2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.1 二維形式的柯西不等式教案 新人教A版選修4-5.docx

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3.1二維形式的柯西不等式 一、教學(xué)目標(biāo) 1．認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義． 2．通過運(yùn)用柯西不等式分析解決一些簡單問題． 二、課時(shí)安排 1課時(shí) 三、教學(xué)重點(diǎn) 認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義． 四、教學(xué)難點(diǎn) 通過運(yùn)用柯西不等式分析解決一些簡單問題． 五、教學(xué)過程 （一）導(dǎo)入新課 復(fù)習(xí)基本不等式。 （二）講授新課 教材整理　二維形式的柯西不等式 內(nèi)容 等號(hào)成立的條件 代數(shù)形式 若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥ 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立 向量形式 設(shè)α，β是兩個(gè)向量，則|αβ|≤|α||β| 當(dāng)且僅當(dāng) ，或，等號(hào)成立 三角形式 設(shè)x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥ 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立 （三）重難點(diǎn)精講 題型一、二維柯西不等式的向量形式及應(yīng) 例1已知p，q均為正數(shù)，且p3＋q3＝2.求證：p＋q≤2. 【精彩點(diǎn)撥】　為了利用柯西不等式的向量形式，可分別構(gòu)造兩個(gè)向量． 【自主解答】　設(shè)m＝p，q，n＝(p，q)，則 p2＋q2＝pp＋qq＝|mn|≤|m||n| ＝＝. 又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)， ∴≤p2＋q2≤， ∴≤，則(p＋q)4≤8(p＋q)． 又p＋q>0， ∴(p＋q)3≤8，故p＋q≤2. 規(guī)律總結(jié)： 使用二維柯西不等式的向量形式證明不等式，關(guān)鍵是合理構(gòu)造出兩個(gè)向量．同時(shí)，要注意向量模的計(jì)算公式|a|＝對(duì)數(shù)學(xué)式子變形的影響． [再練一題] 1．若本例的條件中，把“p3＋q3＝2”改為“p2＋q2＝2”，試判斷結(jié)論是否仍然成立？ 【解】　設(shè)m＝(p，q)，n＝(1,1)， 則p＋q＝p1＋q1＝|mn|≤|m||n|＝. 又p2＋q2＝2. ∴p＋q≤＝2. 故仍有結(jié)論p＋q≤2成立. 題型二、運(yùn)用柯西不等式求最值 例2　若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值． 【精彩點(diǎn)撥】　由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，聯(lián)系柯西不等式，可以通過構(gòu)造(12＋12)作為一個(gè)因式而解決問題． 【自主解答】　由柯西不等式得(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1. ∴4x2＋9y2≥， 當(dāng)且僅當(dāng)2x1＝3y1， 即x＝，y＝時(shí)取等號(hào)． ∴4x2＋9y2的最小值為. 規(guī)律總結(jié)： 1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等號(hào)成立的條件，而且要善于配湊，保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果． 2．常用的配湊的技巧有：①巧拆常數(shù)；②重新安排某些項(xiàng)的次序；③適當(dāng)添項(xiàng)；④適當(dāng)改變結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到運(yùn)用柯西不等式求最值的目的． [再練一題] 2．若3x＋4y＝2，試求x2＋y2的最小值及最小值點(diǎn). 【解】　由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4. 所以x2＋y2≥， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，“＝”成立．為求最小值點(diǎn)，需解方程組∴ 因此，當(dāng)x＝，y＝時(shí)，x2＋y2取得最小值，最小值為，最小值點(diǎn)為. 題型三、二維柯西不等式代數(shù)形式的應(yīng)用 例3已知|3x＋4y|＝5，求證：x2＋y2≥1. 【精彩點(diǎn)撥】　探求已知條件與待證不等式之間的關(guān)系，設(shè)法構(gòu)造柯西不等式進(jìn)行證明． 【自主解答】　由柯西不等式可知(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，所以(x2＋y2)≥. 又因?yàn)閨3x＋4y|＝5， 所以＝1， 即x2＋y2≥1. 規(guī)律總結(jié)： 1．利用二維形式的柯西不等式證明時(shí)，要抓住柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，必要時(shí)，需要將數(shù)學(xué)表達(dá)式適當(dāng)變形． 2．變形往往要求具有很高的技巧，必須善于分析題目的特征，根據(jù)題設(shè)條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數(shù)形結(jié)合等方法才能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，找到突破口． [再練一題] 3．設(shè)a，b∈R＋且a＋b＝2.求證：＋≥2. 【證明】　根據(jù)柯西不等式，有 [(2－a)＋(2－b)]＝[()2＋()2]＋ ≥＝(a＋b)2＝4. ∴＋≥＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝， 即a＝b＝1時(shí)等號(hào)成立． ∴＋≥2. （四）歸納小結(jié) 二維柯西不等式— （五）隨堂檢測(cè) 1．設(shè)x，y∈R，且2x＋3y＝13，則x2＋y2的最小值為(　　) A. B．169 C．13 D.0 【解析】　(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)， ∴x2＋y2≥13. 【答案】　C 2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，則(＋)2的最大值是(　　) A．2 B. C．6 D.12 【解析】　(＋)2 ＝(1＋1)2 ≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2] ＝2(41＋2)＝12， 當(dāng)且僅當(dāng)＝， 即a＝b＝時(shí)等號(hào)成立．故選D. 【答案】　D 3．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且ab＝5，則向量b＝________. 【解析】　|a|＝＝5，且 |b|＝1， ∴ab＝|a||b|， 因此，b與a共線，且方向相同， ∴b＝. 【答案】　 六、板書設(shè)計(jì) 3.1二維形式的柯西不等式 教材整理　二維形式的柯西不等式 例1： 例2： 例3： 學(xué)生板演練習(xí) 七、作業(yè)布置 同步練習(xí)：3.1二維形式的柯西不等式 八、教學(xué)反思