（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三講 解題的化歸目標(biāo)—形變題變講義 理.doc

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第三講解題的化歸目標(biāo)——形變題變 上一講提到解題的指導(dǎo)思想是“化歸尋舊”，但怎樣對(duì)題目進(jìn)行化歸，化歸到什么形式？這就是本講所要解決的兩個(gè)重點(diǎn)問(wèn)題——形變化歸與題變化歸． 一、形變化歸 在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答過(guò)程中，把問(wèn)題的某一項(xiàng)信息或一組信息進(jìn)行形式上的加工處理，使這項(xiàng)信息或這組信息與我們認(rèn)知結(jié)構(gòu)中(尤其是熟悉結(jié)構(gòu))的某項(xiàng)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)在形式上相近或相同，讓問(wèn)題由陌生變得熟悉，便于解題者思考和聯(lián)想，為解題者擬訂解題計(jì)劃奠基鋪路．這種處理信息的操作規(guī)律我們稱為形變化歸．如恒等變形、因式分解、配方、裂項(xiàng)、添項(xiàng)、換元、分類、移圖、補(bǔ)形、數(shù)學(xué)語(yǔ)言化等解題方法都是形變化歸在解題實(shí)踐中的具體體現(xiàn)．從根本上說(shuō)，這些解題手段沒(méi)有改變問(wèn)題信息的實(shí)質(zhì)和內(nèi)容，只是使信息的表述形式發(fā)生了變化． [例1]　在數(shù)列{an}中，已知a2＝15，an＋1＝2an＋3n(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． [解]　當(dāng)n＝1時(shí)，由已知，得a2＝2a1＋3，即15＝2a1＋3，解得a1＝6. 由an＋1＝2an＋3n，① 兩邊同時(shí)除以3n＋1，得＝2＋， 即＝＋.② 設(shè)bn＝，則②式變?yōu)閎n＋1＝bn＋.③ 設(shè)bn＋1＋m＝(bn＋m)， 即bn＋1＝bn－， 令－＝，解得m＝－1. 則bn＋1－1＝(bn－1)，④ 所以數(shù)列{bn－1}是一個(gè)首項(xiàng)為b1－1＝－1＝－1＝1，公比為q＝的等比數(shù)列， 故bn－1＝1n－1，即bn＝1＋n－1. 由bn＝，得an＝3nbn＝3n＝3n＋32n－1(n∈N*)．⑤ [反思領(lǐng)悟]　此題解答中從①到②等式兩邊同除以3n＋1，從②到③是換元；從③到④是待定系數(shù)法；從④到⑤又是換元，這些恒等變形手段沒(méi)有改變問(wèn)題信息的實(shí)質(zhì)，只是改變了信息的表述形式，但是，這種變形化歸手段使信息清晰化、簡(jiǎn)單化，將一個(gè)復(fù)雜的遞推數(shù)列{an}轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的等比數(shù)列{bn－1}． [例2]　已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，求證： ＋＋≥36.① [證明]　＋＋＝(x＋y＋z) ＝14＋＋＋② ≥14＋4＋6＋12＝36. [反思領(lǐng)悟]　此題是一個(gè)條件極值問(wèn)題，信息①：x，y，z∈R＋；信息②：x＋y＋z＝1；信息③：關(guān)于x，y，z的不等關(guān)系＋＋≥36.通過(guò)添項(xiàng)和并項(xiàng)手段將式①變?yōu)槭舰?，?wèn)題在表述形式上發(fā)生了變化，雖然仍是一個(gè)條件極值問(wèn)題，但解題思路已豁然開(kāi)朗，這就是形變化歸的效果． 二、題變化歸 在數(shù)學(xué)習(xí)題的解答過(guò)程中，把數(shù)學(xué)問(wèn)題的某一項(xiàng)信息或一組信息進(jìn)行加工處理，使問(wèn)題信息的形式得以更新，信息的內(nèi)涵得到挖掘和拓展，使這項(xiàng)信息或這組信息與我們熟知的某項(xiàng)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)在內(nèi)容上相近或相同，讓問(wèn)題由陌生變得熟悉，便于解題者思考和聯(lián)想，為解題者擬訂解題計(jì)劃奠基鋪路．