2019-2020年人教A版高中數(shù)學必修二4.1.1《圓的標準方程》word教案.doc

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2019-2020年人教A版高中數(shù)學必修二4.1.1《圓的標準方程》word教案 上一章,學生已經(jīng)學習了直線與方程,知道在直角坐標系中,直線可以用方程表示,通過方程,可以研究直線間的位置關(guān)系、直線與直線的交點坐標、點到直線的距離等問題,對數(shù)形結(jié)合的思想方法有了初步體驗.本章將在上章學習了直線與方程的基礎(chǔ)上,學習在平面直角坐標系中建立圓的代數(shù)方程,運用代數(shù)方法研究點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,了解空間直角坐標系,以便為今后的坐標法研究空間的幾何對象奠定基礎(chǔ),這些知識是進一步學習圓錐曲線方程、導數(shù)和微積分的基礎(chǔ),在這個過程中進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想,形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力. 通過方程,研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是本章的重點內(nèi)容之一,坐標法不僅是研究幾何問題的重要方法,而且是一種廣泛應用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學方法,通過坐標系把點和坐標、曲線和方程聯(lián)系起來,實現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一,因此在教學過程中,要始終貫穿坐標法這一重要思想,不怕反復.用坐標法解決幾何問題時,先用坐標和方程表示相應的幾何元素:點、直線、圓;然后對坐標和方程進行代數(shù)運算;最后把運算結(jié)果“翻譯”成相應的幾何結(jié)論.這就是坐標法解決幾何問題的三步曲.坐標法還可以與平面幾何中的綜合方法、向量方法建立聯(lián)系,同時可以推廣到空間,解決立體幾何問題. 本章教學時間約需9課時,具體分配如下(僅供參考): 4.1.1 圓的標準方程 1課時 4.1.2 圓的一般方程 1課時 4.2.1 直線與圓的位置關(guān)系 2課時 4.2.2 圓與圓的位置關(guān)系 2課時 4.3.1 空間直角坐標系 1課時 4.3.2 空間兩點間的距離公式 1課時 本章復習 1課時 4.1 圓的方程 4.1.1 圓的標準方程 一、教材分析 在初中曾經(jīng)學習過圓的有關(guān)知識,本節(jié)內(nèi)容是在初中所學知識及前幾節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)上,進一步運用解析法研究圓的方程,它與其他圖形的位置關(guān)系及其應用.同時,由于圓也是特殊的圓錐曲線,因此,學習了圓的方程,就為后面學習其他圓錐曲線的方程奠定了基礎(chǔ).也就是說,本節(jié)內(nèi)容在教材體系中起到承上啟下的作用,具有重要的地位,在許多實際問題中也有著廣泛的應用.由于“圓的方程”一節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)性和應用的廣泛性,對圓的標準方程要求層次是“掌握”,為了激發(fā)學生的主體意識,教學生學會學習和學會創(chuàng)造,同時培養(yǎng)學生的應用意識,本節(jié)內(nèi)容可采用“引導探究”型教學模式進行教學設(shè)計,所謂“引導探究”是教師把教學內(nèi)容設(shè)計為若干問題,從而引導學生進行探究的課堂教學模式,教師在教學過程中,主要著眼于“引”,啟發(fā)學生“探”,把“引”和“探”有機的結(jié)合起來.教師的每項教學措施,都是給學生創(chuàng)造一種思維情境,一種動腦、動手、動口并主動參與的學習機會,激發(fā)學生的求知欲,促使學生解決問題. 二、教學目標 1．知識與技能 （1）掌握圓的標準方程，能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標準方程. （2）會用待定系數(shù)法求圓的標準方程. 2．過程與方法 進一步培養(yǎng)學生能用解析法研究幾何問題的能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想，通過圓的標準方程解決實際問題的學習，注意培養(yǎng)學生觀察問題發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力. 3．情感態(tài)度與價值觀 通過運用圓的知識解決實際問題的學習，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情和興趣. 三、教學重點與難點 教學重點：圓的標準方程的推導過程和圓的標準方程特點的明確. 教學難點:會根據(jù)不同的已知條件,利用待定系數(shù)法求圓的標準方程. 