2019高考數(shù)學二輪復習 第5講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習 理.docx

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第5講　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.若θ∈21π4,11π2,則1-cos23π2-θ2=(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.-sinθ2 B.-cosθ2 C.cosθ2 D.sinθ2-cosθ2 2.已知角α的終邊與單位圓x2+y2=1交于P12,y0,則sinπ2+2α=(　　) A.-12 B.1 C.12 D.-32 3.(2018西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=π3時取得最小值,則f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A.π3,π B.π3,2π3 C.0,2π3 D.2π3,π 4.若關于x的方程2sin2x+π6=m在0,π2上有兩個不等實根,則m的取值范圍是(　　) A.(1,3) B.[0,2] C.[1,2) D.[1,3] 5.水車是古代勞動人民進行灌溉引水的工具,是人類的一項古老的發(fā)明,也是人類利用自然和改造自然的象征.下圖是一個半徑為R的水車,一個水斗從點A(33,-3)出發(fā),沿圓周按逆時針方向勻速旋轉,且旋轉一周用時60秒.經(jīng)過t秒后,水斗旋轉到點P,設P的坐標為(x,y),其縱坐標滿足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<π2,則下列敘述錯誤的是(　　) A.R=6,ω=π30,φ=-π6 B.當t∈[35,55]時,點P到x軸的距離的最大值為6 C.當t∈[10,25]時,函數(shù)y=f(t)單調(diào)遞減 D.當t=20時,|PA|=63 6.已知tan α=13,則1cos2α-2sinαcosα+5sin2α的值為　. 7.在函數(shù)①y=cos|2x|,②y=|cos 2x|,③y=cos2x+π6,④y=tan 2x中,最小正周期為π的所有函數(shù)的序號為　　　　. 8.已知函數(shù)f(x)=cos3x+π3,其中x∈π6,mm∈R且m>π6,若f(x)的值域是-1,-32,則m的最大值是　　　　. 9.已知函數(shù)f(x)=3sin 2x-2sin2x. (1)若點P(1,-3)在角α的終邊上,求f(α)的值; (2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間. 10.(2018湖北八校聯(lián)考)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2在它的某一個周期內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間是5π12,11π12.將y=f(x)的圖象先向左平移π4個單位長度,再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?2(縱坐標不變),所得到的圖象對應的函數(shù)記為g(x). (1)求g(x)的解析式; (2)求g(x)在區(qū)間0,π4上的最大值和最小值. 11.已知函數(shù)f(x)=3sin 2ωx+cos4ωx-sin4ωx+1(其中0<ω<1),若點-π6,1是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心. (1)求f(x)的解析式,并求距y軸最近的一條對稱軸的方程; (2)先列表,再作出函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π,π]上的圖象. 12.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0≤φ≤π2圖象的相鄰兩對稱軸之間的距離為π2,且在x=π8時取得最大值1. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)當x∈0,9π8時,若方程f(x)=a恰好有三個根,分別為x1,x2,x3,求x1+x2+x3的取值范圍. 答案全解全析 1.B　∵θ∈4π+5π4,4π+3π2,∴θ2∈2π+5π8,2π+3π4,則1-cos23π2-θ2=1-sin2θ2=cosθ2=-cosθ2. 2.A　由題意知當x=12時,y0=-32或y0=32,所以sin α=-32或sin α=32,又因為sinπ2+2α=cos 2α=1-2sin2α,所以sinπ2+2α=1-234=-12. 3.A　因為0<θ<π,所以π3<π3+θ<4π3,又f(x)=cos(x+θ)在x=π3時取得最小值,所以π3+θ=π,θ=2π3,所以f(x)=cosx+2π3.