這種加工處理信息的操作規(guī)律我們稱為題變化歸，如構(gòu)造法、待定系數(shù)法、三角變換法、數(shù)形結(jié)合法、命題等價(jià)轉(zhuǎn)化等都是題變化歸．從本質(zhì)上說(shuō)，這些解題手段不僅改變了問(wèn)題信息的表述形式，而且改變了問(wèn)題信息的實(shí)質(zhì)，使問(wèn)題以新的形式和新的內(nèi)容呈現(xiàn)出來(lái)． [例3]　已知x2＋y2＝1，則＋2的最大值為_(kāi)_______． [解析]　 此題的信息有兩項(xiàng)，信息①：實(shí)數(shù)x,y的關(guān)系式為x 2+y 2=1；信息②：求 ＋2的最大值. ＋2 ＝＋2. (ⅰ) 令P(x，y)，A，B，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：點(diǎn)P是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，A，B為單位圓上的定點(diǎn)，求|PA|＋2|PB|的最大值．(ⅱ) 作出示意圖如圖所示，易知∠APB＝∠AOB＝60，由正弦定理將信息②進(jìn)行形變化歸：＝＝?|PA|＝2sin(120－A)，|PB|＝2sin A，則|PA|＋2|PB|＝2sin(120－A)＋4sin A＝5sin A＋cos A＝2sin(A＋φ)≤2，(ⅲ) 所以|PA|＋2|PB|的最大值為2. [答案]　2 [反思領(lǐng)悟]　此題解答過(guò)程中首先利用信息①把信息②形變化歸為(ⅰ)，然后再將信息①和(ⅰ)結(jié)合，進(jìn)行題變化歸得到(ⅱ)，將“求最值的代數(shù)問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“求單位圓中的線段和的最值問(wèn)題”；將(ⅱ)轉(zhuǎn)化為(ⅲ)也是題變化歸，將“求單位圓中的線段和問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“一個(gè)三角函數(shù)最值問(wèn)題”．此題進(jìn)行一系列題變化歸，使解題策略由茫然到朦朧，由朦朧到清晰，最后豁然開(kāi)朗． [例4]　已知實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實(shí)數(shù)根，求使得(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥ka2恒成立的實(shí)數(shù)k的最大值． [解]　 此題的信息有兩項(xiàng)，信息①：實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實(shí)數(shù)根; 信息②:求使得(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥ka2恒成立的實(shí)數(shù)k的最大值. 令原方程的兩個(gè)根為x1，x2，則 x1＋x2＝－，x1x2＝.(ⅰ) k≤2＋2＋2 ＝(1＋x1＋x2)2＋(x1＋x2＋x1x2)2＋(x1x2－1)2 ＝2(x＋x1＋1)(x＋x2＋1)(ⅱ) ＝2≥.(ⅲ) 故實(shí)數(shù)k的最大值為. [反思領(lǐng)悟]　該解法將信息①化為(ⅰ)是形變化歸，信息②化為(ⅱ)既是形變化歸，也是題變化歸，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)二次函數(shù)的最值問(wèn)題”；從(ⅱ)到(ⅲ)是形變化歸．顯然，該解法的過(guò)程，既是一系列形變化歸的過(guò)程，也是題變化歸的過(guò)程．而且形變化歸是題變化歸的基礎(chǔ)，題變化歸是形變化歸的目的和歸宿． 綜上所述，我們可以看出：(1)形變化歸和題變化歸在解題過(guò)程中并非流星一閃，而是多次反復(fù)出現(xiàn)在解題過(guò)程中． (2)形變化歸和題變化歸不是孤立地表現(xiàn)在解題的過(guò)程中，而是常常結(jié)伴而行． (3)形變化歸和題變化歸聯(lián)系緊密，形變化歸是基礎(chǔ)，題變化歸是結(jié)果，題變化歸離不開(kāi)形變化歸． (4)形變化歸是題變化歸的基礎(chǔ)，也是化歸思想的基礎(chǔ)，更是問(wèn)題解決的基礎(chǔ)．