（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第一篇 小考點(diǎn)搶先練基礎(chǔ)題不失分 第5練 不等式試題.docx

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第5練　不等式 [明晰考情]　1.命題角度：不等式的性質(zhì)和線性規(guī)劃在高考中一直是命題的熱點(diǎn).2.題目難度：中高檔難度． 考點(diǎn)一　不等式的性質(zhì)與解法 要點(diǎn)重組　不等式的常用性質(zhì) (1)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd. (2)如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)． (3)如果a＞b＞0，那么＞(n∈N，n≥2)． 方法技巧　(1)解一元二次不等式的步驟 一化(二次項(xiàng)系數(shù)化為正)，二判(看判別式Δ)，三解(解對(duì)應(yīng)的一元二次方程)，四寫(根據(jù)“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集)． (2)可化為＜0(或＞0)型的分式不等式，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解． (3)指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式可利用函數(shù)單調(diào)性求解． 1．若a，b，c為實(shí)數(shù)，則下列命題為真命題的是(　　) A．若a＞b，則ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2 C．若a＜b＜0，則＜ D．若a＜b＜0，則＞ 答案　B 解析　B中，∵a＜b＜0， ∴a2－ab＝a(a－b)＞0，ab－b2＝b(a－b)＞0. 故a2＞ab＞b2，B正確． 2．(2018全國(guó)Ⅲ)設(shè)a＝log0.20.3，b＝log20.3，則(　　) A．a(chǎn)＋b＜ab＜0 B．a(chǎn)b＜a＋b＜0 C．a(chǎn)＋b＜0＜ab D．a(chǎn)b＜0＜a＋b 答案　B 解析　∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0， b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0. ∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4， ∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0， ∴0＜＜1，∴ab＜a＋b＜0. 3．若a＞b＞0，且ab＝1，則下列不等式成立的是(　　) A．a(chǎn)＋＜＜log2(a＋b) B.＜log2(a＋b)＜a＋ C．a(chǎn)＋＜log2(a＋b)＜ D．log2(a＋b)＜a＋＜ 答案　B 解析　方法一　∵a＞b＞0，ab＝1， ∴l(xiāng)og2(a＋b)＞log2(2)＝1. ∵＝＝a－12－a，令f(a)＝a－12－a， 又∵b＝，a＞b＞0，∴a＞，解得a＞1. ∴f′(a)＝－a－22－a－a－12－aln2 ＝－a－22－a(1＋aln2)＜0， ∴f(a)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減． ∴f(a)＜f(1)，即＜. ∵a＋＝a＋a＝2a＞a＋b＞log2(a＋b)， ∴＜log2(a＋b)＜a＋. 故選B. 方法二　∵a＞b＞0，ab＝1，∴取a＝2，b＝， 此時(shí)a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log25－1≈1.3， ∴＜log2(a＋b)＜a＋. 故選B. 4．關(guān)于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由條件知，x1，x2為方程x2－2ax－8a2＝0的兩根，則x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2， 故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝，故選A. 5．若關(guān)于x的不等式ax－b＞0的解集是(－∞，－2)，則關(guān)于x的不等式＞0的解集為_(kāi)___________． 答案　{x|x＜0或1＜x＜2} 解析　∵關(guān)于x的不等式ax－b＞0的解集是(－∞，－2)， ∴a＜0，＝－2，∴b＝－2a， ∴＝＞0，即＜0， 解得x＜0或1＜x＜2. 考點(diǎn)二　基本不等式 要點(diǎn)重組　基本不等式：≥(a>0，b>0) (1)利用基本不等式求最值的條件：一正二定三相等． (2)求最值時(shí)若連續(xù)利用兩次基本不等式，必須保證兩次等號(hào)成立的條件一致． 6．若正數(shù)x，y滿足4x＋y－1＝0，則的最小值為(　　) A．12 B．10 C．9 D．8 答案　C 解析　由4x＋y－1＝0，得4x＋y＝1， 則＝＝ ＝5＋＋≥5＋2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝時(shí)，等號(hào)成立， 所以的最小值為9，故選C. 7．若正數(shù)x，y滿足x2＋6xy－1＝0，則x＋2y的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由x2＋6xy－1＝0，可得x2＋6xy＝1， 即x(x＋6y)＝1. 因?yàn)閤，y都是正數(shù)，所以x＋6y＞0. 故2x＋(x＋6y)≥2＝2， 即3x＋6y≥2， 故x＋2y≥(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝x＋6y，即x＝6y>0時(shí)等號(hào)成立)．