高考數(shù)學一輪總復習 第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第15講 導數(shù)在生活中的優(yōu)化問題舉例課件 文.ppt

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第15講導數(shù)在生活中的優(yōu)化問題舉例 利用導數(shù)解決實際生活中的優(yōu)化問題的基本步驟 1 分析實際問題中各變量之間的關系 建立實際問題的數(shù)學模型 寫出相應的函數(shù)關系式y(tǒng) f x 并確定定義域 2 求導數(shù)f x 解方程f x 0 3 判斷使f x 0的點是極大值點還是極小值點 4 確定函數(shù)的最大值或最小值 還原到實際問題中作答 即獲得優(yōu)化問題的答案 1 已知物體自由落體的運動方程s gt2 其中g取10 m s2 則物體在t 3s的瞬時速度為 A A 30m s B 40m s C 45m s D 50m s 2 函數(shù)f x 12x x3在區(qū)間 3 3 上的最小值是 3 曲線y xex 2x 1在點 0 1 處的切線方程為 4 某工廠要圍建一個面積為128m2的矩形堆料場 一邊可以用原有的墻壁 其他三邊要砌新的墻壁 要使砌墻所用的 材料最省 堆料場的長 寬應分別為 16m 8m 16 y 3x 1 考點1 利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題 x r 2 a x2 2xr r2 ax 2x 2r a r x x r x2 2xr r2 2 x r 4 解 1 由題意可知x r 所求的定義域為 r r f x ax axx2 2xr r2 f x 所以當x r或x r時 f x 0 當 r x r時 f x 0 因此 f x 的單調遞減區(qū)間為 r r f x 的單調遞增區(qū)間為 r r 2 由 1 的解答可知f r 0 f x 在 0 r 上單調遞增 在 r 上單調遞減 因此x r是f x 的極大值點 100 f x 在 0 內(nèi)無極小值 綜上所述 f x 在 0 內(nèi)的極大值為100 無極小值 規(guī)律方法 本題在利用導數(shù)求函數(shù)的單調性時要注意 求導后的分子是一個二次項系數(shù)為負數(shù)的一元二次式 在求f x 0和f x 0時要注意 本題主要考查同學們對基本概念的掌握情況和基本運算能力 互動探究 1 2013年重慶 某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池 不計厚度 設該蓄水池的底面半徑為r米 高為h米 體積為V立方米 假設建造成本僅與表面積有關 側面的建造成本為100元 平方米 底面的建造成本為160元 平方米 該蓄水池的總建造成本為12000 元 為圓周率 1 將V表示成r的函數(shù)V r 并求該函數(shù)的定義域 2 討論函數(shù)V r 的單調性 并確定r和h為何值時該蓄水 池的體積最大 解 1 因為蓄水池側面的總成本為100 2 rh 200 rh元 底面的總成本為160 r2元 所以蓄水池的總成本為 200 rh 160 r2 元 又根據(jù)題意 得200 rh 160 r2 12000 由此可知 V r 在r 5處取得最大值 此時h 8 即當r 5 h 8時 該蓄水池的體積最大 考點2 利用導數(shù)解決不等式問題 例2 已知函數(shù)f x 1 xax lnx 1 若函數(shù)f x 在 1 上為增函數(shù) 求正實數(shù)a的取值范圍 1 a 2 若存在x0 1 使得f x0 互動探究 2 2014年新課標 設函數(shù)f x alnx 2 x2 bx a 1 曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線斜率為0 1 求b aa 1 求a的取值范圍 考點3 利用導數(shù)研究函數(shù)的零點 f x 與f x 在區(qū)間 0 上的情況如下 規(guī)律方法 1 利用導數(shù)求函數(shù)f x 的單調性與極值的步驟 確定函數(shù)f x 的定義域 對f x 求導 求方程f x 0的所有實數(shù)根 列表格 2 證明函數(shù)僅有一個零點的步驟 用零點存在性定理證明函數(shù)零點的存在性 用函數(shù)的單調性證明函數(shù)零點的唯一性 互動探究 3 2014年新課標 已知函數(shù)f x ax3 3x2 1 若f x C 存在唯一的零點x0 且x0 0 則a的取值范圍是 A 2 B 1 C 2 D 1 難點突破 函數(shù)中的恒成立 存在性 問題 1 若可導函數(shù)f x 在指定的區(qū)間D上單調遞增 減 求參數(shù)的范圍 可轉化為f x 0 或f x 0 恒成立問題 從而構建不等式 要注意 是否可以取到 2 在實際問題中 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點 那么只要根據(jù)實際意義判定是最大值還是最小值即可 不必再與端點的函數(shù)值比較 3 由不等式的恒成立 存在性 求參數(shù)問題 首先要構造函數(shù) 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 求出最值 進而列出相應的含參不等式 從而求出參數(shù)的取值范圍 也可分離變量 構造函數(shù) 直接把問題轉化為函數(shù)最值問題