2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)規(guī)范練36 數(shù)學(xué)歸納法 理 北師大版.doc

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課時(shí)規(guī)范練36　數(shù)學(xué)歸納法 基礎(chǔ)鞏固組 1.如果命題p(n)對(duì)n=k(k∈N+)成立,則它對(duì)n=k+2也成立.若p(n)對(duì)n=2也成立,則下列結(jié)論正確的是(　　) A.p(n)對(duì)所有正整數(shù)n都成立 B.p(n)對(duì)所有正偶數(shù)n都成立 C.p(n)對(duì)所有正奇數(shù)n都成立 D.p(n)對(duì)所有自然數(shù)n都成立 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+y整除”,在第二步時(shí),正確的證法是 (　　) A.假設(shè)n=k(k∈N+),證明n=k+1時(shí)命題成立 B.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù)),證明n=k+1時(shí)命題成立 C.假設(shè)n=2k+1(k∈N+),證明n=k+1時(shí)命題成立 D.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù)),證明n=k+2時(shí)命題成立 3.(2018安徽蚌埠期末,5)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1n+1+1n+2+…+12n>1324(n>2)”的過程中,歸納遞推由n=k到n=k+1時(shí),不等式的左邊(　　) A.增加了一項(xiàng)12(k+1) B.增加了兩項(xiàng)12k+1+12(k+1) C.增加了兩項(xiàng)12k+1+12(k+1),又減少了一項(xiàng)1k+1 D.增加了一項(xiàng)12(k+1),又減少了一項(xiàng)1k+1 4.(2018遼寧遼陽期末,6)證明等式12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6(n∈N+)時(shí),某學(xué)生的證明過程如下: (1)當(dāng)n=1時(shí),12=1236,等式成立; (2)假設(shè)n=k(k∈N+)時(shí),等式成立, 即12+22+32+…+k2=k(k+1)(2k+1)6,則當(dāng)n=k+1時(shí), 12+22+32+…+k2+(k+1)2 =k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2 =(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]6 =(k+1)(2k2+7k+6)6 =(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]6, 所以當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立,故原等式成立. 那么上述證明(　　) A.全過程都正確 B.當(dāng)n=1時(shí)驗(yàn)證不正確 C.歸納假設(shè)不正確 D.從n=k到n=k+1的推理不正確 5.(2018遼寧撫順期中,14)用數(shù)學(xué)歸納法證明:“兩兩相交且不共點(diǎn)的n條直線把平面分為f(n)部分,則f(n)=1+n(n+1)2.”證明第二步歸納遞推時(shí),用到f(k+1)=f(k)+　　　　　. 6.試證:當(dāng)n∈N+時(shí),f(n)=32n+2-8n-9能被64整除. 7.(2018山東師范大學(xué)附屬中學(xué)期中,18)證明:對(duì)任意的n∈N+,不等式325476…2n+12n>n+1成立. 8.(2018廣東中山一中三模,21)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=an2-2nan+2(n∈N+). (1)求a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(不需證明); (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n≥6時(shí),有Sn<2n成立. 綜合提升組 9.設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足:“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí),總可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.則下列命題總成立的是(　　) A.若f(3)≥9成立,則當(dāng)k≥1時(shí),均有f(k)≥k2成立 B.若f(5)≥25成立,則當(dāng)k≤5時(shí),均有f(k)≤k2成立 C.若f(7)<49成立,則當(dāng)k≥8時(shí),均有f(k)4時(shí),f(n)=　　　　　(用n表示). 11.(2018遼寧六校協(xié)作體期中,17)是否存在常數(shù)a,b使得等式12+22+…+n2=n(2n+1)(an+b)對(duì)一切正整數(shù)n都成立?若存在,求出a,b值,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論;若不存在,請(qǐng)說明理由. 創(chuàng)新應(yīng)用組 12.(2018河南洛陽模擬,18)將正整數(shù)作如下分組:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),….分別計(jì)算各組包含的正整數(shù)的和如下, S1=1, S2=2+3=5, S3=4+5+6=15, S4=7+8+9+10=34, S5=11+12+13+14+15=65, S6=16+17+18+19+20+21=111, (1)求S7的值; (2)由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,試猜測(cè)S1+S3+…+S2n-1的結(jié)果,并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 13.已知函數(shù)f0(x)=sinxx(x>0),設(shè)fn(x)為fn-1(x)的導(dǎo)數(shù),n∈N+. (1)求2f1π2+π2f2π2的值; (2)證明:對(duì)任意的n∈N+,等式nfn-1π4+π4fnπ4=22都成立. 參考答案 課時(shí)規(guī)范練36　數(shù)學(xué)歸納法 1.B　n=k時(shí)成立,當(dāng)n=2時(shí),n=k+2成立,n為2,4,6,…,故n為所有正偶數(shù). 2.D　相鄰兩個(gè)正奇數(shù)相差2,故D選項(xiàng)正確. 3.C　當(dāng)n=k時(shí),左邊=1k+1+1k+2+…+12k, ① 當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1k+2+1k+3+…+12k+1+12k+2,② 所以增加了兩項(xiàng)12k+1+12(k+1),又減少了一項(xiàng)1k+1,故答案為C. 4.A　考查所給的證明過程:當(dāng)n=1時(shí)驗(yàn)證是正確的,歸納假設(shè)是正確的,從n=k到n=k+1的推理也是正確的,即證明過程中不存在任何的問題.故選A. 5.k+1　當(dāng)n=k(k≥2)時(shí),有f(k)=1+k(k+1)2,當(dāng)n=k+1時(shí),f(k+1)=1+(k+1)(k+2)2, ∴從k到k+1左端需增加的代數(shù)式1+(k+1)(k+2)2-1-k(k+1)2=k+12(k+2-k)=k+1, ∴在證明第二步歸納推理的過程中,用到f(k+1)=f(k)+(k+1). 