四、課時安排 1課時 五、教學設(shè)計 （一）導入新課 思路1.課前準備：(用淀粉在一張白紙上畫上海和山) 說明:在白紙上要表演的是一個小魔術(shù),名稱是《日出》,所以還缺少一個太陽,請學生幫助在白紙上畫出太陽.要求其他學生在自己的腦海里也構(gòu)畫出自己的太陽. 課堂估計：一種是非尺規(guī)作圖(指出數(shù)學作圖的嚴謹性)；一種作出后有同學覺得不夠美(點評:其實每個人心中都有一個自己的太陽,每個人都有自己的審美觀點). 然后上升到數(shù)學層次： 不同的圓心和半徑對應著不同的圓,進而對應著不同的圓的方程. 從用圓規(guī)作圖復習初中所學圓的定義：到定點的距離等于定長的點的軌跡. 那么在給定圓心和半徑的基礎(chǔ)上,結(jié)合我們前面所學的直線方程的求解,應該如何建立圓的方程？教師板書本節(jié)課題:圓的標準方程. 思路2.同學們,我們知道直線可以用一個方程表示,那么,圓可以用一個方程表示嗎？圓的方程怎樣來求呢?這就是本堂課的主要內(nèi)容,教師板書本節(jié)課題:圓的標準方程. （二）推進新課、新知探究、提出問題 ①已知兩點A(2,-5),B(6,9),如何求它們之間的距離?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它們之間的距離? ②具有什么性質(zhì)的點的軌跡稱為圓？ ③圖1中哪個點是定點？哪個點是動點？動點具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反映了圓的什么特點？ 圖1 ④我們知道,在平面直角坐標系中,確定一條直線的條件是兩點或一點和傾斜角,那么,決定圓的條件是什么? ⑤如果已知圓心坐標為C(a,b),圓的半徑為r,我們?nèi)绾螌懗鰣A的方程? ⑥圓的方程形式有什么特點？當圓心在原點時,圓的方程是什么？ 討論結(jié)果：①根據(jù)兩點之間的距離公式,得 |AB|=, |CD|=. ②平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓,定點是圓心,定長是半徑(教師在黑板上畫一個圓). ③圓心C是定點,圓周上的點M是動點,它們到圓心距離等于定長|MC|=r,圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小. ④確定圓的條件是圓心和半徑,只要圓心和半徑確定了,那么圓的位置和大小就確定了. ⑤確定圓的基本條件是圓心和半徑,設(shè)圓的圓心坐標為C(a,b),半徑為r(其中a、b、r都是常數(shù),r＞0).設(shè)M(x,y)為這個圓上任意一點,那么點M滿足的條件是(引導學生自己列出)P={M||MA|=r},由兩點間的距離公式讓學生寫出點M適合的條件=r.① 將上式兩邊平方得(x-a)2+(y-b)2=r2. 化簡可得(x-a)2+(y-b)2=r2.② 若點M(x,y)在圓上,由上述討論可知,點M的坐標滿足方程②,反之若點M的坐標滿足方程②,這就說明點M與圓心C的距離為r,即點M在圓心為C的圓上.方程②就是圓心為C(a,b),半徑長為r的圓的方程,我們把它叫做圓的標準方程. ⑥這是二元二次方程,展開后沒有xy項,括號內(nèi)變數(shù)x,y的系數(shù)都是1.點(a,b)、r分別表示圓心的坐標和圓的半徑.當圓心在原點即C(0,0)時,方程為x2+y2=r2. 提出問題 ①根據(jù)圓的標準方程說明確定圓的方程的條件是什么? ②確定圓的方程的方法和步驟是什么? ③坐標平面內(nèi)的點與圓有什么位置關(guān)系?如何判斷? 討論結(jié)果：①圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2=r2中,有三個參數(shù)a、b、r,只要求出a、b、r且r＞0,這時圓的方程就被確定,因此確定圓的標準方程,需三個獨立條件,其中圓心是圓的定位條件,半徑是圓的定形條件. ②確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法,即列出關(guān)于a、b、r的方程組,求a、b、r或直接求出圓心(a,b)和半徑r,一般步驟為： 1根據(jù)題意,設(shè)所求的圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2=r2； 2根據(jù)已知條件,建立關(guān)于a、b、r的方程組； 3解方程組,求出a、b、r的值,并把它們代入所設(shè)的方程中去,就得到所求圓的方程. ③點M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的關(guān)系的判斷方法： 當點M(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時,點M的坐標滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 當點M(x0,y0)不在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時,點M的坐標不滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 