（浙江專用）2019高考數學二輪復習精準提分 第一篇 小考點搶先練基礎題不失分 第5練 不等式試題.docx
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第5練 不等式 [明晰考情] 1.命題角度：不等式的性質和線性規(guī)劃在高考中一直是命題的熱點.2.題目難度：中高檔難度． 考點一 不等式的性質與解法 要點重組 不等式的常用性質 (1)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd. (2)如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)． (3)如果a＞b＞0，那么＞(n∈N，n≥2)． 方法技巧 (1)解一元二次不等式的步驟 一化(二次項系數化為正)，二判(看判別式Δ)，三解(解對應的一元二次方程)，四寫(根據“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集)． (2)可化為＜0(或＞0)型的分式不等式，轉化為一元二次不等式求解． (3)指數不等式、對數不等式可利用函數單調性求解． 1．若a，b，c為實數，則下列命題為真命題的是( ) A．若a＞b，則ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2 C．若a＜b＜0，則＜ D．若a＜b＜0，則＞ 答案 B 解析 B中，∵a＜b＜0， ∴a2－ab＝a(a－b)＞0，ab－b2＝b(a－b)＞0. 故a2＞ab＞b2，B正確． 2．(2018全國Ⅲ)設a＝log0.20.3，b＝log20.3，則( ) A．a＋b＜ab＜0 B．ab＜a＋b＜0 C．a＋b＜0＜ab D．ab＜0＜a＋b 答案 B 解析 ∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0， b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0. ∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4， ∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0， ∴0＜＜1，∴ab＜a＋b＜0. 3．若a＞b＞0，且ab＝1，則下列不等式成立的是( ) A．a＋＜＜log2(a＋b) B.＜log2(a＋b)＜a＋ C．a＋＜log2(a＋b)＜ D．log2(a＋b)＜a＋＜ 答案 B 解析 方法一 ∵a＞b＞0，ab＝1， ∴l(xiāng)og2(a＋b)＞log2(2)＝1. ∵＝＝a－12－a，令f(a)＝a－12－a， 又∵b＝，a＞b＞0，∴a＞，解得a＞1. ∴f′(a)＝－a－22－a－a－12－aln2 ＝－a－22－a(1＋aln2)＜0， ∴f(a)在(1，＋∞)上單調遞減． ∴f(a)＜f(1)，即＜. ∵a＋＝a＋a＝2a＞a＋b＞log2(a＋b)， ∴＜log2(a＋b)＜a＋. 故選B. 方法二 ∵a＞b＞0，ab＝1，∴取a＝2，b＝， 此時a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log25－1≈1.3， ∴＜log2(a＋b)＜a＋. 故選B. 4．關于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a等于( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 由條件知，x1，x2為方程x2－2ax－8a2＝0的兩根，則x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2， 故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝，故選A. 5．若關于x的不等式ax－b＞0的解集是(－∞，－2)，則關于x的不等式＞0的解集為____________． 答案 {x|x＜0或1＜x＜2} 解析 ∵關于x的不等式ax－b＞0的解集是(－∞，－2)， ∴a＜0，＝－2，∴b＝－2a， ∴＝＞0，即＜0， 解得x＜0或1＜x＜2. 考點二 基本不等式 要點重組 基本不等式：≥(a>0，b>0) (1)利用基本不等式求最值的條件：一正二定三相等． (2)求最值時若連續(xù)利用兩次基本不等式，必須保證兩次等號成立的條件一致． 6．若正數x，y滿足4x＋y－1＝0，則的最小值為( ) A．12 B．10 C．9 D．8 答案 C 解析 由4x＋y－1＝0，得4x＋y＝1， 則＝＝ ＝5＋＋≥5＋2＝9， 當且僅當x＝，y＝時，等號成立， 所以的最小值為9，故選C. 7．若正數x，y滿足x2＋6xy－1＝0，則x＋2y的最小值是( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 由x2＋6xy－1＝0，可得x2＋6xy＝1， 即x(x＋6y)＝1. 