（通用版）2020高考數(shù)學一輪復習 第三講 解題的化歸目標—形變題變講義 理.doc

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第三講解題的化歸目標——形變題變 上一講提到解題的指導思想是“化歸尋舊”，但怎樣對題目進行化歸，化歸到什么形式？這就是本講所要解決的兩個重點問題——形變化歸與題變化歸． 一、形變化歸 在數(shù)學問題的解答過程中，把問題的某一項信息或一組信息進行形式上的加工處理，使這項信息或這組信息與我們認知結(jié)構(gòu)中(尤其是熟悉結(jié)構(gòu))的某項知識經(jīng)驗在形式上相近或相同，讓問題由陌生變得熟悉，便于解題者思考和聯(lián)想，為解題者擬訂解題計劃奠基鋪路．這種處理信息的操作規(guī)律我們稱為形變化歸．如恒等變形、因式分解、配方、裂項、添項、換元、分類、移圖、補形、數(shù)學語言化等解題方法都是形變化歸在解題實踐中的具體體現(xiàn)．從根本上說，這些解題手段沒有改變問題信息的實質(zhì)和內(nèi)容，只是使信息的表述形式發(fā)生了變化． [例1]　在數(shù)列{an}中，已知a2＝15，an＋1＝2an＋3n(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項公式． [解]　當n＝1時，由已知，得a2＝2a1＋3，即15＝2a1＋3，解得a1＝6. 由an＋1＝2an＋3n，① 兩邊同時除以3n＋1，得＝2＋， 即＝＋.② 設(shè)bn＝，則②式變?yōu)閎n＋1＝bn＋.③ 設(shè)bn＋1＋m＝(bn＋m)， 即bn＋1＝bn－， 令－＝，解得m＝－1. 則bn＋1－1＝(bn－1)，④ 所以數(shù)列{bn－1}是一個首項為b1－1＝－1＝－1＝1，公比為q＝的等比數(shù)列， 故bn－1＝1n－1，即bn＝1＋n－1. 由bn＝，得an＝3nbn＝3n＝3n＋32n－1(n∈N*)．⑤ [反思領(lǐng)悟]　此題解答中從①到②等式兩邊同除以3n＋1，從②到③是換元；從③到④是待定系數(shù)法；從④到⑤又是換元，這些恒等變形手段沒有改變問題信息的實質(zhì)，只是改變了信息的表述形式，但是，這種變形化歸手段使信息清晰化、簡單化，將一個復雜的遞推數(shù)列{an}轉(zhuǎn)化為一個簡單的等比數(shù)列{bn－1}． [例2]　已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，求證： ＋＋≥36.① [證明]　＋＋＝(x＋y＋z) ＝14＋＋＋② ≥14＋4＋6＋12＝36. [反思領(lǐng)悟]　此題是一個條件極值問題，信息①：x，y，z∈R＋；信息②：x＋y＋z＝1；信息③：關(guān)于x，y，z的不等關(guān)系＋＋≥36.通過添項和并項手段將式①變?yōu)槭舰?，問題在表述形式上發(fā)生了變化，雖然仍是一個條件極值問題，但解題思路已豁然開朗，這就是形變化歸的效果． 二、題變化歸 在數(shù)學習題的解答過程中，把數(shù)學問題的某一項信息或一組信息進行加工處理，使問題信息的形式得以更新，信息的內(nèi)涵得到挖掘和拓展，使這項信息或這組信息與我們熟知的某項知識經(jīng)驗在內(nèi)容上相近或相同，讓問題由陌生變得熟悉，便于解題者思考和聯(lián)想，為解題者擬訂解題計劃奠基鋪路．這種加工處理信息的操作規(guī)律我們稱為題變化歸，如構(gòu)造法、待定系數(shù)法、三角變換法、數(shù)形結(jié)合法、命題等價轉(zhuǎn)化等都是題變化歸．從本質(zhì)上說，這些解題手段不僅改變了問題信息的表述形式，而且改變了問題信息的實質(zhì)，使問題以新的形式和新的內(nèi)容呈現(xiàn)出來． [例3]　已知x2＋y2＝1，則＋2的最大值為________． [解析]　 此題的信息有兩項，信息①：實數(shù)x,y的關(guān)系式為x 2+y 2=1；信息②：求 ＋2的最大值. ＋2 ＝＋2. (ⅰ) 令P(x，y)，A，B，原問題轉(zhuǎn)化為：點P是單位圓上的動點，A，B為單位圓上的定點，求|PA|＋2|PB|的最大值．(ⅱ) 作出示意圖如圖所示，易知∠APB＝∠AOB＝60，由正弦定理將信息②進行形變化歸：＝＝?|PA|＝2sin(120－A)，|PB|＝2sin A，則|PA|＋2|PB|＝2sin(120－A)＋4sin A＝5sin A＋cos A＝2sin(A＋φ)≤2，(ⅲ) 所以|PA|＋2|PB|的最大值為2. [答案]　2 [反思領(lǐng)悟]　此題解答過程中首先利用信息①把信息②形變化歸為(ⅰ)，然后再將信息①和(ⅰ)結(jié)合，進行題變化歸得到(ⅱ)，將“求最值的代數(shù)問題”轉(zhuǎn)化為“求單位圓中的線段和的最值問題”；將(ⅱ)轉(zhuǎn)化為(ⅲ)也是題變化歸，將“求單位圓中的線段和問題”轉(zhuǎn)化為“一個三角函數(shù)最值問題”．此題進行一系列題變化歸，使解題策略由茫然到朦朧，由朦朧到清晰，最后豁然開朗． [例4]　已知實系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實數(shù)根，求使得(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥ka2恒成立的實數(shù)k的最大值． [解]　 此題的信息有兩項，信息①：實系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實數(shù)根; 信息②:求使得(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥ka2恒成立的實數(shù)k的最大值. 令原方程的兩個根為x1，x2，則 x1＋x2＝－，x1x2＝.(ⅰ) k≤2＋2＋2 ＝(1＋x1＋x2)2＋(x1＋x2＋x1x2)2＋(x1x2－1)2 ＝2(x＋x1＋1)(x＋x2＋1)(ⅱ) ＝2≥.(ⅲ) 故實數(shù)k的最大值為. [反思領(lǐng)悟]　該解法將信息①化為(ⅰ)是形變化歸，信息②化為(ⅱ)既是形變化歸，也是題變化歸，將原問題轉(zhuǎn)化為“兩個二次函數(shù)的最值問題”；從(ⅱ)到(ⅲ)是形變化歸．顯然，該解法的過程，既是一系列形變化歸的過程，也是題變化歸的過程．而且形變化歸是題變化歸的基礎(chǔ)，題變化歸是形變化歸的目的和歸宿． 綜上所述，我們可以看出：(1)形變化歸和題變化歸在解題過程中并非流星一閃，而是多次反復出現(xiàn)在解題過程中． (2)形變化歸和題變化歸不是孤立地表現(xiàn)在解題的過程中，而是常常結(jié)伴而行． (3)形變化歸和題變化歸聯(lián)系緊密，形變化歸是基礎(chǔ)，題變化歸是結(jié)果，題變化歸離不開形變化歸． (4)形變化歸是題變化歸的基礎(chǔ)，也是化歸思想的基礎(chǔ)，更是問題解決的基礎(chǔ)．