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高考專題突破一 高考中的不等式問題
題型一 含參數(shù)不等式的解法
例1解關(guān)于x的不等式x2＋ax＋1>0(a∈R)．
解 對于方程x2＋ax＋1＝0，Δ＝a2－4.
(1)當(dāng)Δ>0，即a>2或a<－2時(shí)，方程x2＋ax＋1＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1＝，x2＝，
且x1
3的解集為R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________．
答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析 依題意得，|x－1|＋|x＋m|≥|(x－1)－(x＋m)|＝|m＋1|，即函數(shù)y＝|x－1|＋|x＋m|的最小值是|m＋1|，于是有|m＋1|>3，m＋1<－3或m＋1>3，由此解得m<－4或m>2.因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
題型二 線性規(guī)劃問題
例2(2018浙江五校聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件且z＝ax＋y的最大值為16，則實(shí)數(shù)a＝________，z的最小值為________．
答案 2 1
解析 如圖，作出不等式組所表示的可行域(△ABC及其內(nèi)部區(qū)域)．目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y對應(yīng)直線ax＋y－z＝0的斜率k＝－a.
(1)當(dāng)k∈(－∞，1]，即－a≤1，a≥－1時(shí)，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，由解得A(5,6)，故z的最大值為5a＋6，即5a＋6＝16，解得a＝2.
(2)當(dāng)k∈(1，＋∞)，即－a>1，a<－1時(shí)，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)C處取得最大值，由解得C(0,1)，故z的最大值為0a＋1＝1，不符合題意．
綜上，a＝2.
數(shù)形結(jié)合知，當(dāng)直線z＝2x＋y經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，z取得最小值，zmin＝20＋1＝1.
思維升華
1．利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的基本步驟為一畫二移三求，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，理解目標(biāo)函數(shù)的意義．
2．常見的目標(biāo)函數(shù)有
(1)截距型：如z＝－2x＋y，z＝，z＝(其中M(x，y)為區(qū)域內(nèi)動點(diǎn)，P(－2,1))，等等．
(2)距離型：如z＝(x－2)2＋y2，z＝|2x－y|，等等．
(3)斜率型：如z＝，z＝，z＝，z＝＋＝，等等．
(4)二次曲線型：如z＝xy，z＝，z＝＋y2，等等．
3．解題時(shí)要注意可行解是區(qū)域的所有點(diǎn)還是區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)(2018湖州五校模擬)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則z＝2x－y的取值范圍為( )
A．(－6，－1) B．(－8，－2)
C．(－1,8) D．(－2,6)
答案 D
解析 方法一 作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示．作出直線y＝2x，平移直線，直線z＝2x－y在點(diǎn)B(－1,0)處的取最小值為－2，在點(diǎn)C(3,0)處的取最大值為6，所以z＝2x－y的取值范圍為(－2,6)．
方法二 三條直線兩兩聯(lián)立求出的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是(1,2)，(－1,0)，(3,0)，分別代入z＝2x－y求值，得0，－2,6，所以z＝2x－y的取值范圍為(－2,6)．
(2)若x，y滿足則不等式組表示的平面區(qū)域的面積為________，z＝(x＋1)2＋(y－1)2的最小值為________．
答案 30
解析 作出表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示，則不等式組表示的平面區(qū)域的面積為52＋105＝30.
z＝(x＋1)2＋(y－1)2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)M(－1,1)之間的距離的平方，數(shù)形結(jié)合易知，z＝(x＋1)2＋(y－1)2的最小值為點(diǎn)M(－1,1)到直線2x－y＝0的距離的平方，即zmin＝＝.
題型三 基本不等式的應(yīng)用
例3 (1)已知x2＋4xy－3＝0，其中x>0，y∈R，則x＋y的最小值是( )
A.B．3C．1D．2
答案 A
解析 由x2＋4xy－3＝0，得y＝，
即有x＋y＝x＋＝.
∵x>0，∴x＋≥2，即x＋y≥，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1，y＝時(shí)，x＋y取得最小值.
(2)已知a>0，b>0，c>1，且a＋b＝1，則c＋的最小值為______．
答案 4＋2
解析 ∵＝＝
＝＋＋2≥2＋2＝2＋2，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，
∴c＋≥2c＋
＝2(c－1)＋＋2
≥2＋2＝4＋2，
當(dāng)且僅當(dāng)2(c－1)＝，即c＝1＋時(shí)，等號成立．
綜上，所求最小值為4＋2.
