2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 13.2合情推理與演繹推理教案 理 新人教A版 .DOC
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2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 13.2合情推理與演繹推理教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.從近幾年的高考來看，高考對本部分的考查多以選擇或填空題的形式出現(xiàn)，主要考查利用歸納推理、類比推理去尋求更為一般的、新的結(jié)論，試題的難度以低、中檔為主；2.演繹推理主要與立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導數(shù)等知識結(jié)合在一起命制綜合題． 復習備考要這樣做 1.聯(lián)系具體實例，體會幾種推理的概念和特點，并結(jié)合這些方法解決一些應用問題；2.培養(yǎng)歸納、類比、演繹的推理思維模式，培養(yǎng)分析、解決問題的能力． 1． 合情推理主要包括歸納推理和類比推理． 合情推理的過程 (1)歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡稱歸納)．簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理． 歸納推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某屬性， 結(jié)論：?d∈M，d也具有某屬性． (2)類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比)．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理． 類比推理的基本模式：A：具有屬性a，b，c，d； B：具有屬性a′，b′，c′； 結(jié)論：B具有屬性d′. (a，b，c，d與a′，b′，c′，d′相似或相同) 2． 演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理． (1)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情況； ③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷． (2)“三段論”可以表示為 ①大前提：M是P； ②小前提：S是M； ③結(jié)論：S是P. 用集合說明：即若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的一個子集，那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P. [難點正本 疑點清源] 1． 在解決問題過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，探索和提供思路的作用．合情推理的結(jié)論可能為真，也可能為假，結(jié)論的正確性有待于進一步的證明． 2． 應用三段論解決問題時，應首先明確什么是大前提，什么是小前提，如果大前提與推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的．如果大前提錯誤，盡管推理形式是正確的，所得結(jié)論也是錯誤的． 3． 演繹推理是由一般到特殊的推理，它常用來證明和推理數(shù)學問題，注意推理過程的嚴密性，書寫格式的規(guī)范性． 1． (xx陜西)觀察下列不等式： 1＋<， 1＋＋<， 1＋＋＋<， …… 照此規(guī)律，第五個不等式為________． 答案 1＋＋＋＋＋< 解析 觀察每行不等式的特點，每行不等式左端最后一個分數(shù)的分母的開方與右端值的分母相等，且每行右端分數(shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列． ∴第五個不等式為1＋＋＋＋＋<. 2． (xx山東)設函數(shù)f(x)＝(x>0)，觀察： f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f2(x))＝， f4(x)＝f(f3(x))＝， …… 根據(jù)以上事實，由歸納推理可得： 當n∈N*且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________. 答案 解析 依題意，先求函數(shù)結(jié)果的分母中x項系數(shù)所組成數(shù)列的通項公式，由1,3,7,15，…，可推知該數(shù)列的通項公式為an＝2n－1.又函數(shù)結(jié)果的分母中常數(shù)項依次為2,4,8,16，…，故其通項公式為bn＝2n. 所以當n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝. 3． 給出下列三個類比結(jié)論： ①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. 其中結(jié)論正確的個數(shù)是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 B 4． “因為指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)(大前提)，而y＝x是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以函數(shù)y＝x是增函數(shù)(結(jié)論)”，上面推理的錯誤在于 ( ) A．大前提錯誤導致結(jié)論錯 B．小前提錯誤導致結(jié)論錯 C．推理形式錯誤導致結(jié)論錯 D．大前提和小前提錯誤導致結(jié)論錯 答案 A 5． (xx江西)觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于 ( ) A．28 B．76 C．123 D．199 答案 C 解析 觀察規(guī)律，歸納推理． 從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10＋b10＝123. 題型一 歸納推理 例1 已知函數(shù)f(x)＝， (1)分別求f(2)＋f，f(3)＋f，f(4)＋f的值； (2)歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明； (3)求值： f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 011)＋f＋f＋…＋f. 思維啟迪：所求函數(shù)值的和應該具有規(guī)律性，經(jīng)觀察可發(fā)現(xiàn)f(x)＋f＝1. 解 (1)∵f(x)＝， ∴f(2)＋f＝＋＝＋＝1， 同理可得f(3)＋f＝1，f(4)＋f＝1. (2)由(1)猜想f(x)＋f＝1， 證明：f(x)＋f＝＋ ＝＋＝1. (3)由(2)可得， 原式＝f(1)＋＋＋…＋ ＝f(1)＋2 010＝＋2 010＝. 探究提高 本題實質(zhì)是根據(jù)前幾項，歸納猜想一般規(guī)律，歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法． 已知經(jīng)過計算和驗證有下列正確的不等式：＋<2，＋<2，＋<2，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，請寫出一個對正實數(shù)m，n都成立的條件不等式________． 答案 若m>0，n>0，則當m＋n＝20時，有＋<2 解析 觀察所給不等式可以發(fā)現(xiàn)：不等式左邊兩個根式的被開方數(shù)的和等于20，不等式的右邊都是2，因此對正實數(shù)m，n都成立的條件不等式是若m>0，n>0，則當m＋n＝20時，有＋<2. 題型二 類比推理 例2 在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：＝＋，那么在四面體A－BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想？并說明理由． 思維啟迪：①平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對象；②三角形各邊的邊長與三棱錐的各面的面積是類比對象；③三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類比對象；④三角形的面積與三棱錐的體積是類比對象；⑤三角形的面積公式中的“二分之一”與三棱錐的體積公式中的“三分之一”是類比對象． 解 圖① 如圖①所示，由射影定理知 AD2＝BDDC，AB2＝BDBC， AC2＝BCDC， ∴＝ ＝＝. 又BC2＝AB2＋AC2， ∴＝＝＋. ∴＝＋. 類比AB⊥AC，AD⊥BC猜想： 四面體A—BCD中，AB、AC、AD兩兩垂直， AE⊥平面BCD，則＝＋＋. 圖② 如圖②，連接BE并延長交CD于F， 連接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A， ∴AB⊥平面ACD. 而AF?