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-53π+2kπ,-23π+2kπ,k∈Z,所以f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是π3,π,故選A. 4.C　2sin2x+π6=m在0,π2上有兩個不等實根等價于函數(shù)f(x)=2sin2x+π6的圖象與直線y=m在0,π2上有兩個交點.如圖,在同一坐標系中作出y=f(x)與y=m的圖象,由圖可知m的取值范圍為[1,2).故選C. 5.C　由點A(33,-3)可得R=6.由旋轉一周用時60秒可得T=2πω=60,則ω=π30.由點A(33,-3)可得∠AOx=π6,則φ=-π6,故A敘述正確.當t∈[35,55]時,π30t-π6∈π,5π3,∴當π30t-π6=3π2時,得點P(0,-6),此時,點P到x軸的距離最大且為6,故B敘述正確.∵f(t)=6sinπ30t-π6,∴當t=20時,水車旋轉了三分之一周期,則∠AOP=2π3,∴|PA|=63,故D敘述正確.故選C. 6.答案　54 解析　因為sin2α+cos2α=1, 所以原式=cos2α+sin2αcos2α-2sinαcosα+5sin2α=1+tan2α1-2tanα+5tan2α.將tan α=13代入上式,原式=1+191-23+519=9+19-6+5=54. 7.答案?、佗? 解析　①y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期為π;②函數(shù)y=cos 2x的最小正周期為π,由圖象知y=|cos 2x|的最小正周期為π2;③y=cos2x+π6的最小正周期T=2π2=π;④y=tan 2x的最小正周期T=π2.因此①③的最小正周期為π. 8.答案　5π18 解析　由x∈π6,m,可知5π6≤3x+π3≤3m+π3, ∵fπ6=cos5π6=-32,且f2π9=cos π=-1,∴要使f(x)的值域是-1,-32,需要π≤3m+π3≤7π6,即2π9≤m≤5π18,即m的最大值是5π18. 9.解析　(1)∵點P(1,-3)在角α的終邊上, ∴sin α=-32,cos α=12, ∴f(α)=3sin 2α-2sin2α =23sin αcos α-2sin2α =23-3212-2-322 =-3. (2)f(x)=3sin 2x-2sin2x =3sin 2x+cos 2x-1 =2sin2x+π6-1. 易知f(x)的最小正周期為2π2=π. 由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z, 得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z, ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為π6+kπ,2π3+kπ,k∈Z. 10.解析　(1)T2=1112π-512π=12π,∴T=π,ω=2πT=2, 又sin25π12+φ=1,|φ|<π2,∴φ=-π3, ∴f(x)=sin2x-π3,∴g(x)=sin4x+π6. (2)易知g(x)在0,π12上為增函數(shù),在π12,π4上為減函數(shù), 所以g(x)max=gπ12=1, 又g(0)=12,gπ4=-12, 所以g(x)min=-12, 故函數(shù)g(x)在區(qū)間0,π4上的最大值和最小值分別為1和-12. 11.解析　(1)f(x)=3sin 2ωx+(cos2ωx-sin2ωx)(cos2ωx+sin2ωx)+1=3sin 2ωx+cos 2ωx+1=2sin2ωx+π6+1. ∵點-π6,1是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心, ∴-ωπ3+π6=kπ,k∈Z, ∴ω=-3k+12,k∈Z. ∵0<ω<1,∴k=0,ω=12, ∴f(x)=2sinx+π6+1. 由x+π6=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ+π3,k∈Z, 令k=0,得距y軸最近的一條對稱軸方程為x=π3. (2)由(1)知,f(x)=2sinx+π6+1,當x∈[-π,π]時,列表如下: x+π6 -5π6 -π2 0 π2 π 7π6 x -π -2π3 -π6 π3 5π6 π f(x) 0 -1 1 3 1 0 則函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π,π]上的圖象如圖所示. 12.解析　(1)由題意知T2=π2,∴T=π,∴2πω=π即ω=2, 所以sin2π8+φ=sinπ4+φ=1, 所以π4+φ=2kπ+π2,k∈Z, 所以φ=2kπ+π4,k∈Z, 因為0≤φ≤π2,所以φ=π4, 所以f(x)=sin2x+π4. (2)畫出該函數(shù)的圖象如圖, 當22≤a<1時,方程f(x)=a恰好有三個根,且點(x1,a)和(x2,a)關于直線x=π8對稱,點(x2,a)和(x3,a)關于直線x=5π8對稱,所以x1+x2=π4,π≤x3<9π8,所以5π4≤x1+x2+x3<11π8.