高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5.1 曲邊梯形的面積 1.5.2 定積分學(xué)案 蘇教版選修2-2.doc

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1.5.1　曲邊梯形的面積～1.5.2　定積分 學(xué)習(xí)目標(biāo) 重點(diǎn)難點(diǎn) 1．通過實例，會求曲邊梯形的面積，從問題情境中了解定積分的實際背景． 2．借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念. 重點(diǎn)：1．會求曲邊梯形的面積； 2．定積分的幾何意義和性質(zhì)． 難點(diǎn)：求曲邊梯形面積的方法與步驟，定積分的概念. 1．曲邊梯形 直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的圖形稱為________梯形． 2．定積分 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點(diǎn)a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，將區(qū)間[a，b]均分成n個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度為Δx＝，在每個小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點(diǎn)ξi(i＝1,2，…，n)，作和式(ξi)Δx＝f(ξi)，如果當(dāng)Δx→0(即n→∞)時，上述和式無限接近某個常數(shù)，那么這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的__________，記為f(x)dx.這里a與b分別叫做積分______與積分______，區(qū)間[a，b]叫做積分______，函數(shù)f(x)叫做____________，x叫做____________，f(x)dx叫做________． 預(yù)習(xí)交流1 做一做：在求由x＝a，x＝b(a＜b)，y＝f(x)[f(x)≥0]及y＝0圍成的曲邊梯形的面積S時，在區(qū)間[a，b]上等間隔地插入n－1個分點(diǎn)，分別過這些分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，下列說法中正確的是________．(填序號) ①n個小曲邊梯形的面積和等于S；②n個小曲邊梯形的面積和小于S；③n個小曲邊梯形的面積和大于S；④n個小曲邊梯形的面積和與S之間的大小關(guān)系無法確定． 3．定積分的幾何意義 一般地，定積分的幾何意義是，在區(qū)間[a，b]上曲線與x軸所圍圖形面積的__________(即x軸上方的面積______x軸下方的面積)． 預(yù)習(xí)交流2 做一做：dx＝________. 預(yù)習(xí)交流3 做一做：不用計算，根據(jù)圖形，用不等號連接下列各式： (1)xdx__________x2dx； (2)xdx__________xdx； (3)dx__________2dx. 在預(yù)習(xí)中還有哪些問題需要你在聽課時加以關(guān)注？請在下列表格中做個備忘吧！ 我的學(xué)困點(diǎn) 我的學(xué)疑點(diǎn) 答案： 預(yù)習(xí)導(dǎo)引 1．曲邊 2．定積分　下限　上限　區(qū)間　被積函數(shù)　積分變量　被積式 預(yù)習(xí)交流1：提示：① 3．代數(shù)和　減去 預(yù)習(xí)交流2：提示：1 預(yù)習(xí)交流3：提示：(1)＞　(2)＜　(3)＜ 一、利用定積分的定義求曲邊梯形的面積 求由直線x＝1，x＝2和y＝0及曲線y＝x3圍成的圖形的面積． 思路分析：利用求曲邊梯形面積的步驟求解． 求由直線x＝0，x＝1，y＝0及曲線y＝x2＋2x所圍成的圖形的面積S. 1．求曲邊梯形的面積時要按照分割—以直代曲—作和—逼近這四個步驟進(jìn)行． 2．近似代替時，可以用每個區(qū)間的右端點(diǎn)的函數(shù)值代替，也可用每個區(qū)間的左端點(diǎn)的函數(shù)值代替． 3．作和時要用到一些常見的求和公式，例如：1＋2＋3＋…＋n＝，12＋22＋…＋n2＝等． 二、汽車行駛路程的計算問題 一輛汽車在筆直的公路上變速行駛，汽車在時刻t的速度為v(t)＝t2(單位：km/h)，試計算這輛汽車在0≤t≤2(單位：h)這段時間內(nèi)汽車行駛的路程s(單位：km)． 思路分析：由v(t)及t＝0，t＝2，v＝0所圍成的面積即為汽車行駛的路程，按照求曲邊梯形面積的方法求解即可． 某物體做變速直線運(yùn)動，設(shè)該物體在時刻t的速度為v(t)＝7－t2，試計算這個物體在0≤t≤1這段時間內(nèi)運(yùn)動的路程s. 