題，是基礎題． 8.已知不共線的兩個向量 A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 向量，兩邊平方得到 化簡得到聯(lián)立兩式得到。 故答案為：B。 9.已知一個幾何體的三視圖如下圖所示，則此幾何體的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由三視圖可知該幾何體下部為圓柱，上部為圓錐，由面積公式即可得到答案. 【詳解】由三視圖可知，該幾何體下部為圓柱，上部為圓錐，圓柱底面圓的半徑為a,高為2a,圓錐的高為a,圓錐的母線長為， 所以表面積為 ， 故選：D 【點睛】本題考查三視圖的還原，考查圓錐，圓柱的表面積公式的應用，屬于基礎題. 10.從區(qū)間中任取一個值，則函數(shù)是增函數(shù)的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由函數(shù)為增函數(shù)得到a的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式計算直接得到答案. 【詳解】∵函數(shù)為遞增函數(shù)， ∴即 解得1＜, 又a從區(qū)間中任取一個值由概率公式可得 故選：A. 【點睛】本題主要考查長度型幾何概型，考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，以及分段函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了計算能力. 11.函數(shù)的圖像在點處的切線斜率的最小值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在x＝b時的導數(shù)值，利用基本不等式求最值得答案． 【詳解】由，得f′（x）＝+2x﹣b， ∴f′（b）＝+b（b≥2） ∴f′（b）＝+b在b≥2時單調(diào)遞增， f′（b）＝+b 當且僅當b＝2時上式取“＝”，切線斜率的最小值是3． 故選：C. 【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用基本不等式求最值，是基礎題． 12.已知橢圓上一點關于原點的對稱點為點，為其右焦點，若，設，且，則該橢圓離心率的取值范圍為 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由題設條件結(jié)合橢圓的對稱性推導出|AF|+|BF|＝2a，|AB|＝2c，設∠ABF＝α，則能推導出2csinα+2ccosα＝2a，由此能求出結(jié)果． 【詳解】橢圓焦點在x軸上，橢圓上點A關于原點的對稱點為點B，F(xiàn)為其右焦點，設左焦點為F1，連接AF，AF1，BF，BF1，∴四邊形AFBF1為長方形． 根據(jù)橢圓的定義：|AF|+|AF1|＝2a，∠ABF＝α，則：∠AF1F＝α，∴2a＝2ccosα+2csinα 橢圓的離心率e＝，， ∴≤≤， 則：≤sin（α+ ）≤1， ∴≤≤， ∴橢圓離心率e的取值范圍：， 故選：A 【點睛】本題考查橢圓的定義，三角函數(shù)關系式的恒等變換，利用定義域求三角函數(shù)的值域，離心率公式的應用，屬于中檔題型． 二、填空題.（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在答題卡相應位置上） 13.已知且，則____ 【答案】 【解析】 【分析】 根據(jù)誘導公式得到，結(jié)合角的范圍得到，再利用誘導公式和同角三角函數(shù)關系式計算即可得到答案. 【詳解】=, , 又，得， 故答案為：. 【點睛】本題考查誘導公式和同角三角函數(shù)關系式的應用，屬于基礎題. 14.等比數(shù)列各項均為正數(shù)，，則 __________． 【答案】20 【解析】 由，得 所以 15.在區(qū)間上隨機取兩個數(shù)，記為事件“”的概率，則_____ 【答案】 【解析】 【分析】 由題意可得總的基本事件為{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，事件P包含的基本事件為{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤}，數(shù)形結(jié)合利用面積比可得概率． 【詳解】由題意可得總的基本事件為{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}， 事件P包含的基本事件為{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤}， 它們所對應的區(qū)域分別為圖中的正方形和陰影三角形， 故所求概率P＝， 故答案為：． 【點睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關的幾何概型問題關鍵是計算事件的總面積以及所求事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；（2）基本事件對應的區(qū)域測度把握不準導致錯誤 ；（3）利用幾何概型的概率公式時 , 忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤. 16.已知定義在R的函數(shù)對任意的x滿足，當，．函數(shù)，若函數(shù)在上有6個零點，則實數(shù)a的取值范圍是______ 【答案】 【解析】 【分析】 函數(shù)h（x）＝f（x）﹣g（x）在[﹣6，+∞）上有6個零點，即函數(shù)f（x）與g（x）的圖像有6個交點，分別做出y＝f（x）與y＝g（x）的圖象，由此求得a的取值范圍． 【詳解】∵對任意的x滿足f（x+1）＝﹣f（x），∴f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），函數(shù)f（x）是以2為最小正周期的函數(shù)，畫函數(shù)f（x）、g（x）在圖象， 由圖象可知：在y軸的左側(cè)有2個交點，只要在右側(cè)有4個交點即可． 則即有，故7＜a≤9或≤a＜． 故答案為：． 【點睛】本題考查函數(shù)圖象的運用，涉及函數(shù)的周期性，對數(shù)函數(shù)的圖象等知識點，關鍵是作出函數(shù)的圖象，由此分析兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)． 三、解答題.（共70分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程） 17.已知函數(shù)． (1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間； (2)在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，求△ABC面積. 【答案】（1）最小正周期為，遞減區(qū)間為；（2）. 【解析】 【分析】 (1)利用二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)f(x)進行化簡，然后利用正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)可得周期和單調(diào)區(qū)間；（2）由f(C)=1,得角C，由正弦定理得b=2a,然后利用余弦定理可得a和b的值，代入面積公式即可得到答案. 【詳解】=2sin(2x+) (1) 最小正周期為, 因為 所以, 所以函數(shù)的單遞減區(qū)間為 （2）因為，所以 所以， ① 又因為sinB=2sinA，所以b=2a② 由①，②可得a=1,b=2 . 