2019屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 文(含解析) (I).doc

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2019屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 文(含解析) (I) 一、選擇題.（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項） 1.已知集合，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 解出集合A和集合B，取交集即可. 【詳解】由A中不等式得：x﹣1>0， 解得：x>1，即A＝（1，+∞）； 由B中y＝ln（x2﹣1），得到x2﹣1＞0，即x＜﹣1或x＞1 ∴B＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 則A∩B＝（1，+∞）． 故選：D． 【點睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題. 2.若且，則下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用不等式的性質(zhì)逐個檢驗即可得到答案. 【詳解】A,a＞b且c∈R，當(dāng)c小于等于0時不等式不成立，故錯誤； B,a，b，c∈R，且a＞b，可得a﹣b＞0，當(dāng)c=0時不等式不成立，故錯誤；, C,舉反例，a=2,b=-1滿足a>b,但不滿足，故錯誤； D,將不等式化簡即可得到a>b,成立， 故選：D. 【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)以及排除法的應(yīng)用，屬于簡單題. 用特例代替題設(shè)所給的一般性條件，得出特殊結(jié)論，然后對各個選項進(jìn)行檢驗，從而做出正確的判斷，這種方法叫做特殊法. 若結(jié)果為定值，則可采用此法. 特殊法是“小題小做”的重要策略. 常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等． 3.已知數(shù)列1，，，，…，，…，則是它的（ ） A. 第62項 B. 第63項 C. 第64項 D. 第68項 【答案】B 【解析】 【分析】 分析可得該數(shù)列的通項公式為，解方程＝即可得答案 【詳解】數(shù)列1，，，，…，，…，則該數(shù)列的通項公式為an＝， 若＝，即2n﹣1＝125， 解可得n＝63， 則是這個數(shù)列的第63項； 故選：B． 【點睛】本題考查數(shù)列的概念及數(shù)列通項的概念，屬基礎(chǔ)題. 4.鞋柜里有4雙不同的鞋，從中隨機(jī)取出一只左腳的，一只右腳的，恰好成雙的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出基本事件總數(shù)n，恰好成雙包含的基本事件個數(shù)m，由概率公式即可得到答案． 【詳解】鞋柜里有4雙不同的鞋，從中取出一只左腳的，一只右腳的， 基本事件總數(shù)n＝＝16， 恰好成雙包含的基本事件個數(shù)m＝＝4， ∴恰好成雙的概率為p＝． 故選：A． 【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題． 5.已知雙曲線 的離心率為，則的漸近線方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，故，即，故漸近線方程為. 【考點定位】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力. 6.已知實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案． 【詳解】由約束條件作出可行域如圖， 聯(lián)立，解得A（1，1）， 化目標(biāo)函數(shù)z＝2x+y為y＝﹣2x+z， 由圖可知，當(dāng)直線y＝﹣2x+z過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為3． 故選：B． 【點睛】本題考查二元一次不等式組與平面區(qū)域問題、函數(shù)的最值及其幾何意義，線性規(guī)劃中的最值問題主要涉及三個類型：1.分式形式：與斜率有關(guān)的最值問題：表示定點P與可行域內(nèi)的動點M(x,y)連線的斜率.2. 一次形式z=ax+by:與直線的截距有關(guān)的最值問題, 特別注意斜率范圍及截距符號. 7.下列說法中錯誤的是（ ） A. 先把高二年級的xx名學(xué)生編號為1到xx，再從編號為1到50的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，其編號為，然后抽取編號為，，的學(xué)生，這樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣法； B. 獨(dú)立性檢驗中，越大，則越有把握說兩個變量有關(guān)； C. 若兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1； D. 若一組數(shù)據(jù)1、a、3的平均數(shù)是2，則該組數(shù)據(jù)的方差是. 【答案】C 【解析】 【分析】 對選項逐個進(jìn)行分析，排除即可得到答案. 