把變速直線運(yùn)動的路程問題，化歸為求勻速直線運(yùn)動的路程問題，采用方法仍然是分割、以直代曲、作和、逼近，求變速直線運(yùn)動的路程和曲邊梯形的面積，通過這樣的背景問題，能更好體會后面所要學(xué)習(xí)的定積分的概念． 三、定積分概念的理解及應(yīng)用 利用定積分的定義計算(x＋2)dx. 思路分析：根據(jù)定積分的定義，按照4個步驟依次進(jìn)行計算． 用定積分的定義證明：kdx＝k(b－a)． 用定義法求定積分的四個步驟是：(1)分割；(2)以直代曲；(3)作和；(4)逼近．其中分割通常都是對積分區(qū)間進(jìn)行等分，以直代曲時通常取區(qū)間的左端點(diǎn)或右端點(diǎn)，作和時要注意一些求和公式的靈活運(yùn)用． 四、定積分的幾何意義 用定積分的幾何意義求下列各式的值： (1)(x＋2)dx； (2)dx； (3)sin xdx. 思路分析：畫出每個被積函數(shù)的圖象，根據(jù)定積分的幾何意義進(jìn)行計算求解． 1．由定積分的幾何意義可知xdx＝__________. 2．用定積分的幾何意義計算∫cos xdx＝________. 1.定積分f(x)dx的幾何意義是：介于x＝a，x＝b之間，x軸上、下相應(yīng)曲邊平面圖形面積的代數(shù)和，其中x軸上方部分面積為正，x軸下方部分的面積為負(fù)． 2．利用定積分的幾何意義求定積分就必須準(zhǔn)確理解其幾何意義，同時要合理利用函數(shù)的奇偶性、對稱性來解決問題，另外，結(jié)合圖形可以更直觀形象地輔助作題． 1．在計算由曲線y＝－x2以及直線x＝－1，x＝1，y＝0所圍成的圖形面積時，若將區(qū)間[－1,1]n等分，則每個小區(qū)間的長度為__________． 2．＝________. 3．(n＋1)＝________. 4．已知f(x)dx＝6，則6f(x)dx＝________. 5．由定積分的幾何意義可知dx＝________. 6．利用定積分的定義求拋物線y＝x2＋1與直線x＝0，x＝1，y＝0所圍成的平面圖形的面積S. 提示：用最精練的語言把你當(dāng)堂掌握的核心知識的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來并進(jìn)行識記. 知識精華 技能要領(lǐng) 答案： 活動與探究1：解：(1)分割 如圖，把曲邊梯形ABCD分割成n個小曲邊梯形，用分點(diǎn)，，…，把區(qū)間[1,2]等分成n個小區(qū)間：，，…，，…，，每個小區(qū)間的長度為Δx＝－＝，過各分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形ABCD分割成n個小曲邊梯形，它們的面積分別記作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn. (2)以直代曲 取各小區(qū)間的左端點(diǎn)ξi，用ξi3為一邊長，以小區(qū)間長Δx＝為其鄰邊長的小矩形面積近似代替第i個小曲邊梯形的面積，可以近似地表示為ΔSi≈ξi3Δx＝3(i＝1,2,3，…，n)． (3)作和 因為每一個小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個小矩形面積的和就是曲邊梯形ABCD的面積S的近似值，即S＝Si≈3.① (4)逼近 當(dāng)分點(diǎn)數(shù)目愈多，即Δx愈小時，和式①的值就愈接近曲邊梯形ABCD的面積S.因此，n→∞即Δx→0時，和式①的極限就是所求的曲邊梯形ABCD的面積． ∵3＝(n＋i－1)3 ＝(n－1)3＋3(n－1)2i＋3(n－1)i2＋i3] ＝， 當(dāng)n→∞時，S＝3＝1＋＋1＋＝. 遷移與應(yīng)用： 解：(1)分割 在區(qū)間[0,1]上等間隔地插入n－1個點(diǎn)，將它等分為n個小區(qū)間：，，，…，，記第i個區(qū)間為(i＝1,2，…，n)，其長度為Δx＝－＝. 分別過上述n－1個分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形(如圖)，它們的面積記作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，則小曲邊梯形面積的和為S＝Si. (2)以直代曲 記f(x)＝x2＋2x，當(dāng)n很大，即Δx很小時，在區(qū)間上，可以認(rèn)為f(x)的值變化很小，不妨用f來近似地作為f(x)在該區(qū)間上的函數(shù)值．從圖形上看就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊，這樣在區(qū)間上，用小矩形的面積ΔSi′近似地代替ΔSi，則有ΔSi≈ΔSi′＝fΔx＝. (3)作和 小曲邊梯形的面積和Sn＝Si≈Si′ ＝ ＝ ＝＋ ＝＋. (4)逼近 分別將區(qū)間[0,1]等分成8,16,20，…等份時，Sn越來越趨向于S，從而有＋→S.而當(dāng)n→∞時，S→. 