2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5 定積分 1.5.1-1.5.2 曲邊梯形的面積 定積分講義（含解析）蘇教版選修2-2.doc

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1．5.1 & 1.5.2　曲邊梯形的面積　定積分 [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P24] 曲邊梯形的面積 如圖，陰影部分是由直線x＝1，x＝2，y＝0和函數(shù)f(x)＝x2所圍成的圖形， 問題1：利用你已學(xué)知識(shí)能求出陰影部分的面積嗎？ 提示：不能． 問題2：若把區(qū)間[1,2]分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把陰影部分拆分為一些小曲邊梯形，你能近似地求出這些小曲邊梯形的面積嗎？ 提示：可以．把每一個(gè)小曲邊梯形看作一個(gè)小矩形求解． 問題3：我們知道，拆分后的所有小曲邊梯形的面積和是該陰影部分的面積，如何才能更精確地求出陰影部分的面積呢？ 提示：分割的曲邊梯形數(shù)目越多，所求面積越精確． 1．曲邊梯形的面積 將已知區(qū)間[a，b]等分成n個(gè)小區(qū)間，當(dāng)分點(diǎn)非常多(n很大)時(shí)，可以認(rèn)為f(x)在小區(qū)間上幾乎沒有變化(或變化非常小)，從而可以取小區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)xi對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(xi)作為小矩形一邊的長(zhǎng)．于是，可用f(xi)Δx來(lái)近似表示小曲邊梯形的面積，這樣，和式f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xn)Δx表示了曲邊梯形面積的近似值． 2．求曲邊梯形的面積的步驟 求曲邊梯形面積的過(guò)程可以用流程圖表示為： →→→ 定積分 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有定義，將區(qū)間[a，b]等分成n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為Δx，在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，依次為x1，x2，…，xi，…，xn，作和Sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…＋f(xn)Δx. 如果當(dāng)Δx→0(亦即n→＋∞)時(shí)，Sn→S(常數(shù))，那么稱常數(shù)S為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分．記為S＝f(x)dx. 其中，f(x)稱為被積函數(shù)，[a，b]稱為積分區(qū)間，a稱為積分下限，b稱為積分上限． 定積分的幾何意義 問題1：試?yán)枚ǚe分的定義計(jì)算xdx的值． 提示：將區(qū)間[0,1]等分成n個(gè)小區(qū)間，則第i個(gè)小區(qū)間為，第i個(gè)小區(qū)間的面積為 ΔSi＝f＝， 所以Sn＝Si＝＝(1＋2＋3＋…＋n) ＝＝＋， 當(dāng)n→＋∞時(shí)，Sn→，所以xdx＝. 問題2：直線x＝0，x＝1，y＝0和函數(shù)f(x)＝x圍成的圖形的面積是多少？ 提示：如圖，S＝11＝. 問題3：以上兩個(gè)問題的結(jié)果一樣嗎？ 提示：一樣． 問題4：以上問題說(shuō)明了什么道理？ 提示：定積分f(x)dx(f(x)≥0)的值等于直線x＝a，x＝b，(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的面積． 一般地，定積分 f(x)dx的幾何意義是，在區(qū)間[a，b]上曲線與x軸所圍圖形面積的代數(shù)和(即x軸上方的面積減去x軸下方的面積．) 1．“分割”的目的在于更精確地實(shí)施“以直代曲”，例子中以“矩形”代替“曲邊梯形”，分割越細(xì)，這種“代替”就越精確．當(dāng)n越大時(shí)，所有“小矩形的面積和就越逼近曲邊梯形的面積”． 2．定積分f(x)dx是一個(gè)常數(shù)，即定積分是一個(gè)數(shù)值，它僅僅取決于被積函數(shù)和積分區(qū)間，而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)，如x2dx＝t2dt. 