（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第13練 空間中的平行與垂直試題 理.docx

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第13練　空間中的平行與垂直 [明晰考情]　1.命題角度：空間中的平行、垂直關(guān)系的證明.2.題目難度：低檔難度. 考點(diǎn)一　空間中的平行關(guān)系 方法技巧　(1)平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線平行，比較常見(jiàn)的是利用三角形中位線構(gòu)造平行關(guān)系，利用平行四邊形構(gòu)造平行關(guān)系. (2)證明過(guò)程中要嚴(yán)格遵循定理中的條件，注意推證的嚴(yán)謹(jǐn)性. 1.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM＝DN，求證：MN∥平面AA1B1B. 證明　如圖所示，作ME∥BC交BB1于點(diǎn)E，作NF∥AD交AB于點(diǎn)F，連結(jié)EF，則EF?平面AA1B1B. ∵M(jìn)E∥BC，NF∥AD， ∴＝，＝. 在正方體ABCD－A1B1C1D1中， ∵CM＝DN，∴B1M＝NB. 又B1C＝BD， ∴＝＝，又BC＝AD，∴ME＝NF. 又ME∥BC∥AD∥NF， ∴四邊形MEFN為平行四邊形，∴MN∥EF. 又EF?平面AA1B1B，MN?平面AA1B1B， ∴MN∥平面AA1B1B. 2.如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一點(diǎn)F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求點(diǎn)F的位置；若不存在？請(qǐng)說(shuō)明理由. 解　存在這樣的點(diǎn)F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此時(shí)點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，證明如下： ∵AB∥CD，AB＝2CD， ∴AF∥CD且AF＝CD， ∴四邊形AFCD是平行四邊形， ∴AD∥CF. 又AD?平面ADD1A1，CF?平面ADD1A1， ∴CF∥平面ADD1A1. 又CC1∥DD1，CC1?平面ADD1A1， DD1?平面ADD1A1， ∴CC1∥平面ADD1A1. 又CC1，CF?平面C1CF，CC1∩CF＝C， ∴平面C1CF∥平面ADD1A1. 考點(diǎn)二　空間中的垂直關(guān)系 方法技巧　判定直線與平面垂直的常用方法 (1)利用線面垂直定義. (2)利用線面垂直的判定定理，一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則這條直線與平面垂直. (3)利用線面垂直的性質(zhì)，兩平行線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面. (4)利用面面垂直的性質(zhì)定理，兩平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面. 3.如圖所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn). 求證：(1)AF∥平面BCE； (2)平面BCE⊥平面CDE. 證明　(1)如圖，取CE的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，BG. ∵F為CD的中點(diǎn)，∴GF∥DE且GF＝DE. ∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， ∴AB∥DE，∴GF∥AB. 又AB＝DE，∴GF＝AB. ∴四邊形GFAB為平行四邊形， ∴AF∥BG. ∵AF?平面BCE，BG?平面BCE， ∴AF∥平面BCE. (2)∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)， ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF. 又CD∩DE＝D，CD，DE?平面CDE， 故AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE. ∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE. 4.如圖，在六面體ABCDE中，平面DBC⊥平面ABC，AE⊥平面ABC. (1)求證：AE∥平面DBC； (2)若AB⊥BC，BD⊥CD，求證：AD⊥DC. 證明　(1)過(guò)點(diǎn)D作DO⊥BC，垂足為O. ∵平面DBC⊥平面ABC，平面DBC∩平面ABC＝BC，DO?平面DBC，∴DO⊥平面ABC. 又AE⊥平面ABC， 則AE∥DO. 又AE?平面DBC，DO?平面DBC，故AE∥平面DBC. (2)由(1)知，DO⊥平面ABC，AB?平面ABC， ∴DO⊥AB. 又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC?平面DBC， ∴AB⊥平面DBC.∵DC?平面DBC，∴AB⊥DC. 又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB?平面ABD， 則DC⊥平面ABD. 又AD?平面ABD，故可得AD⊥DC. 考點(diǎn)三　平行和垂直的綜合應(yīng)用 方法技巧　空間平行、垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化，即通過(guò)判定、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化. 5.如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn). 求證：(1)直線EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD. 證明　(1)在△PAD中，∵E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)， ∴EF∥PD. 又∵EF?平面PCD，PD?平面PCD， ∴直線EF∥平面PCD. (2)如圖，連結(jié)BD. ∵AB＝AD，∠BAD＝60， ∴△ADB為正三角形. ∵F是AD的中點(diǎn)， ∴BF⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BF?平面ABCD，∴BF⊥平面PAD. 又∵BF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD. 6.由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱錐C1－B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A1E⊥平面ABCD. (1)證明：A1O∥平面B1CD1； (2)設(shè)M是OD的中點(diǎn)，證明：平面A1EM⊥平面B1CD1. 證明　(1)取B1D1的中點(diǎn)O1，連結(jié)CO1，A1O1， 由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱， 所以A1O1∥OC，A1O1＝OC， 因此四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1O∥O1C. 又O1C?平面B1CD1，A1O?平面B1CD1， 所以A1O∥平面B1CD1. (2)因?yàn)锳C⊥BD，E，M分別為AD和OD的中點(diǎn)， 所以EM⊥BD， 又A1E⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以A1E⊥BD. 