6.證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),f(1)=64,命題顯然成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)時(shí),f(k)=32k+2-8k-9能被64整除,則當(dāng)n=k+1時(shí),f(k+1)=32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+98k+99-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1), 即f(k+1)=9f(k)+64(k+1),因此當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 根據(jù)(1)(2)可知,對(duì)于任意n∈N+,命題都成立. 7.證明 ①當(dāng)n=1時(shí),左邊=,右邊=2,因?yàn)?2,所以不等式成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立,即325476…2k+12k>k+1成立.則當(dāng)n=k+1時(shí), 左邊325476…2k+12k2k+32k+2 >k+12k+32k+2=(2k+3)24(k+1) =4(k+1)2+4(k+1)+14(k+1) =(k+1)+1+14(k+1) >(k+1)+1, 所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立. 由①②可得不等式恒成立. 8.解 (1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想an=2n+1. (2)Sn=n(3+2n+1)2=n2+2n,下證:n≥6(n∈N+)時(shí)都有2n>n2+2n. 當(dāng)n=6時(shí),26>62+26,即64>48成立; 假設(shè)n=k(k≥6,k∈N+)時(shí),2k>k2+2k成立, 那么當(dāng)n=k+1時(shí),2k+1=22k>2(k2+2k)=k2+2k+k2+2k>k2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1),即n=k+1時(shí),不等式成立. 故對(duì)于所有的n≥6(n∈N+),都有2n>n2+2n成立. 9.D　對(duì)A,當(dāng)k=1或2時(shí),不一定有f(k)≥k2成立; 對(duì)B,只能得出:對(duì)于任意的k≥5,均有f(k)≥k2成立,不能得出:對(duì)任意的k≤5,均有f(k)≤k2成立; 對(duì)C,若f(7)<49成立不能推出任何結(jié)論; 對(duì)D,∵f(4)=25≥16,∴對(duì)于任意的k≥4,均有f(k)≥k2成立.故選D. 10.5　 (n+1)(n-2)　f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5, f(n)=f(3)+3+4+…+(n-1) =2+3+4+…+(n-1) =12(n+1)(n-2). 11.解 分別令n=1,2,可得1=3(a+b),5=10(2a+b),解得a=16,b=16. 故猜想等式12+22+…+n2=n(2n+1)(n+1)6對(duì)一切正整數(shù)n都成立. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: ①當(dāng)n=1時(shí),由上面的探求可知等式成立. ②假設(shè)n=k(k∈N+,k≥1)時(shí)猜想成立,即12+22+…+k2=k(2k+1)(k+1)6. 當(dāng)n=k+1時(shí), 12+22+…+k2+(k+1)2=k(2k+1)(k+1)6+(k+1)2 =(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]6 =(k+1)(2k2+7k+6)6 =(k+1)(2k+3)(k+2)6. 所以當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立. 由①②知猜想成立,即存在a=16,b=16使命題成立. 12.解 (1)S7=22+23+24+25+26+27+28=175. (2)S1=1;S1+S3=16;S1+S3+S5=81;S1+S3+S5+S7=256; 猜測(cè)S1+S3+S5+…+S2n-1=n4. 證明如下:記Mn=S1+S3+S5+…+S2n-1, ①當(dāng)n=1時(shí),猜想成立. ②設(shè)當(dāng)n=k時(shí),命題成立,即Mk=S1+S3+S5+…+S2k-1=k4. 下面證明當(dāng)n=k+1時(shí),猜想也成立. 事實(shí)上,由題設(shè)可知 Sn是由1+2+3+…+(n-1)+1=n(n-1)2+1開始的n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和. 所以Sn=n(n-1)2+1+n(n-1)2+2+…+n(n-1)2+n=n(n2+1)2, 所以S2k+1=(2k+1)[(2k+1)2+1]2=(2k+1)(2k2+2k+1)=4k3+6k2+4k+1, 從而Mk+1=Mk+S2k+1=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4, 所以猜想在n=k+1時(shí)也成立. 綜合(1)(2)可知猜想對(duì)任何n∈N+都成立. 13.(1)解 由已知,得f1(x)=f0(x)=sinxx=cosxx-sinxx2,于是 f2(x)=f1(x)=cosxx-sinxx2 =-sinxx-2cosxx2+2sinxx3, 所以f1π2=-4π2,f2π2=-2π+16π3, 故2f1π2+π2f2π2=-1. (2)證明 由已知,得xf0(x)=sin x,等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo),得f0(x)+xf0(x)=cos x,即f0(x)+xf1(x)=cos x=sinx+,類似可得,2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π),3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sinx+3π2,4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2π). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sinx+nπ2對(duì)所有的x∈N+都成立. ①當(dāng)n=1時(shí),由上可知等式成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sinx+kπ2.因?yàn)閇kfk-1(x)+xfk(x)]=kfk-1(x)+fk(x)+xfk(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x), sinx+kπ2=cosx+kπ2x+kπ2=sinx+(k+1)π2,所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sinx+(k+1)π2. 因此當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立. 綜合①②可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sinx+nπ2對(duì)所有的n∈N+都成立. 令x=π4,可得nfn-1π4+π4fnπ4=sin π4+nπ2(n∈N+), 所以nfn-1π4+π4fnπ4=22(n∈N+).