思維升華利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值，主要思路有兩種：①對條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解．②條件變形，進(jìn)行“1”的代換求目標(biāo)函數(shù)最值．
(2)有些題目雖然不具備直接應(yīng)用基本不等式求最值的條件，但可以通過添項(xiàng)、分離常數(shù)、平方等手段使之能運(yùn)用基本不等式．常用的方法還有：拆項(xiàng)法、變系數(shù)法、湊因子法、分離常數(shù)法、換元法、整體代換法．
跟蹤訓(xùn)練3 (1)已知xy＝1，且0，
所以x－2y>0.
＝＝x－2y＋≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝＋1，y＝時(shí)等號成立．
(2)若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是________．
答案
解析 由x2＋y2＋xy＝1，得1＝(x＋y)2－xy，
∴(x＋y)2＝1＋xy≤1＋，
解得－≤x＋y≤(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)取得最大值)，∴x＋y的最大值為.
題型四 絕對值不等式的應(yīng)用
例4 (1)(2018浙江五校聯(lián)考)已知a∈R，則“a≤9”是“2|x－2|＋|5＋2x|1 B.>
C．a(chǎn)3>b3 D．a(chǎn)＋|b|>0
答案 B
解析 由a0，所以(a－1)<(b－1)，即>，故選B.
2．(2018浙江紹興一中期末)若關(guān)于x的不等式|x＋2|＋|x－a|<5有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－7,7) B．(－3,3)
C．(－7,3) D．?
答案 C
解析 不等式|x＋2|＋|x－a|<5有解，等價(jià)于(|x＋2|＋|x－a|)min<5，又因?yàn)閨x＋2|＋|x－a|≥|(x＋2)－(x－a)|＝|2＋a|，所以|2＋a|<5，－5<2＋a<5，解得－73，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
答案 D
解析 作出滿足不等式組的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示(包含邊界)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝x－2y經(jīng)過直線x＋m＝0與y－m＝0的交點(diǎn)時(shí)取得最大值，即zmax＝－m－2m＝－3m，則根據(jù)題意有－3m>3，即m<－1，故選D.
7．(2018浙江舟山中學(xué)月考)已知x，y滿足約束條件當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)在該約束條件下取到最小值2時(shí)，a2＋b2的最小值為( )
A．5B．4C.D．2
答案 B
解析 畫出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分(包含邊界)所示，可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過直線x－y－1＝0與2x－y－3＝0的交點(diǎn)A(2,1)時(shí)取得最小值，所以有2a＋b＝2.因?yàn)閍2＋b2表示原點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(a，b)的距離的平方，所以的最小值為原點(diǎn)到直線2a＋b－2＝0的距離，即()min＝＝2，所以a2＋b2的最小值是4，故選B.
8．(2018嘉興教學(xué)測試)若直線ax＋by＝1與不等式組表示的平面區(qū)域無公共點(diǎn)，則2a＋3b的取值范圍是( )
A．(－7,1) B．(－3,5)
C．(－7,3) D．R
答案 C
解析 不等式組表示的平面區(qū)域是以A(1,1)，B(－1,1)，C(0，－1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包含邊界)；
因?yàn)橹本€ax＋by＝1與不等式組表示的平面區(qū)域無公共點(diǎn)，所以a，b滿足
或故點(diǎn)(a，b)在如圖所示的三角形區(qū)域(除邊界且除原點(diǎn))內(nèi)，所以2a＋3b的取值范圍為(－7,3)，故選C.
9．(2019諸暨期末)不等式－x2＋2x＋3<0的解集為________；不等式|3－2x|<1的解集為________．
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) (1,2)
解析 依題意，不等式－x2＋2x＋3<0，即x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，因此不等式－x2＋2x＋3<0的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)；由|3－2x|<1得－1<3－2x<1,1＋3在[0,5]上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______________．
答案 (－∞，0)∪
解析 由x2－4x>＋3得x2－4x－3>，則問題等價(jià)于小于x2－4x－3在[0,5]上的最大值，又因?yàn)閤2－4x－3＝(x－2)2－7，所以當(dāng)x＝5時(shí)，x2－4x－3取得最大值2，所以<2，解得a<0或a>，所以a的取值范圍為(－∞，0)∪.
