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專題研究 函數模型及應用
1．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現在人均一年占有糧食360千克，如果該鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口平均每年增長1.2%，糧食總產量平均每年增長4%，那么x年后若人均一年占有y千克糧食，則y關于x的解析式為( )
A．y＝360()x－1 B．y＝3601.04x
C．y＝ D．y＝360()x
答案 D
解析 設該鄉(xiāng)鎮(zhèn)現在人口量為M，則該鄉(xiāng)鎮(zhèn)現在一年的糧食總產量為360M，1年后，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食總產量為360M(1＋4%)，人口量為M(1＋1.2%)，則人均占有糧食產量為，2年后，人均占有糧食產量為，…，經過x年后，人均占有糧食產量為，即所求解析式為y＝360()x.
2．已知A、B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/小時的速度從A地到B地，在B地停留1小時后再以50千米/小時的速度返回A地，把汽車離開A地的距離x表示為時間t(小時)的函數表達式是( )
A．x＝60t
B．x＝60t＋50
C．x＝
D．x＝
答案 D
3．如果在今后若干年內，我國國民經濟生產總值都控制在平均每年增長9%的水平，那么要達到國民經濟生產總值比1995年翻兩番的年份大約是( )(lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg109＝2.037 4，lg0.09＝－2.954 3)( )
A．2015年 B．2011年
C．2010年 D．2008年
答案 B
解析 設1995年總值為a，經過x年翻兩番，則a(1＋9%)x＝4a.∴x＝≈16.
4．某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內，他的這支股票先經歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為( )
A．略有盈利 B．略有虧損
C．沒有盈利也沒有虧損 D．無法判斷盈虧情況
答案 B
解析 設該股民購進股票的資金為a，則交易結束后，所剩資金為：a(1＋10%)n(1－10%)n＝a(1－0.01)n＝a0.99n
1010，
得()x>108，兩邊取以10為底的對數，得xlg>8，∴x>.
∵＝≈45.45，∴x>45.45，
∴至少經過46小時，細胞總數超過1010個．
8．2016年翼裝飛行世界錦標賽在張家界舉行，下圖反映了在空中高速飛行的某翼人從某時刻開始15分鐘內的速度v(x)與時間x的關系，若定義“速度差函數”u(x)為時間段[0，x]內的最大速度與最小速度的差，則u(x)的圖像是( )
答案 D
解析 據題意函數在[6，10]和[12，15]兩個區(qū)間上都是常數，故選D.
9．一個容器裝有細沙a cm3，細沙從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細沙量為y＝ae－bt(cm3)，若經過8 min后發(fā)現容器內還有一半的沙子，則再經過________min，容器中的沙子只有開始時的八分之一．
答案 16
解析 當t＝0時，y＝a；當t＝8時，y＝ae－8b＝a，
∴e－8b＝，容器中的沙子只有開始時的八分之一時，
即y＝ae－bt＝a.
e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，則t＝24，所以再經過16 min.
10.為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式y(tǒng)＝()t－a(a為常數)，如圖所示，根據圖中提供的信息，回答下列問題：
(1)從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數關系式為__________________________．
(2)據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經過________小時后，學生才能回到教室．
答案 (1)y＝ (2)0.6
解析 (1)設y＝kt，由圖像知y＝kt過點(0.1，1)，則
1＝k0.1，k＝10，∴y＝10t(0≤t≤0.1)．
由y＝過點(0.1，1)，得1＝，解得
a＝0.1，∴y＝(t>0.1)．
(2)由≤0.25＝，得t≥0.6.
故至少需經過0.6小時學生才能回到教室．
11．某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水不超過4噸時，每噸為1.80元，當用水超過4噸時，超過部分每噸3.00元．某月甲、乙兩戶共交水費y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x，3x(噸)．
(1)求y關于x的函數；
(2)若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費．
答案 (1)y＝
(2)甲戶用水量為7.5噸，付費17.70元；
乙戶用水量為4.5噸，付費8.70元
解析 (1)當甲的用水量不超過4噸時，即5x≤4，乙的用水量也不超過4噸，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；
當甲的用水量超過4噸時，乙的用水量不超過4噸，即3x≤4，且5x>4時，y＝41.8＋3x1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.
當乙的用水量超過4噸，即3x>4時，
y＝241.8＋3[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
所以y＝
(2)由于y＝f(x)在各段區(qū)間上均單調遞增；
當x∈[0，]時，y≤f()<26.4；
當x∈(，]時，y≤f()<26.4；
當x∈(，＋∞)時，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.
所以甲戶用水量為5x＝51.5＝7.5噸，
付費S1＝41.8＋3.53＝17.70(元)；
乙戶用水量為3x＝4.5噸，
付費S2＝41.8＋0.53＝8.70(元)．
12．據氣象中心觀察和預測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數圖像如圖所示，過線段OC上一點T(t，0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側部分的面積即為t(h)內沙塵暴所經過的路程s(km)．
(1)當t＝4時，求s的值；
(2)將s隨t變化的規(guī)律用數學關系式表示出來；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由．
答案 (1)24 (2)s＝
(3)沙塵暴發(fā)生30 h后將侵襲到N城
解析 (1)由圖像可知：當t＝4時，v＝34＝12，
∴s＝412＝24.
(2)當0≤t≤10時，s＝t3t＝t2；
當1022% B．x<22%
C．x＝22% D．以上都不對
答案 B
3．為了保護學生的視力，課桌椅的高度都是按照一定的關系配套設計的．研究表明：假設課桌的高度為y cm，椅子的高度為x cm，則y應該是x的一次函數，下表給出了兩套符合條件的課桌椅的高度：
第一套
第二套
椅子高度x(cm)
40.0
37.0
桌子高度y(cm)
75.0
70.2
現有一把高為42.0 cm的椅子和一張高78.2 cm的課桌，則這套課桌椅________．(填“配套”或“不配套”)
答案 配套
解析 設一次函數為y＝ax＋b，將給出條件的兩套課桌椅的高度代入，得解得所以y＝1.6x＋11.當x＝42時，y＝78.2，故是配套的．
4．某駕駛員喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)隨時間x(小時)變化的規(guī)律近似滿足表達式f(x)＝《酒后駕車與醉酒駕車的標準及相應的處罰》規(guī)定：駕駛員血液中酒精含量不得超過0.02毫克/毫升．此駕駛員至少要過________小時后才能開車(不足1小時部分算1小時，結果精確到1小時)．
答案 4
解析 當0≤x≤1時，5x－2≤0.02，即x－2≤log50.02，x≤2＋log50.02?[0，1]，此時x無解；當x>1時，()x≤0.02，即31－x≤0.1，1－x≤log30.1，x≥1－log30.1，得x≥3.10.所以此駕駛員至少要過4小時后才能開車．
5．一類產品按質量共分為10個檔次，最低檔次產品每件利潤8元，每提高一個檔次每件利潤增加2元，一天的工時可以生產最低檔次產品60件，提高一個檔次將減少3件，求生產何種檔次的產品獲利最大？
答案 生產第9檔次的產品獲利最大
解析 將產品從低到高依次分為10個檔次．
設生產第x檔次的產品(1≤x≤10，x∈N)，利潤為y元，則y＝[60－3(x－1)][8＋2(x－1)]＝(63－3x)(6＋2x)＝6(21－x)(3＋x)≤6[]2＝6144＝864.
當且僅當21－x＝3＋x，即x＝9時取等號．
2019高考數學一輪復習 第2章 函數與基本初等函數 專題研究 函數模型及應用練習 理.doc
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