故選A. 8.如圖，在Rt△ABC中，P是斜邊BC上一點(diǎn)，且滿足＝，點(diǎn)M，N在過(guò)點(diǎn)P的直線上，若＝λ，＝μ (λ，μ>0)，則λ＋2μ的最小值為(　　) A．2 B. C．3 D. 答案　B 解析?。剑剑? ＝＋(－)＝＋＝＋， 因?yàn)镸，N，P三點(diǎn)共線，所以＋＝1， 因此λ＋2μ＝(λ＋2μ) ＝＋＋≥＋2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)λ＝，μ＝時(shí)“＝”成立， 故選B. 9．若a，b∈R，ab>0，則的最小值為_(kāi)_______． 答案　4 解析　∵a，b∈R，ab＞0， ∴≥＝4ab＋≥2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)即且a，b同號(hào)時(shí)取得等號(hào)． 故的最小值為4. 10．已知a＞0，b＞0，c＞1且a＋b＝1，則c＋的最小值為_(kāi)_______． 答案　4＋2 解析?。?＝＝＋≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)b＝a時(shí)取等號(hào)， 所以c＋ ≥2(c－1)＋＋2 ≥2＋2＝4＋2， 當(dāng)且僅當(dāng)2(c－1)＝， 即c＝1＋時(shí)取等號(hào)， 故c＋的最小值是4＋2. 考點(diǎn)三　簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 方法技巧　(1)求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟：一畫二移三求． (2)常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù) ①截距型：z＝ax＋by； ②距離型：z＝(x－a)2＋(y－b)2； ③斜率型：z＝. 11．(2018天津)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋5y的最大值為(　　) A．6B．19C．21D．45 答案　C 解析　畫出可行域如圖中陰影部分所示(含邊界)，由z＝3x＋5y，得y＝－x＋. 設(shè)直線l0為y＝－x，平移直線l0，當(dāng)直線y＝－x＋過(guò)點(diǎn)P(2,3)時(shí)，z取得最大值，zmax＝32＋53＝21.故選C. 12．設(shè)x，y滿足約束條件則z＝|x＋3y|的最大值為(　　) A．15B．13C．3D．2 答案　A 解析　畫出約束條件所表示的可行域，如圖(陰影部分含邊界)所示， 設(shè)z1＝x＋3y，可化為y＝－x＋， 當(dāng)直線y＝－x＋經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)， 直線在y軸上的截距最大，此時(shí)z1取得最大值， 當(dāng)直線y＝－x＋經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)， 直線在y軸上的截距最小，此時(shí)z1取得最小值， 由解得A(3,4)， 此時(shí)最大值為z1＝3＋34＝15； 由解得B(2,0)， 此時(shí)最小值為z1＝2＋30＝2， 所以目標(biāo)函數(shù)z＝|x＋3y|的最大值為15. 13．若變量x，y滿足則x2＋y2的最大值是(　　) A．4B．9C．10D．12 答案　C 解析　滿足條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)，x2＋y2是可行域上動(dòng)點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)(0,0)距離的平方，顯然，當(dāng)x＝3，y＝－1時(shí)，x2＋y2取最大值，最大值為10.故選C. 14．(2018浙江省金華市浦江縣高考適應(yīng)性考試)已知實(shí)數(shù)x，y滿足則此平面區(qū)域的面積為_(kāi)_____，2x＋y的最大值為_(kāi)_______． 答案　1　2 解析　它表示的可行域如圖陰影部分所示(含邊界)． 則其圍成的平面區(qū)域的面積為21＝1；當(dāng)x＝1，y＝0時(shí)，2x＋y取得最大值2. 15．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則z＝的最大值是________． 答案　1 解析　滿足條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)所示． z＝表示點(diǎn)(x，y)與(0,0)連線的斜率， 由可行域可知，最大值為kOA＝＝1. 考點(diǎn)四　絕對(duì)值不等式 要點(diǎn)重組　(1)絕對(duì)值三角不等式 ①|(zhì)a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)等號(hào)成立； ②|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)等號(hào)成立． (2)|ax＋b|≤c(c＞0)?－c≤ax＋b≤c. |ax＋b|≥c(c＞0)?ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 16．不等式－＞－的解集為(　　) A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－∞，－2) C．(1，＋∞) D．(－2,1) 答案　D 解析　由－＞－，可得＜0， ∴－2＜x＜1. 17．已知x，y∈R，下列不等式成立的是(　　) A．若|x－y2|＋|x2＋y|≤1，則2＋2≤ B．若|x－y2|＋|x2－y|≤1，則2＋2≤ C．若|x＋y2|＋|x2－y|≤1，則2＋2≤ D．