【詳解】對于A，根據(jù)個體數(shù)目較多，且沒有明顯的差異，抽取樣本間隔相等，知這種抽樣方法是系統(tǒng)抽樣法，∴A正確； 對應(yīng)B,獨(dú)立性檢驗中，越大，應(yīng)該是說明兩個變量有關(guān)系的可能性大，即有足夠的把握說明兩個變量有關(guān)，B正確； 對于C，兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)|r|的值越接近于1，C錯誤； 對于D，一組數(shù)據(jù)1、a、3的平均數(shù)是2，∴a＝2； ∴該組數(shù)據(jù)的方差是s2＝[（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2]＝，D正確． 故選：C. 【點睛】本題利用命題真假的判斷考查了概率與統(tǒng)計的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題． 8.已知不共線的兩個向量 A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 向量，兩邊平方得到 化簡得到聯(lián)立兩式得到。 故答案為：B。 9.已知一個幾何體的三視圖如下圖所示，則此幾何體的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由三視圖可知該幾何體下部為圓柱，上部為圓錐，由面積公式即可得到答案. 【詳解】由三視圖可知，該幾何體下部為圓柱，上部為圓錐，圓柱底面圓的半徑為a,高為2a,圓錐的高為a,圓錐的母線長為， 所以表面積為 ， 故選：D 【點睛】本題考查三視圖的還原，考查圓錐，圓柱的表面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 10.從區(qū)間中任取一個值，則函數(shù)是增函數(shù)的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由函數(shù)為增函數(shù)得到a的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式計算直接得到答案. 【詳解】∵函數(shù)為遞增函數(shù)， ∴即 解得1＜, 又a從區(qū)間中任取一個值由概率公式可得 故選：A. 【點睛】本題主要考查長度型幾何概型，考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，以及分段函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了計算能力. 11.函數(shù)的圖像在點處的切線斜率的最小值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x＝b時的導(dǎo)數(shù)值，利用基本不等式求最值得答案． 【詳解】由，得f′（x）＝+2x﹣b， ∴f′（b）＝+b（b≥2） ∴f′（b）＝+b在b≥2時單調(diào)遞增， f′（b）＝+b 當(dāng)且僅當(dāng)b＝2時上式取“＝”，切線斜率的最小值是3． 故選：C. 【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用基本不等式求最值，是基礎(chǔ)題． 12.已知橢圓上一點關(guān)于原點的對稱點為點，為其右焦點，若，設(shè)，且，則該橢圓離心率的取值范圍為 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由題設(shè)條件結(jié)合橢圓的對稱性推導(dǎo)出|AF|+|BF|＝2a，|AB|＝2c，設(shè)∠ABF＝α，則能推導(dǎo)出2csinα+2ccosα＝2a，由此能求出結(jié)果． 【詳解】橢圓焦點在x軸上，橢圓上點A關(guān)于原點的對稱點為點B，F(xiàn)為其右焦點，設(shè)左焦點為F1，連接AF，AF1，BF，BF1，∴四邊形AFBF1為長方形． 根據(jù)橢圓的定義：|AF|+|AF1|＝2a，∠ABF＝α，則：∠AF1F＝α，∴2a＝2ccosα+2csinα 橢圓的離心率e＝，， ∴≤≤， 則：≤sin（α+ ）≤1， ∴≤≤， ∴橢圓離心率e的取值范圍：， 故選：A 【點睛】本題考查橢圓的定義，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用定義域求三角函數(shù)的值域，離心率公式的應(yīng)用，屬于中檔題型． 二、填空題.（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上） 13.已知且，則____ 【答案】 【解析】 【分析】 根據(jù)誘導(dǎo)公式得到，結(jié)合角的范圍得到，再利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式計算即可得到答案. 【詳解】=, , 又，得， 故答案為：. 【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 14.等比數(shù)列各項均為正數(shù)，，則 __________． 【答案】20 【解析】 由，得 所以 15.在區(qū)間上隨機(jī)取兩個數(shù)，記為事件“”的概率，則_____ 【答案】 【解析】 【分析】 由題意可得總的基本事件為{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，事件P包含的基本事件為{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤}，數(shù)形結(jié)合利用面積比可得概率． 【詳解】由題意可得總的基本事件為{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}， 事件P包含的基本事件為{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤}， 它們所對應(yīng)的區(qū)域分別為圖中的正方形和陰影三角形， 故所求概率P＝， 故答案為：． 