因為x，y都是正數，所以x＋6y＞0. 故2x＋(x＋6y)≥2＝2， 即3x＋6y≥2， 故x＋2y≥(當且僅當2x＝x＋6y，即x＝6y>0時等號成立)．故選A. 8.如圖，在Rt△ABC中，P是斜邊BC上一點，且滿足＝，點M，N在過點P的直線上，若＝λ，＝μ (λ，μ>0)，則λ＋2μ的最小值為( ) A．2 B. C．3 D. 答案 B 解析?。剑剑? ＝＋(－)＝＋＝＋， 因為M，N，P三點共線，所以＋＝1， 因此λ＋2μ＝(λ＋2μ) ＝＋＋≥＋2＝， 當且僅當λ＝，μ＝時“＝”成立， 故選B. 9．若a，b∈R，ab>0，則的最小值為________． 答案 4 解析 ∵a，b∈R，ab＞0， ∴≥＝4ab＋≥2＝4， 當且僅當即且a，b同號時取得等號． 故的最小值為4. 10．已知a＞0，b＞0，c＞1且a＋b＝1，則c＋的最小值為________． 答案 4＋2 解析?。?＝＝＋≥2， 當且僅當b＝a時取等號， 所以c＋ ≥2(c－1)＋＋2 ≥2＋2＝4＋2， 當且僅當2(c－1)＝， 即c＝1＋時取等號， 故c＋的最小值是4＋2. 考點三 簡單的線性規(guī)劃問題 方法技巧 (1)求目標函數最值的一般步驟：一畫二移三求． (2)常見的目標函數 ①截距型：z＝ax＋by； ②距離型：z＝(x－a)2＋(y－b)2； ③斜率型：z＝. 11．(2018天津)設變量x，y滿足約束條件則目標函數z＝3x＋5y的最大值為( ) A．6B．19C．21D．45 答案 C 解析 畫出可行域如圖中陰影部分所示(含邊界)，由z＝3x＋5y，得y＝－x＋. 設直線l0為y＝－x，平移直線l0，當直線y＝－x＋過點P(2,3)時，z取得最大值，zmax＝32＋53＝21.故選C. 12．設x，y滿足約束條件則z＝|x＋3y|的最大值為( ) A．15B．13C．3D．2 答案 A 解析 畫出約束條件所表示的可行域，如圖(陰影部分含邊界)所示， 設z1＝x＋3y，可化為y＝－x＋， 當直線y＝－x＋經過點A時， 直線在y軸上的截距最大，此時z1取得最大值， 當直線y＝－x＋經過點B時， 直線在y軸上的截距最小，此時z1取得最小值， 由解得A(3,4)， 此時最大值為z1＝3＋34＝15； 由解得B(2,0)， 此時最小值為z1＝2＋30＝2， 所以目標函數z＝|x＋3y|的最大值為15. 13．若變量x，y滿足則x2＋y2的最大值是( ) A．4B．9C．10D．12 答案 C 解析 滿足條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)，x2＋y2是可行域上動點(x，y)到原點(0,0)距離的平方，顯然，當x＝3，y＝－1時，x2＋y2取最大值，最大值為10.故選C. 14．(2018浙江省金華市浦江縣高考適應性考試)已知實數x，y滿足則此平面區(qū)域的面積為______，2x＋y的最大值為________． 答案 1 2 解析 它表示的可行域如圖陰影部分所示(含邊界)． 則其圍成的平面區(qū)域的面積為21＝1；當x＝1，y＝0時，2x＋y取得最大值2. 15．設實數x，y滿足約束條件則z＝的最大值是________． 答案 1 解析 滿足條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)所示． z＝表示點(x，y)與(0,0)連線的斜率， 由可行域可知，最大值為kOA＝＝1. 考點四 絕對值不等式 要點重組 (1)絕對值三角不等式 ①|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當ab≥0時等號成立； ②|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當且僅當(a－b)(b－c)≥0時等號成立． (2)|ax＋b|≤c(c＞0)?－c≤ax＋b≤c. |ax＋b|≥c(c＞0)?ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 16．不等式－＞－的解集為( ) A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－∞，－2) C．(1，＋∞) D．(－2,1) 答案 D 解析 由－＞－，可得＜0， ∴－2＜x＜1. 17．已知x，y∈R，下列不等式成立的是( ) A．若|x－y2|＋|x2＋y|≤1，則2＋2≤ B．若|x－y2|＋|x2－y|≤1，則2＋2≤ C．若|x＋y2|＋|x2－y|≤1，則2＋2≤ D．若|x＋y2|＋|x2＋y|≤1，則2＋2≤ 答案 B 解析 因為|x－y2|＋|x2－y|≥|x2－x＋y2－y|＝≥2＋2－， 所以2＋2≤，因此B正確； 取x＝，y＝－，此時|x－y2|＋|x2＋y|≤1， 但2＋2＞，因此A錯誤； 取x＝，y＝，此時|x＋y2|＋|x2－y|≤1， 但2＋2＞，因此C錯誤； 取x＝－，y＝，此時|x＋y2|＋|x2＋y|≤1， 但2＋2＞，因此D錯誤，故選B. 18．