高考數(shù)學一輪總復習 第五章 數(shù)列、推理與證明 第2講 等差數(shù)列課件 文.ppt

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第2講等差數(shù)列 1 等差數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從第2項起 每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù) 那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差 通常用字母 表示 2 等差數(shù)列的通項公式 如果等差數(shù)列 an 的首項為a1 公差為d 那么它的通項公 式是an a1 n 1 d d 3 等差中項 4 等差數(shù)列的前n項和公式設等差數(shù)列 an 的公差為d 其前n項和Sn 5 等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系 數(shù)列 an 是等差數(shù)列 Sn An2 Bn A B為常數(shù) 6 等差數(shù)列的常用性質(zhì) 1 數(shù)列 an 是等差數(shù)列 則數(shù)列 an p pan p是常數(shù) 都是等差數(shù)列 2 若m n p q m n p q N 則am an ap aq 特別地 若m n 2p m n p N 則am an 2ap 4 若等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 則Sk S2k Sk S3k S2k S4k S3k是等差數(shù)列 5 等差數(shù)列的單調(diào)性 若公差d 0 則數(shù)列單調(diào)遞增 若公差d 0 則數(shù)列單調(diào)遞減 若公差d 0 則數(shù)列為常數(shù)列 7 等差數(shù)列的最值 小 在等差數(shù)列 an 中 若a1 0 d0 則Sn存在最 值 B C 1 2015年重慶 在等差數(shù)列 an 中 若a2 4 a4 2 則a6 A 1B 0C 1D 6解析 由等差數(shù)列的性質(zhì)得a6 2a4 a2 2 2 4 0 故選B 2 設Sn是等差數(shù)列 an 的前n項和 已知a2 3 a6 11 則S7 A 13B 35C 49D 633 在等差數(shù)列 an 中 若S11 220 則a6 20 4 若數(shù)列 an 滿足 a1 19 an 1 an 3 n N 而數(shù)列 an 的前n項和數(shù)值最大時 n的值為 B A 6 B 7 C 8 D 9 解析 an 1 an 3 數(shù)列 an 是以19為首項 3為公差的等差數(shù)列 an 19 n 1 3 22 3n a7 22 21 1 0 a8 22 24 2 0 n 7時 數(shù)列 an 的前n項和最大 考點1等差數(shù)列的基本運算例1 1 2015年新課標 已知 an 是公差為1的等差數(shù)列 Sn為 an 的前n項和 若S8 4S4 則a10 答案 B 2 2013年新課標 設等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 則m A 3 B 4 C 5 D 6 答案 C 規(guī)律方法 在解決等差數(shù)列問題時 已知a1 an d n Sn中的任意三個 可求其余兩個 稱為 知三求二 而求得a1和d是解決等差數(shù)列 an 所有運算的基本思想和方法 互動探究 1 2013年福建 已知等差數(shù)列 an 的公差d 1 前n項和為Sn 1 若1 a1 a3成等比數(shù)列 求a1 2 若S5 a1a9 求a1的取值范圍 考點2 等差數(shù)列的基本性質(zhì)及應用 例2 1 設等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 若S3 9 S6 36 則a7 a8 a9等于 A 63B 45C 36D 27解析 1 方法一 設其公差為d S3 a1 a2 a3 3a2 3 a1 d 9 a1 d 3 S6 a1 a2 a3 a4 a5 a6 3 a3 a4 3 2a1 5d 36 a7 a8 a9 3a8 3 a1 7d 45 方法二 由等差數(shù)列的性質(zhì) 知 S3 S6 S3 S9 S6成等差數(shù)列 2 S6 S3 S3 S9 S6 a7 a8 a9 S9 S6 2 S6 S3 S3 45 答案 B 2 若一個等差數(shù)列前3項的和為34 最后3項的和為146 且所有項的和為390 則這個數(shù)列的項數(shù)為 A 13 B 12 C 11 D 10 答案 A 解析 因為a1 a2 a3 34 an 2 an 1 an 