2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 1.3簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞教案 理 新人教A版 .DOC

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2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 1.3簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.考查邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”的含義，判斷命題的真假或求參數(shù)的范圍；2.考查全稱量詞和存在量詞的意義，對含一個量詞的命題進行否定． 復習備考要這樣做　1.充分理解邏輯聯(lián)結詞的含義，注意和日常用語的區(qū)別；2.對量詞的練習要在“含一個量詞”框架內進行，不要隨意加深；3.注意邏輯與其他知識的交匯． 1． 簡單的邏輯聯(lián)結詞 (1)命題中的“且”、“或”、“非”叫做邏輯聯(lián)結詞． (2)簡單復合命題的真值表： p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 假 假 假 真 2. 全稱量詞與存在量詞 (1)常見的全稱量詞有“任意一個”“一切”“每一個”“任給”“所有的”等． (2)常見的存在量詞有“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“某個”“有的”等． (3)全稱量詞用符號“?”表示；存在量詞用符號“?”表示． 3． 全稱命題與特稱命題 (1)含有全稱量詞的命題叫全稱命題． (2)含有存在量詞的命題叫特稱命題． 4． 命題的否定 (1)全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題的否定是全稱命題． (2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q. [難點正本　疑點清源] 1． 邏輯聯(lián)結詞“或”的含義 邏輯聯(lián)結詞中的“或”的含義，與并集概念中的“或”的含義相同．如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x?B；x?A且x∈B；x∈A且x∈B三種情況．再如“p真或q真”是指：p真且q假；p假且q真；p真且q真三種情況． 2． 命題的否定與否命題 “否命題”是對原命題“若p，則q”的條件和結論分別加以否定而得到的命題，它既否定其條件，又否定其結論；“命題的否定”即“非p”，只是否定命題p的結論． 命題的否定與原命題的真假總是對立的，即兩者中有且只有一個為真，而原命題與否命題的真假無必然聯(lián)系． 3． 含一個量詞的命題的否定 全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題． 1． 下列命題中，所有真命題的序號是________． ①5>2且7>4；②3>4或4>3；③不是無理數(shù)． 答案?、佗? 解析?、?>2和7>4都真，故5>2且7>4也真． ②3>4假，4>3真，故3>4或4>3真． ③是無理數(shù)，故不是無理數(shù)為假命題． 點評　對含有“或”、“且”、“非”的復合命題的判斷，先判斷簡單命題，再根據(jù)真值表判斷復合命題． 2． 已知命題p：?x∈R，x2＋≤2，命題q是命題p的否定，則命題p、q、p∧q、p∨q中是真命題的是________． 答案　p、p∨q 解析　x＝1時，p成立，所以p真，q假，p∨q真，p∧q假． 3． 若命題“?x∈R，有x2－mx－m<0”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是________． 答案　[－4,0] 解析　“?x∈R有x2－mx－m<0”是假命題，則“?x∈R有x2－mx－m≥0”是真命題．即Δ＝m2＋4m≤0， ∴－4≤m≤0. 4． (xx湖北)命題“?x0∈?RQ，x∈Q”的否定是 (　　) A．?x0D∈/?RQ，x∈Q B．?x0∈?RQ，xD∈/Q C．?xD∈/?RQ，x3∈Q D．?x∈?RQ，x3D∈/Q 答案　D 解析　“?”的否定是“?”，x3∈Q的否定是x3D∈/Q. 命題“?x0∈?RQ，x∈Q”的否定是“?x∈?RQ，x3D∈/Q”，故應選D. 5． 有四個關于三角函數(shù)的命題： p1：?x∈R，sin2＋cos2＝ p2：?x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y p3：?x∈[0，π]，＝sin x p4：sin x＝cos y?x＋y＝ 其中的假命題是 (　　) A．p1，p4 B．p2，p4 C．p1，p3 D．p2，p3 答案　A 解析　p1為假命題；對于p2，令x＝y(tǒng)＝0，顯然有sin(x－y)＝sin x－sin y，即p2為真命題；對于p3，由sin2x＝，當x∈[0，π]時，sin x≥0，sin x＝.于是可判斷p3為真命題；對于p4，當x＝時，有sin x＝cos y＝－，這說明p4是假命題. 