2019屆高考數(shù)學(xué) 提分必備30個黃金考點 專題02 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件學(xué)案 文.doc

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專題02 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 【考點剖析】 1.命題方向預(yù)測： （1）四種命題的概念及其相互關(guān)系、四種命題真假的判斷、充分要條件的判定及其應(yīng)用是高考的熱點. (2)題型主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)． （3）本節(jié)知識常與集合、函數(shù)、不等式、數(shù)列、立體幾何中的直線、平面間的位置關(guān)系、復(fù)數(shù)、平面解析幾何等知識結(jié)合，復(fù)習(xí)中在理解命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件等基礎(chǔ)知識的同時，重在掌握其它相關(guān)數(shù)學(xué)知識. 2.課本結(jié)論總結(jié)： （1）命題的概念 在數(shù)學(xué)中用語言、符號或式子表達的，可以判定真假的陳述句叫做命題.其中，判定為真的命題叫真命題，判定為假的命題叫假命題. （2）四種命題及其關(guān)系 ①四種命題及其關(guān)系 ②四種命題的真假關(guān)系 逆命題與否命題互為逆否命題；互為逆否命題的兩個命題同真假，互逆或互否的兩個命題，它們的真假沒有關(guān)系. (3)充分條件與必要條件 ①若，則是充分條件，是的必要條件. ②若，且，則是充要條件 3.名師二級結(jié)論： (1) 常見結(jié)論的否定形式 結(jié)論 是 都是 大于 小于 至少一個 至多一個 至少個 至多有個 對所有，成立 或 且 對任何，不成立 否定 不是 不都是 不大于 不小于 一個也沒有 至少兩個 至多有（）個 至少有（）個 存在某，不成立 且 或 存在某，成立 (2)充要條件判定方法 ①定義法：若，則是充分條件；若，則是必要條件；若，且，則是充要條件. ②集合法：若滿足條件的集合為A，滿足條件的集合為B，若AB，則是的充分不必要條件；若BA，則是必要不充分條件；若A=B則，是 充要條件。 對充要條件判定問題，一定要分清誰是條件，誰是結(jié)論，若條件、結(jié)論滿足的條件易求，常用集合法. ③利用原命題與逆命題的真假判斷 若原命題為“若則”，則有如下結(jié)論： （1）若原命題為真逆命題為假，則是的充分不必要條件； （2）若原命題為假逆命題為真，則是的必要不充分條件； （3）若原命題與逆命題都為真，則是的充要條件； （4）若原命題與逆命題都為假，則是的既不充分也不必要條件 4.考點交匯展示： (1)與集合交匯 例1設(shè)，是兩個集合，則“”是“”的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】C. (2)與不等式交匯 例2【2018年天津卷文】設(shè)，則“”是“” 的（ ） A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】 求解不等式可得，求解絕對值不等式可得或，據(jù)此可知：“”是“” 的充分而不必要條件.本題選擇A選項.（3）與函數(shù)交匯 例3【2017天津，理4】設(shè)，則“”是“”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件 【答案】 （4）與平面向量結(jié)合 例4【2018年理北京卷】設(shè)a，b均為單位向量，則“”是“a⊥b”的 A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】 ，因為a，b均為單位向量，所以 a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要條件.選C. （5）與復(fù)數(shù)交匯 例5已知是虛數(shù)單位，，則“”是“”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A. 【解析】(a+bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，于是a2－b2＝0，2ab＝2解得a＝b＝1或a＝b＝－1 ,故選A. （6）與立體幾何交匯 例6【2018年浙江卷】已知平面α，直線m，n滿足mα，nα，則“m∥n”是“m∥α”的 A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】 (7)與數(shù)列交匯 例7【2018年北京卷文】設(shè)a,b,c,d是非零實數(shù)，則“ad=bc”是“a,b,c,d成等比數(shù)列”的 A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】B (8)與平面解析幾何交匯 例8【2018屆北京市人大附中5月三?！吭O(shè),則“”是直線“與直線垂直”的 A． 充要條件 B． 充分而不必要條件 C． 必要而不充分條件 D． 既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】 若，則兩條直線分別為、， 兩直線斜率的乘積為，故兩條直線相互垂直； 若兩條直線相互垂直，則，故或， 故“”是兩條直線相互垂直的充分不必要條件，選B. 【考點分類】 考向一 命題及其關(guān)系 1.