2020高考數學一輪復習 課時作業(yè)24 解三角形應用舉例 理.doc

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課時作業(yè)24　解三角形應用舉例 [基礎達標] 一、選擇題 1．如圖，設A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側，選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45，∠CAB＝105，則A，B兩點的距離為(　　) A．50 m 　　　　　　B．50 m C．25 m D. m 解析：由正弦定理得 AB＝＝＝50(m)． 答案：A  2．[2019武漢三中月考]如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40方向上，燈塔B在觀察站南偏東60方向上，則燈塔A在燈塔B的(　　) A．北偏東10方向上 B．北偏西10方向上 C．南偏東80方向上 D．南偏西80方向上 解析：由條件及題圖可知，∠A＝∠ABC＝40，因為∠BCD＝60，所以∠CBD＝30，所以∠DBA＝10，因此燈塔A在燈塔B南偏西80方向上． 答案：D 3. 如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D，測得∠BCD＝15，∠BDC＝30，CD＝30 m，并在點C測得塔頂A的仰角為60，則塔高AB等于(　　) A．5 m B．15 m C．5 m D．15 m 解析：在△BCD中，∠CBD＝180－15－30＝135. 由正弦定理得＝，解得BC＝15(m)． 在Rt△ABC中， AB＝BCtan∠ACB＝15＝15(m)． 答案：D 4．某船開始看見燈塔在南偏東30方向，后來船沿南偏東60的方向航行15 km后，看見燈塔在正西方向，則這時船與燈塔的距離是(　　) A．5 km B．10 km C．5 km D．5 km 解析：作出示意圖(如圖)，點A為該船開始的位置，點B為燈塔的位置，點C為該船后來的位置，所以在△ABC中，有∠BAC＝60－30＝30，∠B＝120，AC＝15， 由正弦定理，得＝， 即BC＝＝5，即這時船與燈塔的距離是5 km. 答案：C 5. 如圖，在離地面高400 m的熱氣球上，觀測到山頂C處的仰角為15，山腳A處的俯角為45，已知∠BAC＝60，則山的高度BC為(　　) A．700 m B．640 m C．600 m D．560 m 解析：根據題意，可得在Rt△AMD中， ∠MAD＝45，MD＝400， 所以AM＝＝400. 因為△MAC中，∠AMC＝45＋15＝60， ∠MAC＝180－45－60＝75， 所以∠MCA＝180－∠AMC－∠MAC＝45， 由正弦定理，得AC＝＝＝400， 在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝400＝600(m)． 答案：C 二、填空題 6．[2019山東省，湖北省部分中學質量檢測]如圖，在某島附近海底某處有一條海防警戒線，在警戒線上的點A，B，C處各有一個水聲監(jiān)測點，B，C兩點到A的距離分別為20千米和50千米，某時刻B點接收到發(fā)自水中P處的一個聲波信號，8秒后A，C同時接收到該聲波信號，假設聲波在水中的傳播速度是1.5千米/秒，則P到海防警戒線的距離為________千米． 解析：通解　依題意知PA＝PC，設PA＝PC＝x，PB＝x－1.58＝x－12.在△PAB中，AB＝20，則cos∠PAB＝＝＝，在△PAC中，AC＝50，則cos∠PAC＝＝＝.因為cos∠PAB＝cos∠PAC，所以＝，解得x＝31，過點P作PD⊥AC于點D，則AD＝25，在Rt△ADP中，PD＝＝4.故P到海防警戒線的距離為4千米． 優(yōu)解　過點P作PD⊥AC于點D，設PB＝x，由題意知，PA＝PC＝x＋1.58＝x＋12，AD＝25，BD＝5，在Rt△PAD中，PD2＝PA2－AD2＝(x＋12)2－252，在Rt△PBD中，PD2＝PB2－BD2＝x2－52，則(x＋12)2－252＝x2－52，可得x＝19，故PD＝＝4，即P到海防警戒線的距離為4千米． 答案：4 7．[2019南昌市模擬]已知臺風中心位于城市A東偏北α(α為銳角)度的150公里處，以v公里/時沿正西方向快速移動，2.5小時后到達距城市A西偏北β(β為銳角)度的200公里處，若cos(α－β)＝，則v＝________. 