即由直線x＝0，x＝1，y＝0及曲線y＝x2＋2x所圍成的圖形的面積約等于. 活動與探究2：解：(1)分割：在區(qū)間[0,2]上等間隔地插入n－1個分點(diǎn)，將區(qū)間分成n個小區(qū)間：，，…，，記第i個小區(qū)間為(i＝1，2，…，n)，Δt＝，則汽車在時間段，，…，上行駛的路程分別記作Δs1，Δs2，Δs3，…，Δsn，有sn＝Δsi. (2)以直代曲：取ξi＝(i＝1,2，…，n)． ∴Δsi≈vΔt＝2Δt ＝＝i2(i＝1,2，…，n)． (3)作和：si＝ ＝(12＋22＋32＋…＋n2) ＝ ＝. (4)逼近：n→∞時，上式→， 故這段時間內(nèi)汽車行駛的路程s約為km. 遷移與應(yīng)用： 解：將區(qū)間[0,1]等分成n個小區(qū)間：，，…，，…，，每個小區(qū)間的長度為Δt，Δt＝. 取ξi＝(i＝1,2，…，n)，則物體在每個時間段內(nèi)運(yùn)動的路程Δsi≈v(ξi)Δt＝，i＝1，2，…，n. sn＝si＝ ＝ ＝7－. 當(dāng)n→∞時，7－→. 所以這個物體在0≤t≤1這段時間內(nèi)運(yùn)動的路程約為. 活動與探究3：解：令f(x)＝x＋2. ①分割：將區(qū)間[2,3]平均分為n等份，Δxi＝. [xi－1，xi]＝(i＝1,2，…，n)． ②以直代曲：取ξi＝xi＝2＋(i＝1,2，…，n)， 則f(ξi)＝2＋＋2＝4＋. ③作和：(ξi)Δxi＝ ＝＝n＋ ＝4＋. ④逼近：當(dāng)n→∞時，4＋→. 故(x＋2)dx＝. 遷移與應(yīng)用： 證明：令f(x)＝k， 用分點(diǎn)a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b將區(qū)間[a，b]等分成n個小區(qū)間[xi－1，xi](i＝1,2，…，n)，在每個小區(qū)間上任取一點(diǎn)ξi(i＝1,2，…，n)， 作和式(ξi)Δx＝＝k(b－a)． 當(dāng)n→∞時，kdx＝＝k(b－a)． 活動與探究4：解：(1)(x＋2)dx的幾何意義是指由直線y＝x＋2，x＝－1，x＝1，y＝0所圍成的圖形的面積．這里圍成的是一個直角梯形，其面積為S＝(1＋3)2＝4，故(x＋2)dx＝4. (2)被積函數(shù)y＝表示的曲線是圓心在原點(diǎn)，半徑為2的半圓，由定積分的幾何意義知定積分計算的是半圓的面積，所以有dx＝＝2π. (3)函數(shù)y＝sinx在區(qū)間[－π，π]上是一個奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，由在x軸上方和下方面積相等的兩部分構(gòu)成，故該區(qū)間上定積分的值為面積的代數(shù)和，等于0，即sinxdx＝0. 遷移與應(yīng)用： 1．　解析：xdx＝(1＋2)1＝. 2．0　解析：由函數(shù)y=cosx，x∈[0,2π]的圖象的對稱性(如圖)知，cosxdx=0. 當(dāng)堂檢測 1．　解析：每個小區(qū)間長度為＝. 2． 3．40　解析：(n＋1)＝12＋23＋34＋45＝40. 4．36　解析：6f(x)dx＝6f(x)dx＝66＝36. 5．　解析：定積分表示圓x2＋y2＝1面積的， 即dx＝. 6．解：(1)分割： 在區(qū)間[0,1]上等間隔地插入n－1個點(diǎn)，將它等分成n個小區(qū)間：，，…，. 記第i個區(qū)間為(i＝1,2，…，n)，其長度為Δx＝－＝.分別過上述n－1個分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，它們的面積記作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.則S＝Si. (2)以直代曲： 記f(x)＝x2＋1.當(dāng)n很大，即Δx很小時，在區(qū)間上，可以認(rèn)為f(x)＝x2＋1的值變化很小，近似地等于一個常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似地等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值f.就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊．這樣，在區(qū)間上，用小矩形的面積ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”，則有 ΔSi≈ΔSi′＝fΔx＝2Δx＋Δx ＝2＋(i＝1,2，…，n)．① (3)作和： 由①，得Sn＝Si′＝Δx ＝2＋ ＝＋1 ＝[12＋22＋…＋(n－1)2]＋1 ＝＋1＝＋1. 從而得到S的近似值 S≈Sn＝＋1.② (4)逼近： 分別將區(qū)間[0,1]等分成8,16,20，…等份時，可以看到隨著n的不斷增大，即Δx越來越小時，Sn＝＋1越來越趨近于S，而當(dāng)n趨向于＋∞時，②式無限趨近于，即所求面積為.