146 a1 a2 a3 an 2 an 1 an 34 146 180 又 a1 an a2 an 1 a3 an 2 3 a1 an 180 從而a1 an 60 答案 2016 4 可以把an與Sn結(jié)合起來 給計算帶來很大便利 是解決等差數(shù)列的有效方法 巧用性質(zhì) 減少運算量 在等差 等比數(shù)列的計算中非常重要 但也要用好 基本量法 運用方程的思想 知三求二 規(guī)律方法 1 利用等差數(shù)列 an 的性質(zhì) 若m n p q m n p q N 則am an ap aq 2 等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 則Sk S2k Sk S3k S2k S4k S3k是等差數(shù)列 互動探究 B 2 2014年重慶 在等差數(shù)列 an 中 a1 2 a3 a5 10 則 a7 A 5 B 8 C 10 D 14 解析 方法一 a1 2 a3 a5 2a1 6d 4 6d 10 d 1 則a7 a1 6d 8 方法二 a1 2 a3 a5 10 a1 a7 a7 8 3 2015年廣東 在等差數(shù)列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 25 則a2 a8 10 解析 因為 an 是等差數(shù)列 所以a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25即a5 5 所以a2 a8 2a5 10 故應填入10 考點3 等差數(shù)列前n項和的最值問題 例3 1 2013年新課標 等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 已知S10 0 S15 25 則nSn的最小值為 答案 49 2 2014年北京 若等差數(shù)列 an 滿足a7 a8 a9 0 a7 a10 0 則當n 時 an 的前n項和最大 解析 由等差數(shù)列的性質(zhì) a7 a8 a9 3a8 a8 0 又 a7 a10 0 所以a8 a9 0 a9 0 所以S8 S7 S8 S9 故數(shù)列 an 的前8項和最大 答案 8 互動探究 4 2014年江西 在等差數(shù)列 an 中 a1 7 公差為d 前n項和為Sn 當且僅當n 8時Sn取最大值 則d的取值范圍為 思想與方法 利用函數(shù)的思想求等差數(shù)列的最值 例題 在等差數(shù)列 an 中 若a1 25 S17 S9 則Sn的最 大值為 思維點撥 利用前n項和公式和二次函數(shù)性質(zhì)求解 解析 方法一 由S17 S9 得 由二次函數(shù)性質(zhì)知 當n 13時 Sn有最大值169 圖5 2 1 方法三 由S17 S9 得a10 a11 a17 0 而a10 a17 a11 a16 a12 a15 a13 a14 故a13 a14 0 d 20 a13 0 a14 0 故當n 13時 Sn有最大值169 方法四 由d 2 得Sn的圖象如圖5 2 1 圖象上一些孤立點 當n 13時 Sn取得最大值169 答案 169 規(guī)律方法 求等差數(shù)列前n項和的最值 常用的方法 利用等差數(shù)列的單調(diào)性 求出其正負轉(zhuǎn)折項 利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出其正負轉(zhuǎn)折項 便可求得和的最值 將等差數(shù)列的前n項和Sn An2 Bn A B為常數(shù) 看作二次函數(shù) 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)或圖象求最值 1 等差數(shù)列的判定方法 1 定義法 an 1 an d n N d是常數(shù) an 是等差數(shù)列 2 中項法 2an 1 an an 2 n N an 是等差數(shù)列 3 通項公式法 an kn b k b是常數(shù) an 是等差數(shù)列 4 前n項和公式法 Sn An2 Bn A B是常數(shù) A 0 an 是等差數(shù)列 2 解決與等差數(shù)列有關(guān)問題時常見的思想方法 1 函數(shù)思想 在等差數(shù)列中an dn c d c為常數(shù) 是關(guān)于n的一次函數(shù) 或常數(shù)函數(shù) Sn an2 bn a b為常數(shù) 是關(guān)于n的二次函數(shù) 或一次函數(shù) 2 方程思想 準確分析a1 d an Sn n之間的關(guān)系 通過列方程 組 可做到 知三求二 3 整體思想 在應用等差數(shù)列 an 的性質(zhì) 若m n p q m n p q N 則am an ap aq 時 要會用整體思想進行代換