題型一　含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真假 例1　已知命題p1：函數(shù)y＝2x－2－x在R上為增函數(shù)，p2：函數(shù)y＝2x＋2－x在R上為減函數(shù)，則在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命題是(　　) A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4 思維啟迪：先判斷命題p1、p2的真假，然后對含邏輯聯(lián)結詞的命題根據(jù)真值表判斷真假． 答案　C 解析　命題p1是真命題，p2是假命題，故q1為真，q2為假，q3為假，q4為真． 探究提高　(1)判斷含有邏輯聯(lián)結詞的復合命題的真假，關鍵是對邏輯聯(lián)結詞“且”“或”“非”含義的理解． (2)解決該類問題的基本步驟：①弄清構成復合命題中簡單命題p和q的真假；②明確其構成形式；③根據(jù)復合命題的真假規(guī)律判斷構成新命題的真假． 寫出由下列各組命題構成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的復合命題，并判斷真假： (1)p：1是素數(shù)；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根； (2)p：平行四邊形的對角線相等；q：平行四邊形的對角線互相垂直； (3)p：方程x2＋x－1＝0的兩實根的符號相同；q：方程x2＋x－1＝0的兩實根的絕對值相等． 解　(1)p∨q：1是素數(shù)或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命題． p∧q：1既是素數(shù)又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命題． 綈p：1不是素數(shù)．真命題． (2)p∨q：平行四邊形的對角線相等或互相垂直．假命題． p∧q：平行四邊形的對角相等且互相垂直．假命題． 綈p：有些平行四邊形的對角線不相等．真命題． (3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的兩實根的符號相同或絕對值相等．假命題． p∧q：方程x2＋x－1＝0的兩實根的符號相同且絕對值相等．假命題． 綈p：方程x2＋x－1＝0的兩實根的符號不相同．真命題． 題型二　含有一個量詞的命題的否定 例2　寫出下列命題的否定，并判斷其真假： (1)p：?x∈R，x2－x＋≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：?x0∈R，x＋2x0＋2≤0； (4)s：至少有一個實數(shù)x0，使x＋1＝0. 思維啟迪：否定量詞，否定結論，寫出命題的否定；判斷命題的真假． 解　(1)綈p：?x0∈R，x－x0＋<0，假命題． (2)綈q：至少存在一個正方形不是矩形，假命題． (3)綈r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命題． (4)綈s：?x∈R，x3＋1≠0，假命題． 探究提高　全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱命題和特稱命題時，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；二是要否定結論．而一般命題的否定只需直接否定結論即可． (1)已知命題p：?x∈R，sin x≤1，則 (　　) A．綈p：?x∈R，sin x≥1 B．綈p：?x∈R，sin x≥1 C．綈p：?x∈R，sin x>1 D．綈p：?x∈R，sin x>1 (2)命題p：?x∈R,2x＋x2≤1的否定綈p為___________________． 答案　(1)C　(2)?x∈R,2x＋x2>1 題型三　邏輯聯(lián)結詞與命題真假的應用 例3　已知p：方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的負實數(shù)根；q：不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集為R.若“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數(shù)m的取值范圍． 思維啟迪：判斷含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真假，關鍵是判斷對應p，q的真假，然后判斷“p∧q”，“p∨q”，“綈p”的真假． 解　p為真命題??m>2； q為真命題?Δ＝[4(m－2)]2－441<0?10，設命題p：函數(shù)y＝ax在R上單調遞增；命題q：不等式ax2－ax＋1>0對?x∈R恒成立．若“p∧q”為假，“p∨q”為真，求a的取值范圍． 解　∵函數(shù)y＝ax在R上單調遞增，∴p：a>1. 不等式ax2－ax＋1>0對?x∈R恒成立，且a>0， ∴a2－4a<0，解得00，且c≠1，設p：函數(shù)y＝cx在R上單調遞減；q：函數(shù)f(x)＝x2－2cx＋1在上為增函數(shù)，若“p且q”為假，“p或q”為真，求實數(shù)c的取值范圍． 