11．(2018嘉興測試)已知f(x)＝x－2，g(x)＝2x－5，則不等式|f(x)|＋|g(x)|≤2的解集為______________；|f(2x)|＋|g(x)|的最小值為________．
答案 3
解析 由題意得|f(x)|＋|g(x)|＝|x－2|＋|2x－5|＝
所以|f(x)|＋|g(x)|≤2等價(jià)于或或
解得≤x≤3，
|f(2x)|＋|g(x)|＝|2x－2|＋|2x－5|
＝
|f(2x)|＋|g(x)|的圖象如圖，則由圖象易得|f(2x)|＋|g(x)|的最小值為3.
12．(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)已知正數(shù)x，y滿足＋＝1，則＋的最大值是________．
答案
解析 設(shè)u＝，v＝，則問題轉(zhuǎn)化為“已知正數(shù)u，v滿足u＋2v＝1，求＋的最大值”．
＋＝3－
＝3－[(u＋1)＋2(v＋1)]
＝3－≤3－(5＋4)＝.
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即u＝v＝時(shí)，取等號．
13．(2018浙江金華十校聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足則xyz的最小值為________．
答案 9－32
解析 將變形為
由|xy|≤知，|1－2z|≤，
即－≤1－2z≤，解得2－≤z≤－2.
所以xyz＝(1－2z)z＝－2z2＋z在[2－，－2]上的最小值為9－32.
14．(2018寧波模擬)若6x2＋4y2＋6xy＝1，x，y∈R，則x2－y2的最大值為________．
答案
解析 方法一 設(shè)m＝x＋y，n＝x－y，則問題轉(zhuǎn)化為“已知4m2＋mn＋n2＝1，求mn的最大值”．
由基本不等式，知1＝mn＋4m2＋n2≥mn＋4|mn|，所以－≤mn≤，當(dāng)且僅當(dāng)n＝2m，即x＝－3y時(shí)，取得最大值.
方法二 (齊次化處理)顯然要使得目標(biāo)函數(shù)取到最大值，x≠0.
令z＝x2－y2＝
＝，設(shè)t＝，
則z＝，則(4z＋1)t2＋6zt＋6z－1＝0對t∈R有解．
當(dāng)z＝－時(shí)，t＝－.
當(dāng)z≠－時(shí)，Δ＝36z2－4(4z＋1)(6z－1)≥0，
解得－≤z≤.當(dāng)t＝－＝－時(shí)取最大值．
方法三 1＝6x2＋4y2＋6y≥6x2＋4y2－6＝5x2－5y2，所以x2－y2≤，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝－3y時(shí)取等號．
15．(2019浙江嘉興一中模擬)已知點(diǎn)P是平面區(qū)域M：內(nèi)的任意一點(diǎn)，則P到平面區(qū)域M的邊界的距離之和的取值范圍為________．
答案
解析 設(shè)平面區(qū)域M：為△ABO區(qū)域(包含邊界)，由題意，|AO|＝1，|BO|＝，|AB|＝2，P到平面區(qū)域M的邊界的距離之和d就是P到△ABO三邊的距離之和，設(shè)P到邊界AO，BO，AB的距離分別為a，b，c，則P(b，a)，由題意0≤a≤，0≤b≤1,0≤c＝(－a－b)≤，所以d＝a＋b＋c＝[a＋(2－)b＋]，從而d≥，當(dāng)a＝b＝0時(shí)取等號．
如圖，P為可行域內(nèi)任意一點(diǎn)，過P作PE⊥x軸，PF⊥y軸，PP′⊥AB，過P′作P′E′⊥x軸，P′F′⊥y軸，則有PE＋PF＋PP′≤P′F′＋P′E′，由P(b，a)，
可得P′，
所以d＝a＋b＋c≤＋＝，又0≤a≤，0≤b≤1，則d≤，當(dāng)a＝，b＝0時(shí)取等號，因此d的取值范圍為.
16．(2018浙江“七彩陽光”新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)若正數(shù)a，b，c滿足＋＝＋1，則的最小值是________．
答案
解析 由a，b，c為正數(shù)，且＋＝＋1得＋＝＋＋1，設(shè)m＝，n＝，則有m>0，n>0，上式轉(zhuǎn)化為＋＝m＋n＋1，即＝m＋n＋1，又由基本不等式得m2＋n2≥，mn≤，所以m＋n＋1＝≥，令t＝m＋n，則t>0，上式轉(zhuǎn)化為t＋1≥，即t2－t－4≥0，解得t≥，所以t＝m＋n＝＋＝的最小值為.
（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第二章 不等式 專題突破一 高考中的不等式問題講義（含解析）.docx
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