【點睛】本題考查二倍角和輔助角公式的應用，考查正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)，考查正余弦定理及三角形面積公式的應用，屬于?？碱}型. 18.如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，，矩形ABCD所在平面和圓O所在的平面互相垂直，已知，. （1）求證：平面平面； （2）設幾何體、的體積分別為、，求. 【答案】（1）詳見解析；（2）. 【解析】 【分析】 (1)利用面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，再利用線面垂直的判定定理得到平面，由面面垂直的判定定理即可得到證明;（2）利用棱錐體積公式計算求比值即可. 【詳解】（1）如圖,矩形中，，∵平面平面，平面平面， ∴平面， ∵平面，∴. 又∵為圓的直徑，∴， ∵，、平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. 另解：也可證明平面. （2）幾何體是四棱錐、是三棱錐，過點作，交于.∵平面平面，∴平面. 則，∴ 【點睛】本題考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應用，考查棱錐體積公式的應用，屬基礎題. 19.某網(wǎng)購平臺為了解某市居民在該平臺的消費情況，從該市使用其平臺且每周平均消費額超過100元的人員中隨機抽取了100名，并繪制右圖所示頻率分布直方圖，已知中間三組的人數(shù)可構(gòu)成等差數(shù)列. （1）求的值； （2）分析人員對抽取對象每周的消費金額y與年齡x進一步分析，發(fā)現(xiàn)他們線性相關，得到回歸方程.已知100名使用者的平均年齡為38歲，試判斷一名年齡為22歲的年輕人每周的平均消費金額為多少.（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代替） 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 (1)利用頻率和為1得到m和n的等量關系，再結(jié)合等差數(shù)列即可得到m和n的值；（2）利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式計算即可得到答案. 【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖可知，， 由中間三組的人數(shù)成等差數(shù)列可知， 可解得 （2）調(diào)查對象的周平均消費為 ， 由題意，∴ . 【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，主要考查頻率和為1和平均數(shù)公式的應用,屬于基礎題. 20.已知拋物線在第一象限內(nèi)的點到焦點F的距離為． （1）求拋物線的方程； （2）若直線與拋物線C相交于A，B兩點，與圓相交于D，E兩點，O為坐標原點，，試問：是否存在實數(shù)a，使得|DE|的長為定值？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）；（2）時，為定長. 【解析】 【分析】 （1）利用拋物線的定義，到焦點距離等于到準線距離即可求得結(jié)果;（2）設直線AB的方程，代入拋物線方程，利用韋達定理及向量的坐標運算，求得m的值，利用圓的弦長公式，求得|DE|,即可得到答案. 【詳解】（1）∵點，∴，解得， 故拋物線的方程為：． （2）設直線的方程為，代入拋物線方程可得， 設 ，則，，① 由得：， 整理得，② 將①代入②解得，∴直線 ∵圓心到直線的距離，∴ 顯然當時，，的長為定值． 【點睛】本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理及向量的坐標運算，考查圓的弦長公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題． 21.已知函數(shù)，. （1）求函數(shù)在區(qū)間[1,2]上的最大值； （2）設在(0,2)內(nèi)恰有兩個極值點，求實數(shù)m的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）對函數(shù)求導，判斷函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性即可得到函數(shù)的最值；（2）先求出f′（x），由題意知：mx2﹣4x+m＝0在（0，2）有兩個變號零點，即在（0，2）有兩個變號零點，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出最值即可． 【詳解】（1），∴p′（x）＝ex﹣， ∴p″（x）＝ex+＞0恒成立 所以p′（x）＝ex﹣在[1,2]單調(diào)遞增， ∵p（1）＝e﹣3＜0，，∴?x0∈（1，2），使p（x0）＝0， 當x∈[1，x0]時，p（x）＜0，p（x）單調(diào)遞減； 當x∈[x0，2]時，p（x）＞0，p（x）單調(diào)遞增． 又，>e+2 ∴p（x）在[1，2]上的最大值為p（2）＝e2﹣3ln2+2． （2），， 由題意知：=0在(0,2)有兩個變號零點， 即在(0,2)有兩個變號零點 令，， 令則x=1，且時，，g(x)單調(diào)遞增；時，g(x)單調(diào)遞減， 又g(0)=0,g(1)=2,g(2)=， 【點睛】本題考查利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題． 注意：請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題計分． 22.已知曲線C在平面直角坐標系xOy下的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系. （1）求曲線C的普通方程及極坐標方程； （2）直線l的極坐標方程是．射線OT：與曲線C交于點A，與直線l交于點B，求的值. 【答案】（1），；（2）12. 【解析】 【分析】 (1)首先將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，然后將直角坐標轉(zhuǎn)化為極坐標方程即可； (2)首先求得交點的極坐標，然后結(jié)合極坐標的幾何意義求解的值即可. 【詳解】（1）因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）， 消去參數(shù)得曲線的普通方程為， 又，， ∴曲線的極坐標方程為. （2）由， 故射線與曲線的交點的極坐標為； 由， 故射線與直線的交點的極坐標為， ∴.=12. 【點睛】本題主要考查極坐標方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程與普通方程的互化等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力. 23.已知函數(shù)． (1)解不等式； (2)已知，若關于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由不等式的性質(zhì)零點分段求解不等式的解集即可； （2）由絕對值三角不等式的性質(zhì)可得的最大值是，由均值不等式的性質(zhì)可知的最小值為.則，求解絕對值不等式即可確定實數(shù)的取值范圍. 【詳解】解：（1）不等式等價于，即或 或. 解得或或， 所以不等式的解集為. （2）因為，所以的最大值是， 又，于是，的最小值為. 要使的恒成立，則，解此不等式得.所以實數(shù)的取值范圍是.