2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計(jì)案例 3.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用 學(xué)案學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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3.2　獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用 [教材研讀] 預(yù)習(xí)教材P91～96，思考以下問題 1．分類變量與列聯(lián)表分別是如何定義的？ 　 　 2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想是怎樣的？ 　 　 [要點(diǎn)梳理] 1．與列聯(lián)表相關(guān)的概念 (1)分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量． (2)列聯(lián)表： ①列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表． ②一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為： YX y1 y2 總計(jì) x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計(jì) a＋c b＋d a＋b＋c＋d 2.等高條形圖 等高條形圖與表格相比，圖形更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列表數(shù)據(jù)的頻率特征． 3．獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想 (1)定義：利用隨機(jī)變量K2來判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系\”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)． (2)公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. (3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體做法： ①根據(jù)實(shí)際問題的需要確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界α，然后查表確定臨界值k0. ②利用公式計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測值k. ③如果k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”． [自我診斷] 判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) 1．分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念．(　　) 2．列聯(lián)表頻率分析法、等高條形圖可初步分析兩分類變量是否有關(guān)系，而獨(dú)立性檢驗(yàn)中K2取值則可通過統(tǒng)計(jì)表從數(shù)據(jù)上說明兩分類變量的相關(guān)性的大小．(　　) 3．獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法就是反證法．(　　) [答案]　1.　2.√　3. 題型一　用等高條形圖分析兩個(gè)分類變量間的關(guān)系 為了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系，分別對(duì)病人組和對(duì)照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下： 組別 陽性數(shù) 陰性數(shù) 總計(jì) 鉛中毒病人 29 7 36 對(duì)照組 9 28 37 總計(jì) 38 35 73 試畫出列聯(lián)表的等高條形圖，分析鉛中毒病人和對(duì)照組的尿棕色素陽性數(shù)有無差別，鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系？ [思路導(dǎo)引]　依據(jù)表中數(shù)據(jù)，畫出等高條形圖，由圖形進(jìn)行分析． [解]　等高條形圖如圖所示： 其中兩個(gè)淺色條的高分別代表鉛中毒病人和對(duì)照組樣本中尿棕色素為陽性的頻率． 由圖可以直觀地看出鉛中毒病人與對(duì)照組相比，尿棕色素為陽性的頻率差異明顯，因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽性有關(guān)系． (1)判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的兩種常用方法 ①利用數(shù)形結(jié)合思想，借助等高條形圖來判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)是判斷變量相關(guān)的常見方法． ②一般地，在等高條形圖中，與相差越大，兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性就越大． (2)利用等高條形圖判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的步驟 [跟蹤訓(xùn)練] 在調(diào)查的480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲，分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法來判斷色盲與性別是否有關(guān)？你所得到的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效？ [解]　根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)作出如下的列聯(lián)表： 色盲 不色盲 總計(jì) 男 38 442 480 女 6 514 520 總計(jì) 44 956 1000 根據(jù)列聯(lián)表作出相應(yīng)的等高條形圖，如圖所示． 從等高條形圖來看，男性患色盲的頻率要高一些，因此直觀上可以認(rèn)為色盲與性別有關(guān)． 根據(jù)列聯(lián)表中所給的數(shù)據(jù)可以有 a＝38，b＝442，c＝6，d＝514，a＋b＝480，c＋d＝520， a＋c＝44，b＋d＝956，n＝1000， 由公式K2＝， 得K2的觀測值 k＝≈27.1>10.828. 因此，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為色盲與性別是有關(guān)的． 題型二　用22列聯(lián)表分析兩個(gè)分類變量間的關(guān)系 思考：下面是22列聯(lián)表. y1 y2 總計(jì) x1 33 21 54 x2 a 13 46 總計(jì) b 34 100 則表中a，b處的值應(yīng)為多少？ 提示：a＝46－13＝33，b＝33＋a＝33＋33＝66. 為了探究學(xué)生選報(bào)文、理科是否與對(duì)外語的興趣有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：理科對(duì)外語有興趣的有138人，無興趣的有98人，文科對(duì)外語有興趣的有73人，無興趣的有52人．能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下，認(rèn)為“學(xué)生選報(bào)文、理科與對(duì)外語的興趣有關(guān)”？ [解]　根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表： 理科 文科 總計(jì) 有興趣 138 73 211 無興趣 98 52 150 總計(jì) 236 125 361 根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)由公式計(jì)算得隨機(jī)變量K2的觀測值 k＝≈1.87110－4. 因?yàn)?.87110－4<2.706， 所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下，不能認(rèn)為“學(xué)生選報(bào)文、理科與對(duì)外語的興趣有關(guān)”． 　獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟 (1)確定分類變量，獲取樣本頻數(shù)，得到列聯(lián)表． (2)根據(jù)實(shí)際問題的需要確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界α，然后查表確定臨界值k0. (3)利用公式K2＝計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測值k0. (4)作出判斷． 如果k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α，否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y的關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”． [跟蹤訓(xùn)練] 在研究某種藥物對(duì)“H1N1”病毒的治療效果時(shí)，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到以下數(shù)據(jù)，對(duì)150只動(dòng)物服用藥物，其中132只動(dòng)物存活，18只動(dòng)物死亡，對(duì)照組150只動(dòng)物進(jìn)行常規(guī)治療，其中114只動(dòng)物存活，36只動(dòng)物死亡． (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)22列聯(lián)表； (2)試問該種藥物對(duì)治療“H1N1”病毒是否有效？ [解]　(1)22列聯(lián)表如下： 存活數(shù) 死亡數(shù) 總計(jì) 服用該藥物 132 18 150 未服該藥物 114 36 150 總計(jì) 246 54 300 (2)由(1)知 K2＝≈7.317>6.635. 故在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為該種藥物對(duì)“H1N1”病毒有治療效果． 某高校共有學(xué)生15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時(shí))． (1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？ (2)根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)的概率． (3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)．請(qǐng)完成每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)\”． 附：K2＝ P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 [解]　(1)300＝90，所以應(yīng)收集90位女生的樣本數(shù)據(jù)． (2)由頻率分布直方圖得2(0.150＋0.125＋0.075＋0.025)＝0.75， 所以該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)的概率的估計(jì)值為0.75. (3)由(2)知，300位學(xué)生中有3000.75＝225人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4個(gè)小時(shí)，75人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過4個(gè)小時(shí)．又因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是關(guān)于女生的，所以每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別的列聯(lián)表如下： 平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表 男生 女生 總計(jì) 每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間 不超過4個(gè)小時(shí) 45 30 75 每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間 超過4個(gè)小時(shí) 165 60 225 總計(jì) 210 90 300 結(jié)合列聯(lián)表可算得K2的觀測值 k＝＝≈4.762>3.841. 有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”． (1)獨(dú)立性檢驗(yàn)問題是常與統(tǒng)計(jì)、概率相結(jié)合，解題時(shí)一定要認(rèn)真審題，找出各數(shù)據(jù)的聯(lián)系． (2)解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，一定要按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論． [跟蹤訓(xùn)練] 某中學(xué)將100名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個(gè)“平行班”，每班50人．陳老師采用A，B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行教改實(shí)驗(yàn)．為了解教學(xué)效果，期末考試后，陳老師分別從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，作出莖葉圖如圖．記成績不低于90分者為“成績優(yōu)秀”. (1)在乙班樣本的20個(gè)個(gè)體中，從不低于86分的成績中隨機(jī)抽取2個(gè)，求抽出的兩個(gè)均“成績優(yōu)秀”的概率； (2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作出列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為：“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)． [解]　(1)由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從不低于86分的成績中隨機(jī)抽取兩個(gè)包含的基本事件是：(86,93)，(86,96)，(86,97)，(86,99)，(86,99)，(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有15種結(jié)果， 符合條件的事件數(shù)(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有10種結(jié)果，根據(jù)等可能事件的概率得到P＝＝. (2)由已知數(shù)據(jù)得 甲班 乙班 總計(jì) 成績優(yōu)秀 1 5 6 成績不優(yōu)秀 19 15 34 總計(jì) 20 20 40 根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得隨機(jī)變量K2的觀測值 k＝≈3.137， 由于3.137>2.706，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為：“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)． 1.本節(jié)課的重點(diǎn)是用22列聯(lián)表、等高條形圖分析兩個(gè)分類變量間的關(guān)系以及獨(dú)立性檢驗(yàn)． 2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法 (1)用等高條形圖分析兩個(gè)分類變量間的關(guān)系，見典例1； (2)用22列聯(lián)表分析兩個(gè)分類變量間的關(guān)系，見典例2； (3)獨(dú)立性檢驗(yàn)，見典例3. 3．解決一般的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題的步驟 (1)通過列聯(lián)表確定a，b，c，d，n的值，根據(jù)實(shí)際問題需要的可信程度確定臨界值k0； (2)利用K2＝求出K2的觀測值k； (3)如果k≥k0，就推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α，否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下不能推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”． 其中第(2)步易算錯(cuò)K2的值，是本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)．