若|x＋y2|＋|x2＋y|≤1，則2＋2≤ 答案　B 解析　因?yàn)閨x－y2|＋|x2－y|≥|x2－x＋y2－y|＝≥2＋2－， 所以2＋2≤，因此B正確； 取x＝，y＝－，此時(shí)|x－y2|＋|x2＋y|≤1， 但2＋2＞，因此A錯(cuò)誤； 取x＝，y＝，此時(shí)|x＋y2|＋|x2－y|≤1， 但2＋2＞，因此C錯(cuò)誤； 取x＝－，y＝，此時(shí)|x＋y2|＋|x2＋y|≤1， 但2＋2＞，因此D錯(cuò)誤，故選B. 18．已知f(x)＝x－2，g(x)＝2x－5，則不等式|f(x)|＋|g(x)|≤2的解集為_(kāi)_______；|f(2x)|＋|g(x)|的最小值為_(kāi)_______． 答案　　3 解析　由題意得|f(x)|＋|g(x)|＝|x－2|＋|2x－5|＝ 所以|f(x)|＋|g(x)|≤2等價(jià)于 或或解得≤x≤3. |f(2x)|＋|g(x)|＝|2x－2|＋|2x－5|＝ |f(2x)|＋|g(x)|的圖象如圖，則由圖象易得|f(2x)|＋|g(x)|的最小值為3. 19．已知函數(shù)f(x)＝|x2＋ax＋b|在[0，c]內(nèi)的最大值為M(a，b∈R，c＞0為常數(shù))，且存在實(shí)數(shù)a，b，使得M取最小值2，則a＋b＋c＝________. 答案　2 解析　令x＝，∵0≤x≤c，c＞0，∴－1≤t≤1， f(x)＝|x2＋ax＋b|＝ ＝ ≤＋＋. ∵函數(shù)f(x)＝|x2＋ax＋b|在區(qū)間[0，c]上的最大值為M， ∴M＝＋＋， 又∵存在實(shí)數(shù)a，b，使得M取最小值2， 而≥0，≥0， ∴當(dāng)＝0且＝0時(shí)，M有最小值＝2， 又c＞0，解得c＝2，a＝－2，b＝2， ∴a＋b＋c＝2. 1．若不等式(－2)na－3n－1－(－2)n＜0對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要滿足2n(1－a)＜3n－1恒成立， 即1－a＜n恒成立，只需1－a＜1， 解得a＞； 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要滿足2n(a－1)＜3n－1恒成立， 即a－1＜n恒成立，只需a－1＜2， 解得a＜. 綜上，＜a＜，故選D. 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x－1|，若不等式f(x)≥對(duì)任意實(shí)數(shù)a≠0恒成立，則x的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1]∪[3，＋∞) B．(－∞，－1]∪[2，＋∞) C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 答案　B 解析　不等式f(x)≥對(duì)任意實(shí)數(shù)a≠0恒成立，僅需f(x)≥max. 因?yàn)椋剑?， 所以f(x)≥3，即|2x－1|≥3， 即2x－1≥3或2x－1≤－3，即x≥2或x≤－1，故選B. 3．已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則(x－3)2＋(y＋2)2的最小值為_(kāi)_______． 答案　13 解析　畫出不等式組表示的平面區(qū)域(圖略)，易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與(3，－2)兩點(diǎn)間距離的平方，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)(x，y)為直線x＋y＝2與y＝1的交點(diǎn)(1,1)時(shí)，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值13. 4．已知x，y∈R且滿足x2＋2xy＋4y2＝6，則z＝x2＋4y2的取值范圍為_(kāi)_______． 答案　[4,12] 解析　∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤， ∴6－(x2＋4y2)≤， ∴x2＋4y2≥4(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取等號(hào))． 又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0， 即2xy≥－6， ∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12(當(dāng)且僅當(dāng)x＝－2y時(shí)取等號(hào))． 綜上可知，4≤x2＋4y2≤12. 解題秘籍　(1)不等式恒成立或有解問(wèn)題能分離參數(shù)的，可先分離參數(shù)，然后通過(guò)求最值解決． (2)利用基本不等式求最值時(shí)要靈活運(yùn)用兩個(gè)公式： ①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)； ②a＋b≥2 (a>0，b>0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．注意公式的變形使用和等號(hào)成立的條件． (3)理解線性規(guī)劃問(wèn)題中目標(biāo)函數(shù)的實(shí)際意義． (4)含絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求含絕對(duì)值函數(shù)的最值或利用絕對(duì)值三角不等式求最值． 1．(2016浙江)已知a，b＞0，且a≠1，b≠1，若logab＞1，則(　　) A．(a－1)(b－1)＜0 B．(a－1)(a－b)＞0 C．(b－1)(b－a)＜0 D．(b－1)(b－a)＞0 答案　D 解析　取a＝2，b＝4，則(a－1)(b－1)＝3＞0，排除A；則(a－1)(a－b)＝－2＜0，排除B；(b－1)(b－a)＝6＞0，排除C，故選D. 2．設(shè)實(shí)數(shù)a∈(1,2)，關(guān)于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集為(　　) A．