2019屆高考數(shù)學 專題二 函數(shù)零點精準培優(yōu)專練 理.doc

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培優(yōu)點二 函數(shù)零點 1．零點的判斷與證明 例1：已知定義在上的函數(shù)， 求證：存在唯一的零點，且零點屬于． 【答案】見解析 【解析】，，，在單調遞增， ，，，，使得 因為單調，所以的零點唯一． 2．零點的個數(shù)問題 例2：已知函數(shù)滿足，當，，若在區(qū)間內， 函數(shù)有三個不同零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，當時，， 所以，而有三個不同零點與有三個不同交點，如圖所示，可得直線應在圖中兩條虛線之間，所以可解得： 3．零點的性質 例3：已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，，則方程在區(qū)間上的所有實根之和為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先做圖觀察實根的特點，在中，通過作圖可發(fā)現(xiàn)在關于中心對稱， 由可得是周期為2的周期函數(shù)，則在下一個周期中，關于中心對稱，以此類推。 從而做出的圖像（此處要注意區(qū)間端點值在何處取到），再看圖像，，可視為將的圖像向左平移2個單位后再向上平移2個單位， 所以對稱中心移至，剛好與對稱中心重合，如圖所示：可得共有3個交點， 其中，與關于中心對稱，所以有。所以．故選C． 4．復合函數(shù)的零點 例4：已知函數(shù)，若方程恰有七個不相同的實根，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】考慮通過圖像變換作出的圖像（如圖），因為最多只能解出2個，若要出七個根，則，，所以，解得：． 對點增分集訓 一、選擇題 1．設，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，，∴， ∵函數(shù)的圖象是連續(xù)的，且為增函數(shù)， ∴的零點所在的區(qū)間是．故選B． 2．已知是函數(shù)的零點，若，則的值滿足（ ） A． B． C． D．的符號不確定 【答案】C 【解析】在上是增函數(shù)，若，則． 3．函數(shù)的一個零點在區(qū)間內，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因為在上是增函數(shù)，則由題意得，解得， 故選C． 4．若，則函數(shù)的兩個零點分別位于區(qū)間（ ） A．和內 B．和內 C．和內 D．和內 【答案】A 【解析】∵，∴，，， 由函數(shù)零點存在性定理可知，在區(qū)間，內分別存在零點，又函數(shù)是二次函數(shù)， 最多有兩個零點．因此函數(shù)的兩個零點分別位于區(qū)間，內，故選A． 5．設函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則的零點個數(shù)為（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，所以，即0是函數(shù)的一個零點，當時，令，則，分別畫出函數(shù)和的圖象， 如圖所示，兩函數(shù)圖象有一個交點，所以函數(shù)有一個零點， 根據(jù)對稱性知，當時函數(shù)也有一個零點． 綜上所述，的零點個數(shù)為3．故選C． 6．函數(shù)的零點個數(shù)為（ ） A．3 B．2 C．7 D．0 【答案】B 【解析】方法一：由得或，解得或， 因此函數(shù)共有2個零點． 方法二：函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)共有2個零點． 7．已知函數(shù)，則使方程有解的實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】當時，，即，解得；當時，，即， 解得，即實數(shù)的取值范圍是．故選D． 8．若函數(shù)在區(qū)間內存在一個零點，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】當時，與軸無交點，不合題意，所以；函數(shù)在區(qū)間內是單調函數(shù)，所以，即，解得或．故選B． 9．已知函數(shù)，則使函數(shù)有零點的實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函數(shù)的零點就是方程的根，畫出的大致圖象（圖略）．觀察它與直線的交點，得知當或時，有交點，即函數(shù)有零點．故選D． 10．已知是奇函數(shù)且是上的單調函數(shù)，若函數(shù)只有一個零點，則實數(shù) 的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，則，因為是上的單調函數(shù)，所以，只有一個實根，即只有一個實根，則，解得． 11．已知當時，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在同一直角坐標系中，分別作出函數(shù)與的大致圖象．分兩種情形： （1）當時，，如圖①，當時，與的圖象有一個交點，符合題意． （2）當時，，如圖②，要使與的圖象在上只有一個交點， 只需，即，解得或（舍去）． 綜上所述，．故選B． 12．已知函數(shù)和在的圖像如下，給出下列四個命題： （1）方程有且只有6個根 （2）方程有且只有3個根 （3）方程有且只有5個根 （4）方程有且只有4個根 則正確命題的個數(shù)是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】每個方程都可通過圖像先拆掉第一層，找到內層函數(shù)能取得的值，從而統(tǒng)計出的總數(shù)． （1）中可得，，，進而有2個對應的，有2個，有2個，總計6個，（1）正確； （2）中可得，，進而有1個對應的，有3個，總計4個， （2）錯誤； （3）中可得，，，進而有1個對應的，有3個，有1個，總計5個，（3）正確； （4）中可得：，，進而有2個對應的，有2個，共計4個，（4）正確 則綜上所述，正確的命題共有3個． 二、填空題 13．函數(shù)的零點個數(shù)為________． 【答案】2 【解析】由，得，作出函數(shù)和的圖象， 由上圖知兩函數(shù)圖象有2個交點，故函數(shù)有2個零點． 14．設函數(shù)與的圖象的交點為，若，，則所在的區(qū)間是______． 【答案】 【解析】令，則，易知為增函數(shù)，且，，∴所在的區(qū)間是． 15．函數(shù)的零點個數(shù)是________． 【答案】2 【解析】當時，令，解得（正根舍去），所以在上有一個零點； 當時，恒成立，所以在上是增函數(shù)．又因為，，所以在上有一個零點，綜上，函數(shù)的零點個數(shù)為2． 16．已知函數(shù)，，若方程恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是________________． 【答案】 【解析】設，， 在同一直角坐標系中作出，的圖象如圖所示． 由圖可知有4個互異的實數(shù)根等價于與的圖象有4個不同的交點且4個交點的橫坐標都小于1，所以有兩組不同解， 消去得有兩個不等實根， 所以，即， 解得或．又由圖象得，∴或． 三、解答題 17．關于的二次方程在區(qū)間上有解，求實數(shù)的取值范圍． 【答案】 【解析】顯然不是方程的解， 時，方程可變形為， 又∵在上單調遞減，在上單調遞增， ∴在上的取值范圍是，∴，∴， 故的取值范圍是． 18．設函數(shù)． （1）作出函數(shù)的圖象； （2）當且時，求的值； （3）若方程有兩個不相等的正根，求的取值范圍． 【答案】（1）見解析；（2）2；（3）． 【解析】（1）如圖所示． （2）∵ 故在上是減函數(shù)，而在上是增函數(shù)． 由且，得且，∴． （3）由函數(shù)的圖象可知，當時，方程有兩個不相等的正根．