【河北省衡水中學(xué)2018屆第十六次模擬理】下列有關(guān)命題的說法正確的是（ ） A. 命題“若，則”的否命題為“若，則” B. 命題“若，則，互為相反數(shù)”的逆命題是真命題 C. 命題“，使得”的否定是“，都有” D. 命題“若，則”的逆否命題為真命題 【答案】B 2.【2017北京卷】能夠說明“設(shè)a，b，c是任意實數(shù)．若a＞b＞c，則a+b＞c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為______________________________． 【答案】-1，-2，-3（答案不唯一） 【方法規(guī)律】 1.判斷一個命題的真假有兩種方法，法一：直接法，用直接法判定命題為真命題，需要嚴格的推理、考慮各種情況由命題條件推出結(jié)論正確，要判定一個命題為假命題，只要舉出一個反例就行；法二：等價值法，若不易直接判斷它的真假，利用原命題與其逆否命題同真假轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假。 2.正確的命題要有充分的依據(jù)，不一定正確的命題要舉出反例，這是最基本的數(shù)學(xué)思維方式，也是兩種不同的解題方向，有時舉出反例可能比進行推理論證更困難，二者同樣重要． 3. 在書寫命題的四種形式時，首先要將命題轉(zhuǎn)化成“若p，則q”的形式，然后嚴格按定義書寫，注意正確應(yīng)用常見詞語的否定. 4.在判斷四種形式的命題真假時，先判斷原命題的真假，再判斷逆命題的真假，然后根據(jù)等價關(guān)系確定否命題和逆否命題的真假． 【解題技巧】 1.當一個命題有大前提而要寫出其他三個命題時，必須保留大前提且不作改換． 2.在判斷命題的真假時，如果不易直接判斷它的真假，可以轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假． 3.在書寫否命題題與您否命題時，要特別注意條件的否定和結(jié)論的否定即為條件的反面和結(jié)論的反面. 【易錯點睛】 1.區(qū)分否命題與命題：①否命題是將原命題的條件否定作為條件，將原命題的結(jié)論否定作為結(jié)論構(gòu)造的一個新的命題；②命題的否定只是否定命題的結(jié)論，常用于反證法． 2.特別要注意含有邏輯連結(jié)詞的否定形式. 例 寫出命題“若，則，全為0”的否命題. 【錯解】若，則，全不為0. 【預(yù)防措施】①要正確區(qū)分命題的否定與否命題：寫一個命題的否命題，既要否定條件又要否定結(jié)論，只否定結(jié)論，得到的命題是命題的否定；②對條件和結(jié)論的否定要正確，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，條件和結(jié)論的否定就是分別找條件和結(jié)論的對立面，抓住這一點就可以避免類似的錯誤. 【正解】若，則，不全為0. 熱點二 充分條件與必要條件 1.“”是“”的（　　 ） A、充要條件 B、充分不必要條件 C、必要不充分條件 D、既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】，因此選B. 2.【2018屆浙江省諸暨市5月適應(yīng)性考試】已知圓與直線，則“”是“直線與圓相切”的（ ） A． 充分而不必要條件 B． 必要而不充分條件 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】 由圓心到直線的距離 若直線與圓相切，則 ，即 ，則 ， 則“”是“直線與圓相切“的充分而不必要條件， 故選：A． 3.【四川省成都市2018屆模擬】設(shè)，則是的（ ） A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】A 的充分不必要條件，故選A. 4.設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則是為遞增數(shù)列的（ ） 充分且不必要條件 必要且不充分條件 充分必要條件 既不充分也不必要條件 【答案】D. 【方法規(guī)律】 1.在進行充分條件、必要條件的判斷時，首先要明確哪個論斷是條件，哪個論斷是結(jié)論，再從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q，二是由條件q能否推得條件p，結(jié)合定義即可做出判斷. 2.充分條件、必要條件的三種判斷方法，要注意靈活應(yīng)用.利用集合法進行判斷時，借助數(shù)軸能直觀顯示兩個集合的關(guān)系，從而命題易于求解．對于條件或結(jié)論是否定形式的充分條件、必要條件的判斷，要善于利用等價命題進行判斷． 【解題技巧】 1.在進行充要條件判斷時，在明確條件、結(jié)論的基礎(chǔ)上，將條件進行適當?shù)幕喖昂侠淼谋硎緱l件間的推出關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵． 2.在利用集合法進行充要條件判斷時，常借助數(shù)軸直觀顯示兩個集合的關(guān)系，從而使問題易于求解. 3.在利用命題法判定充要條件時，對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題． 【易錯點睛】 在判斷充要條件時，因條件與結(jié)論分不清或因考慮不全面導(dǎo)致致錯誤. 例 已知：“向量與向量的夾角為鈍角”是：“＜0”的 條件. 【錯解】若向量與向量的夾角為鈍角，則＜0，即＜0，故是的充要條件. 