審題視角　(1)p、q都為真時，分別求出相應的a的取值范圍；(2)用補集的思想，求出綈p、綈q分別對應的a的取值范圍；(3)根據(jù)“p且q”為假、“p或q”為真，確定p、q的真假． 規(guī)范解答 解　方法一 ∵函數(shù)y＝cx在R上單調遞減，∴00且c≠1，∴綈p：c>1.[3分] 又∵f(x)＝x2－2cx＋1在上為增函數(shù)，∴c≤. 即q：00且c≠1，∴綈q：c>且c≠1.[5分] 又∵“p或q”為真，“p且q”為假， ∴p真q假或p假q真．[6分] ①當p真，q假時， {c|01}∩＝?.[10分] 綜上所述，實數(shù)c的取值范圍是.[12分] 方法二　∵綈p是綈q的必要而不充分條件， ∴p是q的充分而不必要條件，[2分] 由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m， ∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，[4分] 由p：≤2，解得－2≤x≤10， ∴p：P＝{x|－2≤x≤10}．[6分] ∵p是q的充分而不必要條件， ∴PQ，∴或 即m≥9或m>9.∴m≥9.[12分] 答題模板 第一步：求命題p、q對應的參數(shù)的范圍． 第二步：求命題綈p、綈q對應的參數(shù)的范圍． 第三步：根據(jù)已知條件構造新命題，如本題構造新命題“p且q”或“p或q”． 第四步：根據(jù)新命題的真假，確定參數(shù)的范圍． 第五步：反思回顧．查看關鍵點、易錯點及解題規(guī)范． 溫馨提醒　解決此類問題的關鍵是準確地把每個條件所對應的參數(shù)的取值范圍求解出來，然后轉化為集合交、并、補的基本運算． 答題時，可依答題模板的格式進行，這樣可使答題思路清晰，過程完整．老師在閱卷時，便于查找得分點. 方法與技巧 1． 要寫一個命題的否定，需先分清其是全稱命題還是特稱命題，對照否定結構去寫，并注意與否命題的區(qū)別；對于命題否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命題，再判定其否定．判斷命題的真假要注意：全稱命題為真需證明，為假舉反例即可；特稱命題為真需舉一個例子，為假則要證明全稱命題為真． 2． 要把握命題的形成、相互轉化，會根據(jù)復合命題來判斷簡單命題的真假． 3． 全稱命題與特稱命題可以互相轉化，即從反面處理，再求其補集． 失誤與防范 1． p∨q為真命題，只需p、q有一個為真即可，p∧q為真命題，必須p、q同時為真． 2． p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q. 3． 全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題的否定是全稱命題． 4． 簡單邏輯聯(lián)結詞內容的考查注重基礎、注重交匯，較多地考查簡單邏輯與其他知識的綜合問題，要注意其他知識的提取與應用，一般先化簡轉化命題，再處理關系． A組　專項基礎訓練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． 下列命題中的假命題是 (　　) A．?x0∈R，lg x0＝0 B．?x0∈R，tan x0＝1 C．?x∈R，x3>0 D．?x∈R,2x>0 答案　C 解析　對于A，當x0＝1時，lg x0＝0，正確；對于B，當x0＝時，tan x0＝1，正確；對于C，當x<0時，x3<0，錯誤；對于D，?x∈R,2x>0，正確． 2． (xx湖北)命題“存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是 (　　) A．任意一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù) B．任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù) C．存在一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù) D．存在一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù) 答案　B 解析　通過否定原命題得出結論． 原命題的否定是“任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)”． 3． (xx山東)設命題p：函數(shù)y＝sin 2x的最小正周期為；命題q：函數(shù)y＝cos x的圖象關于直線x＝對稱．則下列判斷正確的是 (　　) A．p為真 B．綈q為假 C．p∧q為假 D．p∨q為真 答案　C 解析　p是假命題，q是假命題，因此只有C正確． 4． 已知命題p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命題q：“?x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命題“p且q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是 (　　) A．{a|a≤－2或a＝1} B．{a|a≥1} C．{a|a≤－2或1≤a≤2} D．