用點到圓心的距離和半徑的大小來說明應為: 1點到圓心的距離大于半徑,點在圓外(x0-a)2+(y0-b)2＞r2,點在圓外; 2點到圓心的距離等于半徑,點在圓上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,點在圓上; 3點到圓心的距離小于半徑,點在圓內(nèi)(x0-a)2+(y0-b)2＜r2,點在圓內(nèi). （三）應用示例 思路1 例1 寫出下列各圓的標準方程： (1)圓心在原點,半徑是3； ⑵圓心在點C(3,4),半徑是; (3)經(jīng)過點P(5,1),圓心在點C(8,-3)； (4)圓心在點C(1, 3),并且和直線3x-4y-7=0相切. 解:(1)由于圓心在原點,半徑是3,所以圓的標準方程為(x-0)2+(y-0)2=32,即x2+y2=9. (2)由于圓心在點C(3,4),半徑是5,所以圓的標準方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5. (3)方法一:圓的半徑r=|CP|==5,因此所求圓的標準方程為(x-8)2+(y+3)2=25. 方法二:設(shè)圓的標準方程為(x-8)2+(y+3)2=r2,因為圓經(jīng)過點P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25,因此所求圓的標準方程為(x-8)2+(y+3)2=25. 這里方法一是直接法,方法二是間接法,它需要確定有關(guān)參數(shù)來確定圓的標準方程,兩種方法都可,要視問題的方便而定. (4)設(shè)圓的標準方程為(x-1)2+(y-3)2=r2,由圓心到直線的距離等于圓的半徑,所以r=.因此所求圓的標準方程為(x-1)2+(y-3)2=. 點評：要求能夠用圓心坐標、半徑長熟練地寫出圓的標準方程. 例2 寫出圓心為A(2,-3),半徑長等于5的圓的方程,并判斷點M1(5,-7),M2(-,-1)是否在這個圓上. 解:圓心為A(2,-3),半徑長等于5的圓的標準方程是 (x-2)2+(y+3)2=25, 把點M1(5,-7),M2(-,,-1)分別代入方程(x-2)2+(y+3)2=25, 則M1的坐標滿足方程,M1在圓上.M2的坐標不滿足方程,M2不在圓上. 點評:本題要求首先根據(jù)坐標與半徑大小寫出圓的標準方程,然后給一個點,判斷該點與圓的關(guān)系,這里體現(xiàn)了坐標法的思想,根據(jù)圓的坐標及半徑寫方程——從幾何到代數(shù)；根據(jù)坐標滿足方程來看在不在圓上——從代數(shù)到幾何. 例3 △ABC的三個頂點的坐標是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程. 活動：教師引導學生從圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要確定圓的標準方程,可用待定系數(shù)法確定a、b、r三個參數(shù).另外可利用直線AB與AC的交點確定圓心,從而得半徑,圓的方程可求,師生總結(jié)、歸納、提煉方法. 解法一:設(shè)所求的圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因為A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圓上, 它們的坐標都滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是 解此方程組得所以△ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25. 解法二:線段AB的中點坐標為(6,-1),斜率為-2,所以線段AB的垂直平分線的方程為y+1=(x-6). 同理線段AC的中點坐標為(3.5,-3.5),斜率為3,所以線段AC的垂直平分線的方程為y+3.5=3(x-3.5). 解由①②組成的方程組得x=2,y=-3,所以圓心坐標為(2,-3),半徑r==5,所以△ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25. 點評:△ABC外接圓的圓心是△ABC的外心,它是△ABC三邊的垂直平分線的交點,它到三頂點的距離相等,就是圓的半徑,利用這些幾何知識,可豐富解題思路. 思路2 例1 圖2是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖,該圓拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造時每隔4 m需用一個支柱支撐,求支柱A2P2的長度(精確到0.01 m). 圖2 解:建立坐標系如圖,圓心在y軸上,由題意得P(0,4),B(10, 0). 設(shè)圓的方程為x2+(y-b)2=r2,因為點P(0,4)和B(10,0)在圓上, 所以解得 所以這個圓的方程是x2+(y+10.5)2=14.52. 