已知f(x)＝x－2，g(x)＝2x－5，則不等式|f(x)|＋|g(x)|≤2的解集為________；|f(2x)|＋|g(x)|的最小值為________． 答案 3 解析 由題意得|f(x)|＋|g(x)|＝|x－2|＋|2x－5|＝ 所以|f(x)|＋|g(x)|≤2等價于 或或解得≤x≤3. |f(2x)|＋|g(x)|＝|2x－2|＋|2x－5|＝ |f(2x)|＋|g(x)|的圖象如圖，則由圖象易得|f(2x)|＋|g(x)|的最小值為3. 19．已知函數f(x)＝|x2＋ax＋b|在[0，c]內的最大值為M(a，b∈R，c＞0為常數)，且存在實數a，b，使得M取最小值2，則a＋b＋c＝________. 答案 2 解析 令x＝，∵0≤x≤c，c＞0，∴－1≤t≤1， f(x)＝|x2＋ax＋b|＝ ＝ ≤＋＋. ∵函數f(x)＝|x2＋ax＋b|在區(qū)間[0，c]上的最大值為M， ∴M＝＋＋， 又∵存在實數a，b，使得M取最小值2， 而≥0，≥0， ∴當＝0且＝0時，M有最小值＝2， 又c＞0，解得c＝2，a＝－2，b＝2， ∴a＋b＋c＝2. 1．若不等式(－2)na－3n－1－(－2)n＜0對任意正整數n恒成立，則實數a的取值范圍是( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 當n為奇數時，要滿足2n(1－a)＜3n－1恒成立， 即1－a＜n恒成立，只需1－a＜1， 解得a＞； 當n為偶數時，要滿足2n(a－1)＜3n－1恒成立， 即a－1＜n恒成立，只需a－1＜2， 解得a＜. 綜上，＜a＜，故選D. 2．設函數f(x)＝|2x－1|，若不等式f(x)≥對任意實數a≠0恒成立，則x的取值范圍是( ) A．(－∞，－1]∪[3，＋∞) B．(－∞，－1]∪[2，＋∞) C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 答案 B 解析 不等式f(x)≥對任意實數a≠0恒成立，僅需f(x)≥max. 因為＝－≤3， 所以f(x)≥3，即|2x－1|≥3， 即2x－1≥3或2x－1≤－3，即x≥2或x≤－1，故選B. 3．已知實數x，y滿足不等式組則(x－3)2＋(y＋2)2的最小值為________． 答案 13 解析 畫出不等式組表示的平面區(qū)域(圖略)，易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域內的點(x，y)與(3，－2)兩點間距離的平方，通過數形結合可知，當(x，y)為直線x＋y＝2與y＝1的交點(1,1)時，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值13. 4．已知x，y∈R且滿足x2＋2xy＋4y2＝6，則z＝x2＋4y2的取值范圍為________． 答案 [4,12] 解析 ∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤， ∴6－(x2＋4y2)≤， ∴x2＋4y2≥4(當且僅當x＝2y時取等號)． 又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0， 即2xy≥－6， ∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12(當且僅當x＝－2y時取等號)． 綜上可知，4≤x2＋4y2≤12. 解題秘籍 (1)不等式恒成立或有解問題能分離參數的，可先分離參數，然后通過求最值解決． (2)利用基本不等式求最值時要靈活運用兩個公式： ①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號； ②a＋b≥2 (a>0，b>0)，當且僅當a＝b時取等號．注意公式的變形使用和等號成立的條件． (3)理解線性規(guī)劃問題中目標函數的實際意義． (4)含絕對值不等式的恒成立問題可以轉化為求含絕對值函數的最值或利用絕對值三角不等式求最值． 1．(2016浙江)已知a，b＞0，且a≠1，b≠1，若logab＞1，則( ) A．(a－1)(b－1)＜0 B．(a－1)(a－b)＞0 C．(b－1)(b－a)＜0 D．(b－1)(b－a)＞0 答案 D 解析 取a＝2，b＝4，則(a－1)(b－1)＝3＞0，排除A；則(a－1)(a－b)＝－2＜0，排除B；(b－1)(b－a)＝6＞0，排除C，故選D. 2．設實數a∈(1,2)，關于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集為( ) A．(3a，a2＋2) B．(a2＋2,3a) C．(3,4) D．(3,6) 答案 B 解析 ∵x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0，∴[x－(a2＋2)](x－3a)<0，又∵a∈(1,2)，∴a2＋2<3a，∴a2＋2
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