2019屆高考數(shù)學(xué) 提分必備30個黃金考點 專題06 基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、二次函數(shù)）學(xué)案 文.doc

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專題06 基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、二次函數(shù)） 【考點剖析】 1.命題方向預(yù)測： 1.指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)是近幾年高考的熱點． 2.通過具體問題考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，或利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決一些實際問題是重點，也是難點，同時考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想． 3.高考考查的熱點是對數(shù)式的運算和對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用，同時考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想． 4.關(guān)于冪函數(shù)常以5種冪函數(shù)為載體，考查冪函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)，多以小題形式出現(xiàn)，屬容易題． 5.二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是近幾年高考的熱點；用三個“二次”間的聯(lián)系解決問題是重點，也是難點． 6.題型以選擇題和填空題為主，以分段函數(shù)形式，考查多個函數(shù)的性質(zhì)，若與其他知識點交匯，則以解答題的形式出現(xiàn). 2.課本結(jié)論總結(jié)： 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 1．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是 (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是 (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義． (2)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 1．對數(shù)的概念 如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中__a__叫做對數(shù)的底數(shù)，__N__叫做真數(shù)． 2．對數(shù)的性質(zhì)與運算法則 (1)對數(shù)的運算法則 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④logamMn＝logaM. (2)對數(shù)的性質(zhì) ①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)． (3)對數(shù)的重要公式 ①換底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推廣logablogbclogcd＝logad. 3．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 二次函數(shù)與冪函數(shù) 1．二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 圖象 定義域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 單調(diào)性 在x∈上單調(diào)遞減；在x∈上單調(diào)遞增 在x∈上單調(diào)遞減在x∈上單調(diào)遞增 對稱性 函數(shù)的圖象關(guān)于x＝對稱 2.冪函數(shù) (1)定義：形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)． (2)冪函數(shù)的圖象比較 (3)冪函數(shù)的性質(zhì)比較 特征 函數(shù) 性質(zhì) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定義域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 非奇非偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)性 增 x∈[0，＋∞)時，增；x∈(－∞，0]時，減 增 增 x∈(0，＋∞) 時，減；x∈(－∞，0)時，減 3.名師二級結(jié)論： （1）根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的實質(zhì)是相同的，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的化簡運算． （2）指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)a的大小決定的，因此解題時通常對底數(shù)a按：0＜a＜1和a＞1進(jìn)行分類討論． （3）換元時注意換元后“新元”的范圍． （4）對數(shù)源于指數(shù)，指數(shù)式和對數(shù)式可以互化，對數(shù)的性質(zhì)和運算法則都可以通過對數(shù)式與指數(shù)式的互化進(jìn)行證明． （5）解決與對數(shù)有關(guān)的問題時，(1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍． （6）對數(shù)值的大小比較方法 化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性、作差或作商法、利用中間量(0或1)、化同真數(shù)后利用圖象比較． （7）函數(shù)y＝f(x)對稱軸的判斷方法 1、對于二次函數(shù)y＝f(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝對稱． 2、對于二次函數(shù)y＝f(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要條件是函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱(a為常數(shù))． 4.考點交匯展示： (1)基本初等函數(shù)與集合交匯 例1.【2017山東，理1】設(shè)函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域為,則 （A）（1,2） （B） （C）（-2,1） （D）[-2,1) 【答案】D 【解析】由得，由得，故，選D. (2)基本初等函數(shù)與不等式交匯 例1.【2017天津，文8】已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】 （當(dāng)時取等號）， 所以， 綜上．故選A． 例2.【2018年浙江卷】已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)λ=2時，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是___________． 【答案】 (1,4) 當(dāng)時，，此時，即在上有兩個零點；當(dāng)時，，由在上只能有一個零點得.綜上，的取值范圍為. 【考點分類】 考向一 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù) 1.【2018年天津卷文】已知，則的大小關(guān)系為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由題意結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計算即可確定a,b,c的大小關(guān)系. 詳解：由題意可知：，即，，即， ，即，綜上可得：.本題選擇D選項. 2.【2017北京，理5】已知函數(shù)，則 （A）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （B）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （C）是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) （D）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) 【答案】A 3.【2018年新課標(biāo)I卷文】已知函數(shù)，若，則________． 【答案】-7 【解析】 根據(jù)題意有，可得，所以，故答案是. 【方法規(guī)律】 1.求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終將問題歸納為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問題加以解決． 2.對數(shù)式的化簡與求值的常用思路(1)先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運算法則化簡合并． (2)先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算. 3．比較對數(shù)值大小時若底數(shù)相同，構(gòu)造相應(yīng)的對數(shù)函數(shù)，利用單調(diào)性求解；若底數(shù)不同，可以找中間量，也可以用換底公式化成同底的對數(shù)再比較． 4．利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域和單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題，一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的． 