設(shè)點P2(-2,y0),由題意y0＞0,代入圓方程得(-2)2+(y0+10.5)2=14.52, 解得y0=-10.5≈14.36-10.5=3.86(m). 答：支柱A2P2的長度約為3.86 m. 例2 求與圓x2+y2-2x=0外切,且與直線x+y=0相切于點(3,-)的圓的方程. 活動:學生審題,注意題目的特點,教師引導學生利用本節(jié)知識和初中學過的幾何知識解題.首先利用配方法,把已知圓的方程寫成標準方程,再利用兩圓外切及直線與圓相切建立方程組,求出參數(shù),得到所求的圓的方程. 解:設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.圓x2+y2-2x=0的圓心為(1,0),半徑為1.因為兩圓外切,所以圓心距等于兩圓半徑之和,即=r+1, ① 由圓與直線x+y=0相切于點(3,-),得 解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-4,r=6. 故所求圓的方程為(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36. 點評:一般情況下,如果已知圓心(或易于求出)或圓心到某一直線的距離(或易于求出),可用圓的標準方程來求解,用待定系數(shù)法,求出圓心坐標和半徑. 變式訓練 一圓過原點O和點P(1,3),圓心在直線y=x+2上,求此圓的方程. 解法一：因為圓心在直線y=x+2上,所以設(shè)圓心坐標為(a,a+2). 則圓的方程為(x-a)2+(y-a-2)2=r2. 因為點O(0,0)和P(1,3)在圓上, 所以解得 所以所求的圓的方程為(x+)2+(y-)2=. 解法二：由題意：圓的弦OP的斜率為3,中點坐標為(,), 所以弦OP的垂直平分線方程為y-=-(x-),即x+3y-5=0. 因為圓心在直線y=x+2上,且圓心在弦OP的垂直平分線上, 所以由解得,即圓心坐標為C(-,). 又因為圓的半徑r=|OC|=, 所以所求的圓的方程為(x+)2+(y-)2=. 點評:(1)圓的標準方程中有a、b、r三個量,要求圓的標準方程即要求a、b、r三個量,有時可用待定系數(shù)法. (2)要重視平面幾何中的有關(guān)知識在解題中的運用. 例3 求下列圓的方程: (1)圓心在直線y=-2x上且與直線y=1-x相切于點(2,-1). (2)圓心在點(2,-1),且截直線y=x-1所得弦長為22. 解:(1)設(shè)圓心坐標為(a,-2a),由題意知圓與直線y=1-x相切于點(2,-1),所以,解得a=1.所以所求圓心坐標為(1,-2),半徑r==.所以所求圓的標準方程為(x-1)2+(y+2)2=2. (2)設(shè)圓的方程為(x-2)2+(y+1)2=r2(r＞0),由題意知圓心到直線y=x-1的距離為d==.又直線y=x-1被圓截得弦長為2,所以由弦長公式得r2-d2=2,即r=2.所以所求圓的標準方程為(x-2)2+(y+1)2=4. 點評:本題的兩個題目所給條件均與圓心和半徑有關(guān),故都利用了圓的標準方程求解,此外平面幾何的性質(zhì)的應用,使得解法簡便了許多,所以類似問題一定要注意圓的相關(guān)幾何性質(zhì)的應用,從確定圓的圓心和半徑入手來解決. （四）知能訓練 課本本節(jié)練習1、2. （一）拓展提升 1.求圓心在直線y=2x上且與兩直線3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圓的方程. 活動:學生思考交流,教師提示引導,求圓的方程,無非就是確定圓的圓心和半徑,師生共同探討解題方法. 解:首先兩平行線的距離d==2,所以半徑為r==1. 方法一：設(shè)與兩直線3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距離相等的直線方程為3x+4y+k=0,由平行線間的距離公式d=,得,即k=-2,所以直線方程為3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0與y=2x組成的方程組得,因此圓心坐標為(,).又半徑為r=1,所以所求圓的方程為(x-)2+(y-)2=1. 方法二：解方程組因此圓心坐標為(,).又半徑r=1,所以所求圓的方程為(x-)2+(y-)2=1. 點評:要充分考慮各幾何元素間的位置關(guān)系,把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來處理. （六）課堂小結(jié) ①圓的標準方程. ②點與圓的位置關(guān)系的判斷方法. ③根據(jù)已知條件求圓的標準方程的方法. ④利用圓的平面幾何的知識構(gòu)建方程. ⑤直徑端點是A(x1,y1)、B(x2,y2)的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. （七）作業(yè) 1.復習初中有關(guān)點與圓的位置關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系,圓與圓的位置關(guān)系有關(guān)內(nèi)容. 2.預習有關(guān)圓的切線方程的求法. 3.課本習題4.1 A組第2、3題.