解析：如圖所示，AB＝150，AC＝200，根據題意可知∠B＝α，∠C＝β，因為cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝＝. 在三角形ABC中，由正弦定理＝，得＝， 得4sinβ＝3sinα，所以4sinβ＝3sin[β＋(α－β)]＝3[sinβcos(α－β)＋cosβsin(α－β)]＝3，整理得4sinβ＝3cosβ. 又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝，進而sinα＝，所以有sin2α＋sin2β＝1，所以α＝90－β， 所以∠BAC＝180－(α＋β)＝90，所以BC＝＝＝250，故v＝＝100. 答案：100 8．[2019福建檢測]在平面四邊形ABCD中，AB＝1，AC＝，BD⊥BC，BD＝2BC，則AD的最小值為________． 解析：設∠BAC＝α，∠ABD＝β(β∈(0，π))，則∠ABC＝β＋.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosα＝6－2cosα，由正弦定理，得＝，即BC＝.在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋DB2－2ABDBcosβ＝1＋4BC2－4BCcosβ＝1＋4(6－2cosα)－4cosβ＝25－8cosα－4sinα＝25－20sin(α＋θ)，所以當sin(α＋θ)＝1，即sinα＝，cosα＝時，AD2取得最小值5，所以AD的最小值為. 答案： 三、解答題 9．[2019石家莊檢測] 某學校的平面示意圖如圖中的五邊形區(qū)域ABCDE，其中三角形區(qū)域ABE為生活區(qū)，四邊形區(qū)域BCDE為教學區(qū)，AB，BC，CD，DE，EA，BE為學校的主要道路(不考慮寬度)．∠BCD＝∠CDE＝，∠BAE＝，DE＝3BC＝3CD＝ km. (1)求道路BE的長度； (2)求生活區(qū)△ABE面積的最大值． 解析：(1)如圖，連接BD，在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos∠BCD＝，∴BD＝ km. ∵BC＝CD， ∠CDB＝∠CBD＝＝， 又∠CDE＝，∴∠BDE＝. ∴在Rt△BDE中，BE＝＝＝(km)． 故道路BE的長度為 km. (2)設∠ABE＝α，∵∠BAE＝， ∴∠AEB＝－α. 在△ABE中，易得＝＝＝＝， ∴AB＝sin，AE＝sinα. ∴S△ABE＝ABAEsin＝sinsinα＝≤＝(km2)． ∵0<α<，∴－<2α－<. ∴當2α－＝，即α＝時，S△ABE取得最大值，最大值為 km2， 故生活區(qū)△ABE面積的最大值為 km2. 10．要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45，在D點測得塔頂A的仰角是30，并測得水平面上的∠BCD＝120，CD＝40 cm，求電視塔的高度． 解析：如圖，設電視塔AB高為x m，則在Rt△ABC中，由∠ACB＝45得BC＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30，則BD＝x. 在△BDC中，由余弦定理得， BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos120， 即(x)2＝x2＋402－2x40cos120， 即得x＝40， 所以電視塔高為40 m. [能力挑戰(zhàn)] 11．在海岸A處，發(fā)現北偏東45方向，距離A處(－1)海里的B處有一艘走私船；在A處北偏西75方向，距離A處2海里的C處的輯私船奉命在10海里/時的速度追截走私船．同時，走私船正以10海里/時的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少時間？ 解析：如圖，設緝私船t時后在D處追上走私船， 則有CD＝10t，BD＝10t. 在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120. 利用余弦定理可得BC＝. 由正弦定理，得 sin∠ABC＝sin∠BAC＝＝， 得∠ABC＝45，即BC與正北方向垂直． 于是∠CBD＝120. 在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD＝＝＝， 得∠BCD＝30， ∴∠BDC＝30. 又＝，＝，得t＝. 所以緝私船沿北偏東60的方向能最快追上走私船，最少要花時．