【點睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計算事件的總面積以及所求事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯誤；（2）基本事件對應(yīng)的區(qū)域測度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯誤 ；（3）利用幾何概型的概率公式時 , 忽視驗證事件是否等可能性導(dǎo)致錯誤. 16.已知定義在R的函數(shù)對任意的x滿足，當(dāng)，．函數(shù)，若函數(shù)在上有6個零點，則實數(shù)a的取值范圍是______ 【答案】 【解析】 【分析】 函數(shù)h（x）＝f（x）﹣g（x）在[﹣6，+∞）上有6個零點，即函數(shù)f（x）與g（x）的圖像有6個交點，分別做出y＝f（x）與y＝g（x）的圖象，由此求得a的取值范圍． 【詳解】∵對任意的x滿足f（x+1）＝﹣f（x），∴f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），函數(shù)f（x）是以2為最小正周期的函數(shù)，畫函數(shù)f（x）、g（x）在圖象， 由圖象可知：在y軸的左側(cè)有2個交點，只要在右側(cè)有4個交點即可． 則即有，故7＜a≤9或≤a＜． 故答案為：． 【點睛】本題考查函數(shù)圖象的運(yùn)用，涉及函數(shù)的周期性，對數(shù)函數(shù)的圖象等知識點，關(guān)鍵是作出函數(shù)的圖象，由此分析兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)． 三、解答題.（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程） 17.已知函數(shù)． (1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間； (2)在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，求△ABC面積. 【答案】（1）最小正周期為，遞減區(qū)間為；（2）. 【解析】 【分析】 (1)利用二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)f(x)進(jìn)行化簡，然后利用正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)可得周期和單調(diào)區(qū)間；（2）由f(C)=1,得角C，由正弦定理得b=2a,然后利用余弦定理可得a和b的值，代入面積公式即可得到答案. 【詳解】=2sin(2x+) (1) 最小正周期為, 因為 所以, 所以函數(shù)的單遞減區(qū)間為 （2）因為，所以 所以， ① 又因為sinB=2sinA，所以b=2a② 由①，②可得a=1,b=2 . 【點睛】本題考查二倍角和輔助角公式的應(yīng)用，考查正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)，考查正余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于?？碱}型. 18.如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，，矩形ABCD所在平面和圓O所在的平面互相垂直，已知，. （1）求證：平面平面； （2）設(shè)幾何體、的體積分別為、，求. 【答案】（1）詳見解析；（2）. 【解析】 【分析】 (1)利用面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，再利用線面垂直的判定定理得到平面，由面面垂直的判定定理即可得到證明;（2）利用棱錐體積公式計算求比值即可. 【詳解】（1）如圖,矩形中，，∵平面平面，平面平面， ∴平面， ∵平面，∴. 又∵為圓的直徑，∴， ∵，、平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. 另解：也可證明平面. （2）幾何體是四棱錐、是三棱錐，過點作，交于.∵平面平面，∴平面. 則，∴ 【點睛】本題考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查棱錐體積公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題. 19.某網(wǎng)購平臺為了解某市居民在該平臺的消費(fèi)情況，從該市使用其平臺且每周平均消費(fèi)額超過100元的人員中隨機(jī)抽取了100名，并繪制右圖所示頻率分布直方圖，已知中間三組的人數(shù)可構(gòu)成等差數(shù)列. （1）求的值； （2）分析人員對抽取對象每周的消費(fèi)金額y與年齡x進(jìn)一步分析，發(fā)現(xiàn)他們線性相關(guān)，得到回歸方程.已知100名使用者的平均年齡為38歲，試判斷一名年齡為22歲的年輕人每周的平均消費(fèi)金額為多少.（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代替） 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 (1)利用頻率和為1得到m和n的等量關(guān)系，再結(jié)合等差數(shù)列即可得到m和n的值；（2）利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式計算即可得到答案. 