【錯因分析】判斷條件與結(jié)論之間的關(guān)系時要從兩個方向判斷，而上面之判定了一個方向就下結(jié)論，忽視了對“＜0”成立時能否導(dǎo)出“向量與向量的夾角為鈍角”的判斷. 【防范措施】判斷充要條件時要注意兩點：首項要分清哪個是條件，哪個是條件；其次要從兩個方向進行判斷，即條件能否導(dǎo)出結(jié)論與結(jié)論能否導(dǎo)出條件. 【正解】若向量與向量的夾角為鈍角，則＜0，即＜0，即； 當＜0，即＜0，因為，所以，故向量與向量的夾角為鈍角或平角，即，故是的充分不必要條件. 【熱點預(yù)測】 1．【2018屆北京市石景山區(qū)一?！俊啊笔恰啊钡模? ） A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 【答案】A 2.【2018屆浙江省溫州市9月】已知，，則“”是“”的（ ） A. 充要條件 B. 充分不必要條件 C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】D 【解析】因為當時，不成立；當時，不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故選D. 3.【2018屆山東省肥城市適應(yīng)性訓(xùn)練】已知向量，，則“”是“”的（ ） A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充分必要條件 D． 既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】 因為，所以 因此“”是“”的充分不必要條件， 選A. 4．【2018屆廣東省汕頭市潮南區(qū)5月沖刺】已知直線與圓相交于兩點（為坐標原點），則“”是“”的( ) A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 【答案】A 5．【2018屆廣西柳州高級中學(xué)5月模擬】已知向量，則是的（ ） A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充分必要條件 D． 既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】 因為，所以 因為 ，， 所以是的充分必要條件. 故答案為：A. 6．【2018屆浙江省余姚中學(xué)模擬（二）】 “”是“直線與互相平行”的（ ） A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 【答案】A 7.【2018屆浙江省杭州市第二中學(xué)6月熱身】已知數(shù)列是等比數(shù)列，其公比為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列“的”（ ） A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充分必要條件 D． 既不充分也不必要條件 【答案】D 【解析】 取，，則，但為減數(shù)列； 取，，則，為增數(shù)列，但， 故“”是“等比數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的既不充分又不必要條件，故選D． 8.【2018屆安徽省六安市第一中學(xué)適應(yīng)性考試】已知函數(shù)，則在上不單調(diào)的一個充分不必要條件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 若在上不單調(diào)， 令， 則函數(shù)與x軸在有交點， 設(shè)其解為， 則， 因此方程的兩解不可能都大于1， 其在中只有一解， 其充要條件是， 解得或， 因此選項C是滿足要求的一個充分必要條件. 故選：C. 9.“實數(shù)”是“復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的模為”的（ ） A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分條件又不必要條件 【答案】 10．【2018屆寧夏銀川市唐徠回民中學(xué)四?！康娜齻€內(nèi)角分別為,,，則“ ”是“,,成等差數(shù)列”的（ ） A． 充分而不必要條件 B． 必要而不充分條件 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】 由，則，所以A、B、C成等差數(shù)列，為充分條件， 由A、B、C成等差數(shù)列，所以，由內(nèi)角和公式可得，為必要條件. 故選C. 11.“”是“直線和直線互相垂直”的 （ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】C 12.【2018屆浙江省臺州市高三上期末】已知，則“”是“”的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】因為,但; 所以“”是“”的必要不充分條件,選B. 13.【2018屆浙江省嘉興市4月模擬】已知：不等式的解集為，：，則是的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】∵:不等式的解集為，由一元二次不等式的性質(zhì)可得，又∵為的真子集，所以是的充分不必要條件，故選A. 14．已知條件，條件，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是______． 【答案】 【解析】條件p:log2(1?x)<0，∴0<1?x<1，解得0a， 若p是q的充分不必要條件，∴a?0. 則實數(shù)a的取值范圍是：(?∞,0]. 故答案為：(?∞,0].