{a|－2≤a≤1} 答案　A 解析　由題意知，p：a≤1，q：a≤－2或a≥1， ∵“p且q”為真命題，∴p、q均為真命題，∴a≤－2或a＝1. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 命題：“?x∈R，ex≤x”的否定是__________________． 答案　?x∈R，ex>x 6． 若命題p：關于x的不等式ax＋b>0的解集是{x|x>－}，命題q：關于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集是{x|a0；命題q：>1，若“綈q且p”為真，則x的取值范圍是____________________． 答案　(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞) 解析　因為“綈q且p”為真，即q假p真，而q為真命題時，<0，即20，解得x>1或x<－3，由得x≥3或10. 解　(1)綈q：?x0∈R，x0是5x－12＝0的根，真命題． (2)綈r：每一個質數(shù)都不是奇數(shù)，假命題． (3)綈s：?x∈R，|x|≤0，假命題． 9． (12分)已知c>0，設命題p：函數(shù)y＝cx為減函數(shù)．命題q：當x∈時，函數(shù)f(x)＝x＋>恒成立．如果“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求c的取值范圍． 解　由命題p為真知，0， 若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題， 則p、q中必有一真一假， 當p真q假時，c的取值范圍是0a的解集為R；q：函數(shù)f(x)＝－(7－3a)x在R上是減函數(shù)，如果這兩個命題中有且只有一個真命題，那么實數(shù)a的取值范圍是 (　　) A．1≤a<2 B．2a的解集為R}； B＝{a|f(x)＝－(7－3a)x在R上是減函數(shù)}． 由于函數(shù)y＝＋的最小值為1，故A＝{a|a<1}． 又因為函數(shù)f(x)＝－(7－3a)x在R上是減函數(shù)， 故7－3a>1，即a<2，所以B＝{a|a<2}． 要使這兩個命題中有且只有一個真命題，a的取值范圍為[(?RA)∩B]∪[(?RB)∩A]， 而(?RA)∩B＝[1，＋∞)∩(－∞，2)＝[1,2)， (?RB)∩A＝[2，＋∞)∩(－∞，1)＝?， 因此[(?RA)∩B]∪[(?RB)∩A]＝[1,2)，故選A. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 已知命題p：“?x∈R，?m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命題綈p是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是__________． 答案　(－∞，1] 解析　若綈p是假命題，則p是真命題， 即關于x的方程4x－22x＋m＝0有實數(shù)解， 由于m＝－(4x－22x)＝－(2x－1)2＋1≤1，∴m≤1. 5． 設p：方程x2＋2mx＋1＝0有兩個不相等的正根，q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0無實根．則使“p∨q”為真，“p∧q”為假的實數(shù)m的取值范圍是____________． 答案　(－∞，－2]∪[－1,3) 解析　設方程x2＋2mx＋1＝0的兩個正根分別為x1，x2， 則由，得m<－1，∴p：m<－1. 由Δ2＝4(m－2)2－4(－3m＋10)<0知－20.則命題“p∧綈q”是假命題； ②已知直線l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，則l1⊥l2的充要條件是＝－3； ③命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題：“若x≠1，則x2－3x＋2≠0”．其中正確結論的序號為________． 答案?、佗? 解析　①中命題p為真命題，命題q為真命題， 所以p∧綈q為假命題，故①正確； ②當b＝a＝0時，有l(wèi)1⊥l2，故②不正確； ③正確．所以正確結論的序號為①③. 三、解答題 7． (13分)已知命題p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命題q：只有一個實數(shù)x0滿足不等式x＋2ax0＋2a≤0，若命題“p或q”是假命題，求a的取值范圍． 解　由2x2＋ax－a2＝0得(2x－a)(x＋a)＝0, ∴x＝或x＝－a， ∴當命題p為真命題時≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2. 又“只有一個實數(shù)x0滿足不等式x＋2ax0＋2a≤0”， 即拋物線y＝x2＋2ax＋2a與x軸只有一個交點， ∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2. ∴當命題q為真命題時，a＝0或a＝2. ∴命題“p或q”為真命題時，|a|≤2. ∵命題“p或q”為假命題，∴a>2或a<－2. 即a的取值范圍為{a|a>2或a<－2}．