【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖可知，， 由中間三組的人數(shù)成等差數(shù)列可知， 可解得 （2）調(diào)查對象的周平均消費(fèi)為 ， 由題意，∴ . 【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，主要考查頻率和為1和平均數(shù)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題. 20.已知拋物線在第一象限內(nèi)的點到焦點F的距離為． （1）求拋物線的方程； （2）若直線與拋物線C相交于A，B兩點，與圓相交于D，E兩點，O為坐標(biāo)原點，，試問：是否存在實數(shù)a，使得|DE|的長為定值？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）；（2）時，為定長. 【解析】 【分析】 （1）利用拋物線的定義，到焦點距離等于到準(zhǔn)線距離即可求得結(jié)果;（2）設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得m的值，利用圓的弦長公式，求得|DE|,即可得到答案. 【詳解】（1）∵點，∴，解得， 故拋物線的方程為：． （2）設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程可得， 設(shè) ，則，，① 由得：， 整理得，② 將①代入②解得，∴直線 ∵圓心到直線的距離，∴ 顯然當(dāng)時，，的長為定值． 【點睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查圓的弦長公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題． 21.已知函數(shù)，. （1）求函數(shù)在區(qū)間[1,2]上的最大值； （2）設(shè)在(0,2)內(nèi)恰有兩個極值點，求實數(shù)m的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）對函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性即可得到函數(shù)的最值；（2）先求出f′（x），由題意知：mx2﹣4x+m＝0在（0，2）有兩個變號零點，即在（0，2）有兩個變號零點，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可． 【詳解】（1），∴p′（x）＝ex﹣， ∴p″（x）＝ex+＞0恒成立 所以p′（x）＝ex﹣在[1,2]單調(diào)遞增， ∵p（1）＝e﹣3＜0，，∴?x0∈（1，2），使p（x0）＝0， 當(dāng)x∈[1，x0]時，p（x）＜0，p（x）單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈[x0，2]時，p（x）＞0，p（x）單調(diào)遞增． 又，>e+2 ∴p（x）在[1，2]上的最大值為p（2）＝e2﹣3ln2+2． （2），， 由題意知：=0在(0,2)有兩個變號零點， 即在(0,2)有兩個變號零點 令，， 令則x=1，且時，，g(x)單調(diào)遞增；時，g(x)單調(diào)遞減， 又g(0)=0,g(1)=2,g(2)=， 【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題． 注意：請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題計分． 22.已知曲線C在平面直角坐標(biāo)系xOy下的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系. （1）求曲線C的普通方程及極坐標(biāo)方程； （2）直線l的極坐標(biāo)方程是．射線OT：與曲線C交于點A，與直線l交于點B，求的值. 【答案】（1），；（2）12. 【解析】 【分析】 (1)首先將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，然后將直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程即可； (2)首先求得交點的極坐標(biāo)，然后結(jié)合極坐標(biāo)的幾何意義求解的值即可. 【詳解】（1）因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）， 消去參數(shù)得曲線的普通方程為， 又，， ∴曲線的極坐標(biāo)方程為. （2）由， 故射線與曲線的交點的極坐標(biāo)為； 由， 故射線與直線的交點的極坐標(biāo)為， ∴.=12. 【點睛】本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程與普通方程的互化等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力. 23.已知函數(shù)． (1)解不等式； (2)已知，若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由不等式的性質(zhì)零點分段求解不等式的解集即可； （2）由絕對值三角不等式的性質(zhì)可得的最大值是，由均值不等式的性質(zhì)可知的最小值為.則，求解絕對值不等式即可確定實數(shù)的取值范圍. 【詳解】解：（1）不等式等價于，即或 或. 解得或或， 所以不等式的解集為. （2）因為，所以的最大值是， 又，于是，的最小值為. 要使的恒成立，則，解此不等式得.所以實數(shù)的取值范圍是.