(3a，a2＋2) B．(a2＋2,3a) C．(3,4) D．(3,6) 答案　B 解析　∵x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0，∴[x－(a2＋2)](x－3a)<0，又∵a∈(1,2)，∴a2＋2<3a，∴a2＋20，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影部分所示(含邊界)． 則A(a，a)，B(a，－a)，所以平面區(qū)域的面積S＝a2a＝9，解得a＝3(舍負(fù))，此時(shí)A(3,3)，B(3，－3)， 由圖可得當(dāng)z＝2x＋y過(guò)點(diǎn)A(3,3)時(shí)，z＝2x＋y取得最大值9，故選C. 5．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足＋＝3，則(a＋1)(b＋2)的最小值是(　　) A.B.C.D．6 答案　B 解析　∵＋＝3，∴2a＋b＝3ab， 又2a＋b≥2，∴2≤3ab，得ab≥， 因此(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝4ab＋2≥4＋2＝，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝b＝時(shí)，等號(hào)成立． 6．設(shè)x，y∈R，下列不等式成立的是(　　) A．1＋|x＋y|＋|xy|≥|x|＋|y| B．1＋2|x＋y|≥|x|＋|y| C．1＋2|xy|≥|x|＋|y| D．|x＋y|＋2|xy|≥|x|＋|y| 答案　A 解析　當(dāng)x＝1，y＝－1時(shí)， 1＋2|x＋y|＜|x|＋|y|，故B錯(cuò)誤； 當(dāng)x＝4，y＝時(shí)， 1＋2|xy|＜|x|＋|y|，故C錯(cuò)誤； 當(dāng)x＝，y＝－時(shí)， |x＋y|＋2|xy|＜|x|＋|y|，故D錯(cuò)誤； 故選A. 7．實(shí)數(shù)x，y滿足且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，則a的值是(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　在直角坐標(biāo)系中作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分(包括邊界)所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y經(jīng)過(guò)可行域中的點(diǎn)B(1,1)時(shí)有最大值3，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y經(jīng)過(guò)可行域中的點(diǎn)A(a，a)時(shí)有最小值3a，由3＝43a，得a＝. 8．若對(duì)任意的x，y∈R，不等式x2＋y2＋xy≥3(x＋y－a)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1] 答案　B 解析　不等式x2＋y2＋xy≥3(x＋y－a)對(duì)任意的x，y∈R恒成立等價(jià)于不等式x2＋(y－3)x＋y2－3y＋3a≥0對(duì)任意的x，y∈R恒成立，所以Δ＝(y－3)2－4(y2－3y＋3a)＝－3y2＋6y＋9－12a＝－3(y－1)2＋12(1－a)≤0對(duì)任意的y∈R恒成立，所以1－a≤0，即a≥1，故選B. 9．設(shè)函數(shù)f(x)＝，則不等式f(x)＞－f的解集是________． 答案　 解析　函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1)且在(－1,1)上單調(diào)遞增，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＞－f?f(x)＞f?－＜x＜1， 解得x∈. 10．(2018諸暨模擬)若x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋y的最大值為_(kāi)_____，最小值為_(kāi)_____． 答案　6?。?0 解析　作出x，y滿足約束條件的可行域如圖陰影部分(含邊界)所示， 由z＝3x＋y知，y＝－3x＋z，所以動(dòng)直線y＝－3x＋z在y軸上的截距z取得最大值時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值． 由可行域得B(－2，－4)，A(2,0)，結(jié)合可行域可知當(dāng)動(dòng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值z(mì)＝－32－4＝－10. 目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)可行域的點(diǎn)A時(shí)，取得最大值6. 11．(2018紹興模擬)若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x＋2y＋3z＝1，x2＋4y2＋9z2＝1，則實(shí)數(shù)z的最小值是________． 答案　－ 解析　x＋2y＋3z＝1，則x＝1－2y－3z，據(jù)此可得(1－2y－3z)2＋4y2＋9z2＝1， 整理可得4y2＋(6z－2)y＋(9z2－3z)＝0， 滿足題意時(shí)上述關(guān)于y的一元二次方程有實(shí)數(shù)根， 則Δ＝(6z－2)2－16(9z2－3z)≥0， 整理可得(3z－1)(9z＋1)≤0，則－≤z≤. 則實(shí)數(shù)z的最小值是－. 12．已知a>0，b>0，則＋的最大值是________． 答案　 解析　∵＋＝， ∴＝. 令＋＝t，則＝. ∵a>0，b>0，∴t≥2， ∴＝. 又∵y＝t＋在上單調(diào)遞增， ∴min＝2＋＝， ∴＋的最大值是8＝.