利用定積分的定義求曲邊梯形的面積 [例1]　求由直線x＝1，x＝2和y＝0及曲線y＝x3圍成的圖形的面積． [思路點(diǎn)撥]　依據(jù)求曲邊梯形面積的步驟求解． [精解詳析]　(1)分割 如圖，把曲邊梯形ABCD分割成n個(gè)小曲邊梯形，用分點(diǎn)，，…，把區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間：，，…，，…，，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為Δx＝－＝， 過(guò)各分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲 邊梯形ABCD分割成n個(gè)小曲邊梯 形，它們的面積分別記作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn. (2)以直代曲 取各小區(qū)間的左端點(diǎn)ξi，用ξ為一邊長(zhǎng)，以小區(qū)間長(zhǎng)Δx＝為其鄰邊長(zhǎng)的小矩形面積近似代替第i個(gè)小曲邊梯形的面積，可以近似地表示為 ΔSi≈ξΔx＝3(i＝1,2,3，…，n)． (3)作和 因?yàn)槊恳粋€(gè)小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個(gè)小矩形面積的和就是曲邊梯形ABCD的面積S的近似值，即S＝Si≈3.① (4)逼近 當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)，即Δx→0時(shí)，和式①的值→S. 因?yàn)?＝(n＋i－1)3 ＝(n－1)3＋3(n－1)2i＋3(n－1)i2＋i3] ＝[n(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)(n＋1)(2n＋1)＋n2(n＋1)2]， 當(dāng)n→∞時(shí)， S＝3＝1＋＋1＋＝. [一點(diǎn)通]　 (1)規(guī)則四邊形：利用四邊形的面積公式． (2)曲邊梯形 ①思想：以直代曲； ②步驟：分割→以直代曲→作和→逼近； ③關(guān)鍵：以直代曲； ④結(jié)果：分割越細(xì)，面積越精確． 1．已知汽車做變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t的速度為v(t)＝－t2＋2t(單位：km/h)，求它在1≤t≤2這段時(shí)間行駛的路程是多少？ 解：將時(shí)間區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間， 則第i個(gè)小區(qū)間為， 在第i個(gè)時(shí)間段的路程近似為ΔSi＝vΔt＝，i＝1,2，…，n. 所以Sn＝Si＝＝－[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋ [(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n] ＝－＋ ＝－＋＋3＋， n→＋∞時(shí)，－＋＋3＋→S. 則當(dāng)n→∞時(shí)，－＋ ＋3＋→. 由此可知，S＝. 所以這段時(shí)間行駛的路程為 km. 利用定積分的幾何意義求定積分 [例2]　利用定積分的幾何意義，求： (1) dx； (2) (2x＋1)dx. [思路點(diǎn)撥]　f(x)dx的幾何意義：介于x＝a，x＝b之間，x軸上、下相應(yīng)曲邊平面圖形面積的代數(shù)和． [精解詳析]　(1)在平面上y＝表示的幾何圖形為以原點(diǎn)為圓心以3為半徑的上半圓(如圖(1)所示)． 其面積為S＝π32＝π. 由定積分的幾何意義知dx＝π. (2)在平面上，f(x)＝2x＋1為一條直線． (2x＋1)dx表示直線f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3圍成的直角梯形OABC的面積(如圖(2)所示)． 其面積為S＝(1＋7)3＝12. 根據(jù)定積分的幾何意義知(2x＋1)dx＝12. [一點(diǎn)通]　(1)利用幾何意義求定積分，關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定被積函數(shù)的圖象以及積分區(qū)間，正確利用相關(guān)的幾何知識(shí)求面積，不規(guī)則圖形常用分割法求面積，注意分割點(diǎn)的確定． (2)兩種典型的曲邊梯形面積的計(jì)算方法： ①由三條直線x＝a、x＝b(a0)，求實(shí)數(shù)a的值． 解：由定積分的幾何意義知： xdx＝aa＝1(a>0)， 則有a＝. 7．計(jì)算定積分(3x－6)dx. 解：如圖，計(jì)算可得A的面積為，B的面積為6，從而(3x－6)dx＝－6＝. 8．利用定積分的幾何意義求： dx. 解：∵被積函數(shù)為y＝，其表示的曲線為以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的四分之一圓，由定積分的幾何意義，可知所求的定積分即為四分之一圓的面積， 所以dx＝12＝.