【解題技巧】 1.圖像題要注意根據(jù)圖像的單調(diào)性和特殊點判斷 2.指數(shù)形式的幾個數(shù)字比大小要注意構(gòu)造相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù) 3．判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x＝1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較． 4．指數(shù)函數(shù)y＝ax (a>0，a≠1)的性質(zhì)和a的取值有關(guān)，一定要分清a>1與00的解集為________． 【答案】{x|2＜x＜3} 【解析】∵函數(shù)y＝lg(x2－2x＋3)有最小值，f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，∴0＜a＜1. ∴由loga(x2－5x＋7)>0，得0＜x2－5x＋7＜1， 解得2＜x＜3. ∴不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集為{x|2＜x＜3}． 【易錯點】指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)中注意討論底數(shù)a的大小，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性往往也和a的取值有關(guān) 考向二 冪函數(shù)、二次函數(shù) 1.【2018屆廣東省茂名市高三五大聯(lián)盟學(xué)校9月聯(lián)考】已知冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是( ) A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】由題設(shè)，故在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時取最小值，應(yīng)選答案B. 2.【2018年天津卷文】已知a∈R，函數(shù)若對任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是__________． 【答案】［，2］ 【解析】 3.【2018屆浙江省杭州市第二中學(xué)6月熱身】已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使得且同時成立，則實數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】. 【解析】分析：從函數(shù)形式上看，中的符號容易判斷，當(dāng)時，，當(dāng)，，因此當(dāng)，在有解；當(dāng)時，在有解，故可求出的取值范圍． 【方法規(guī)律】 1.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值與拋物線的開口方向、對稱軸位置、閉區(qū)間三個要素有關(guān)； 2.常結(jié)合二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性或圖象求解，在區(qū)間的端點或二次函數(shù)圖象的頂點處取得最值.二次函數(shù)、二次方程、二次不等式之間可以相互轉(zhuǎn)化．一般規(guī)律(1)在研究一元二次方程根的分布問題時，常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來解，一般從①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有關(guān)問題時，一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解． 3.冪函數(shù)y＝xα的圖象與性質(zhì)由于α的值不同而比較復(fù)雜，一般從兩個方面考查 (1)α的正負(fù)：α>0時，圖象過原點和(1,1)，在第一象限的圖象上升；α<0時，圖象不過原點，在第一 象限的圖象下降，反之也成立． (2)曲線在第一象限的凹凸性：α>1時，曲線下凸；0<α<1時，曲線上凸；α<0時，曲線下凸． 4．二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間相互轉(zhuǎn)化的一般規(guī)律： (1)在研究一元二次方程根的分布問題時，常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來解，一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析． (2)在研究一元二次不等式的有關(guān)問題時，一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解． 5．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)圖象的特征 α>0時，圖象過原點和(1,1)，在第一象限的圖象上升；α<0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降，反之也成立． 【解題技巧】 1. 做二次函數(shù)類型題是注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，畫出函數(shù)的草圖能幫助我們理清思路 2. 二次函數(shù)中如果含有參數(shù)，往往要進(jìn)行分類討論 3.對于函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a≠0，當(dāng)題目條件中未說明a≠0時，就要討論a＝0和a≠0兩種情況． 4.冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點. 【易錯點睛】 1.注意冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別 2.冪函數(shù)的增減與α的關(guān)系 3.對于函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a≠0，當(dāng)題目條件中未說明a≠0時，就要討論a＝0和a≠0兩種情況． 【熱點預(yù)測】 1.【福建省閩侯第二中學(xué)、連江華僑中學(xué)等五校教學(xué)聯(lián)合體】設(shè)集合，則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 2.【2018屆江西省新余市第四中學(xué)適應(yīng)性考】設(shè),則的大小順序是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， 因為 ，所以. 故答案為：D 3.下列函數(shù)中，在內(nèi)單調(diào)遞減，并且是偶函數(shù)的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 4．【2019屆河南省信陽高級中學(xué)第一次大考】若x∈（，1），a＝lnx，b＝，c＝，則 A． b＞c＞a B． c＞b＞a C． b＞a＞c D． a＞b＞c 【答案】A 【解析】 由題意得， ∵， ∴， ∴． ∴． 故選A． 5．【2018屆北京市通州區(qū)高三上期中】函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出函數(shù)與的圖象，如圖所示，由圖象可知， 與圖象有個交點．故選． 6.【2018屆安徽省淮南市二?！恳阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實數(shù)滿足，則的取值范圍是( ) A． B． C． D． 【答案】A 7.【2018屆廣西欽州市第三次檢測】定義運算：，則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 令， 由于，所以， 所以，所以其最大值為，故選D． 8.【2018屆湖北省華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)5月押題】定義在上的函數(shù)為偶函數(shù)，記，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 9.【2017山東，理10】已知當(dāng)時，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】試題分析：當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減，且，單調(diào)遞增，且 ，此時有且僅有一個交點；當(dāng)時， ，在 上單調(diào)遞增，所以要有且僅有一個交點，需 選B. 10.【2018屆廣東省汕頭市金山中學(xué)高三上期中】已知當(dāng)≤時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 11.【2018年高考第二次適應(yīng)與模擬】設(shè)函數(shù)，若，，則對任意的實數(shù)， 的最小值為_________________． 【答案】10 【解析】 作出的圖象，如圖，由且得 ，即，其中， 如圖圓，易知點在劣弧上，記，則表示點到射線上點的距離的平方，從圖中可知最小值為點到原點的距離的平方，即． 12.【2018屆重慶市合川區(qū)5月模擬】已知函數(shù)，若f(m)>1，則m的取值范圍是________． 【答案】(－∞，0)(2，＋∞) 【解析】 若則 或， 即或， 解得，或． 故答案為： ． 13.【2018屆寧夏銀川市唐徠回民中學(xué)四模】已知函數(shù)，若方程有兩個解，則實數(shù)的取值范圍是______． 【答案】 【解析】 14.函數(shù) （1）求方程的解； （2）若函數(shù)的最小值為，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 （1）要使函數(shù)有意義，則有，解得： 函數(shù)可化為 由，得 即， 的解為.