因?yàn)锽1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1. 又A1E，EM?平面A1EM，A1E∩EM＝E， 所以B1D1⊥平面A1EM. 又B1D1?平面B1CD1， 所以平面A1EM⊥平面B1CD1. 典例　(14分)如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，點(diǎn)E，F(xiàn)，H分別為AB，PC，BC的中點(diǎn). (1)求證：EF∥平面PAD； (2)求證：平面PAH⊥平面DEF. 審題路線圖 (1)―→―→ (2)―→ ―→―→ 規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 證明　(1)取PD的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，AM. ∵在△PCD中，F(xiàn)，M分別為PC，PD的中點(diǎn)， ∴FM∥CD且FM＝CD. ∵在正方形ABCD中，AE∥CD且AE＝CD， ∴AE∥FM且AE＝FM， 則四邊形AEFM為平行四邊形， ∴AM∥EF. 4分 又∵EF?平面PAD， AM?平面PAD， ∴EF∥平面PAD. 6分 (2)∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD， PA⊥AD， 側(cè)面PAD∩底面ABCD＝AD， ∴PA⊥底面ABCD.∵DE?底面ABCD，∴DE⊥PA. ∵E，H分別為正方形ABCD邊AB，BC的中點(diǎn)， ∴Rt△ABH≌Rt△DAE， 則∠BAH＝∠ADE， ∴∠BAH＋∠AED＝90， 則DE⊥AH. 10分 ∵PA?平面PAH，AH?平面PAH，PA∩AH＝A， ∴DE⊥平面PAH. 12分 ∵DE?平面DEF， ∴平面PAH⊥平面DEF. 14分 構(gòu)建答題模板 [第一步]　找線線：通過(guò)三角形或四邊形的中位線，平行四邊形，等腰三角形的中線或線面、面面關(guān)系的性質(zhì)尋找線線平行或線線垂直. [第二步]　找線面：通過(guò)線線垂直或平行，利用判定定理，找線面垂直或平行；也可由面面關(guān)系的性質(zhì)找線面垂直或平行. [第三步]　找面面：通過(guò)面面關(guān)系的判定定理，尋找面面垂直或平行. [第四步]　寫步驟：嚴(yán)格按照定理中的條件規(guī)范書(shū)寫解題步驟. 1.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，CA⊥AB，M為CB1的中點(diǎn). (1)求證：AC∥平面MA1B； (2)求證：平面CAB1⊥平面MA1B. 證明　(1)如圖，設(shè)AB1與A1B的交點(diǎn)為O，連結(jié)OM. 因?yàn)樵谥比庵鵄BC－A1B1C1中，四邊形ABB1A1是平行四邊形， 所以O(shè)為AB1的中點(diǎn). 因?yàn)镸為CB1的中點(diǎn)， 所以O(shè)M是△ACB1的中位線， 所以O(shè)M∥AC. 因?yàn)镺M?平面MA1B，AC?平面MA1B， 所以AC∥平面MA1B. (2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC， 因?yàn)镃A?平面ABC，所以CA⊥AA1， 因?yàn)镃A⊥AB，AB∩AA1＝A，AB，AA1?平面ABB1A1， 所以CA⊥平面ABB1A1. 因?yàn)锳1B?平面ABB1A， 所以CA⊥A1B. 因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BB1A1中，AA1⊥AB，AB＝AA1， 所以四邊形ABB1A1是正方形， 所以A1B⊥AB1. 因?yàn)镃A，AB1?平面CAB1，CA∩AB1＝A， 所以A1B⊥平面CAB1. 因?yàn)锳1B?平面MA1B， 所以平面CAB1⊥平面MA1B. 2.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E為側(cè)棱PA的中點(diǎn)，O為AC與BD的交點(diǎn). (1)求證：OE∥平面PCD； (2)若DE⊥CD，PD＝AD，求證：平面APD⊥平面PAB. 證明　(1)因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，O為AC與BD的交點(diǎn)， 所以O(shè)為AC的中點(diǎn)， 又E為側(cè)棱PA的中點(diǎn)， 所以O(shè)E為△ACP的中位線，所以O(shè)E∥PC， 因?yàn)镻C?平面PCD，OE?平面PCD， 所以O(shè)E∥平面PCD. (2)因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形， 所以CD∥AB， 又DE⊥CD，所以DE⊥AB. 因?yàn)镻D＝AD，E為側(cè)棱PA的中點(diǎn)， 所以DE⊥AP. 又AP?平面PAB，AB?平面PAB，AP∩AB＝A， 所以DE⊥平面PAB， 又DE?平面APD， 所以平面APD⊥平面PAB. 3.(2018江蘇)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1. 求證：(1)AB∥平面A1B1C； (2)平面ABB1A1⊥平面A1BC. 證明　(1)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1. 因?yàn)锳B?平面A1B1C， A1B1?平面A1B1C， 所以AB∥平面A1B1C. (2)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中， 四邊形ABB1A1為平行四邊形. 又因?yàn)锳A1＝AB， 所以四邊形ABB1A1為菱形， 因此AB1⊥A1B. 又因?yàn)锳B1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以AB1⊥BC. 又因?yàn)锳1B∩BC＝B，A1B，BC?平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC. 因?yàn)锳B1?平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC. 4.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn).求證： (1)PE⊥BC； (2)平面PAB⊥平面PCD； (3)EF∥平面PCD. 證明　(1)因?yàn)镻A＝PD，E為AD的中點(diǎn)， 所以PE⊥AD. 因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC. (2)因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形， 所以AB⊥AD. 又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD， 又PD?平面PAD， 所以AB⊥PD. 又因?yàn)镻A⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB， 所以PD⊥平面PAB. 又PD?平面PCD， 所以平面PAB⊥平面PCD. (3)如圖，取PC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，DG. 因?yàn)镕，G分別為PB，PC的中點(diǎn)， 所以FG∥BC，F(xiàn)G＝BC， 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形， 且E為AD的中點(diǎn)， 所以DE∥BC，DE＝BC. 所以DE∥FG，DE＝FG. 所以四邊形DEFG為平行四邊形， 所以EF∥DG. 又因?yàn)镋F?平面PCD，DG?平面PCD， 所以EF∥平面PCD.