平面ACD，∴AB⊥AF， 在Rt△ABF中，AE⊥BF， ∴＝＋. 在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋. ∴＝＋＋，故猜想正確． 探究提高 (1)類比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步驟為 ①找出兩類事物之間的相似性或一致性； ②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)． (2)類比推理的關鍵是找到合適的類比對象．平面幾何中的一些定理、公式、結(jié)論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結(jié)論． 已知命題：若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且am＝a，an＝b (m≠n，m、n∈N*)，則am＋n＝；現(xiàn)已知等比數(shù)列{bn} (b≠0，n∈N*)，bm＝a，bn＝b (m≠n，m、n∈N*)，若類比上述結(jié)論，則可得到bm＋n＝__________. 答案 解析 等差數(shù)列中的bn和am可以類比等比數(shù)列中的bn和am，等差數(shù)列中的bn－am可以類比等比數(shù)列中的，等差數(shù)列中的可以類比等比數(shù)列中的， 故bm＋n＝. 題型三 演繹推理 例3 數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn (n∈N*)，證明： (1)數(shù)列是等比數(shù)列； (2)Sn＋1＝4an. 思維啟迪：在推理論證過程中，一些稍復雜的證明題常常要由幾個三段論才能完成．大前提通常省略不寫，或者寫在結(jié)論后面的括號內(nèi)，小前提有時也可以省略，而采取某種簡明的推理模式． 證明 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn， ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn. ∴＝2，又＝1≠0，(小前提) 故是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．(結(jié)論) (大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了) (2)由(1)可知＝4 (n≥2)， ∴Sn＋1＝4(n＋1)＝4Sn－1＝4an (n≥2)(小前提) 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴對于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an.(結(jié)論) (第(2)問的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件) 探究提高 演繹推理的一般模式為三段論，應用三段論解決問題時，首先應該明確什么是大前提，小前提，然后再找結(jié)論． 已知函數(shù)f(x)＝－(a>0且a≠1)． (1)證明：函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點對稱； (2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值． (1)證明 函數(shù)f(x)的定義域為全體實數(shù)，任取一點(x，y)，它關于點對稱的點的坐標為(1－x，－1－y)． 由已知得y＝－， 則－1－y＝－1＋＝－， f(1－x)＝－＝－＝－ ＝－， ∴－1－y＝f(1－x)， 即函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點對稱． (2)解 由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)， 即f(x)＋f(1－x)＝－1. ∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1， f(0)＋f(1)＝－1. 則f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3. 歸納不準確致誤 典例：(5分)如圖所示，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標分別對應數(shù)列{an}(n∈N*)的前12項，如下表所示． a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6 按如此規(guī)律下去，則a2 009＋a2 010＋a2 011等于 ( ) A．1 003 B．1 005 C．1 006 D．2 010 易錯分析 本題中的“按如此規(guī)律下去”就是要求由題目給出的6個點的坐標和數(shù)列的對應關系，歸納出該數(shù)列的一般關系．可能出現(xiàn)的錯誤有兩種：一是歸納時找不準“前幾項”的規(guī)律，胡亂猜測；二是弄錯奇偶項的關系．本題中各個點的縱坐標對應數(shù)列的偶數(shù)項，并且逐一遞增，即a2n＝n(n∈N*)，各個點的橫坐標對應數(shù)列的奇數(shù)項，正負交替后逐一遞增，并且滿足a4n－3＋a4n－1＝0(n∈N*)，如果弄錯這些關系就會得到錯誤的結(jié)果，如認為當n為偶數(shù)時an＝n，就會得到a2 009＋a2 010＋a2 011＝2 010的錯誤結(jié)論，而選D. 解析 a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，…，這個數(shù)列的規(guī)律是奇數(shù)項為1，－1,2，－2,3，…，偶數(shù)項為1,2,3，…，故a2 009＋a2 011＝0，a2 010＝1 005，故a2 009＋a2 010＋a2 011＝1 005. 答案 B 溫馨提醒 由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否真實，還需經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗．因此，它不能作為數(shù)學證明的工具. 方法與技巧 1． 合情推理主要包括歸納推理和類比推理．數(shù)學研究中，在得到一個新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個數(shù)學結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向． 2． 演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論．數(shù)學問題的證明主要通過演繹推理來進行． 3． 合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定正確．而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下)． 失誤與防范 1． 合情推理是從已知的結(jié)論推測未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過進一步嚴格證明． 2． 演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來證明和推理數(shù)學問題，注意推理過程的嚴密性，書寫格式的規(guī)范性． 3． 合情推理中運用猜想時不能憑空想象，要有猜想或拓展依據(jù)． A組 專項基礎訓練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． 正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理 ( ) A．結(jié)論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．全不正確 答案 C 解析 f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)而是復合函數(shù)，所以小前提不正確． 2． 由>，>，>，…，若a>b>0，m>0，則與之間的大小關系為( ) A．相等 B．前者大 C．后者大 D．不確定 答案 B 3． 由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則： ①“mn＝nm”類比得到“ab＝ba”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)c＝ac＋bc”； ③“(mn)t＝m(nt)”類比得到“(ab)c＝a(bc)”； ④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，ap＝xp?a＝x”； ⑤“|mn|＝|m||n|”類比得到“|ab|＝|a||b|”； ⑥“＝”類比得到“＝”． 以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析?、佗谡_；③④⑤⑥錯誤． 4． 觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函數(shù)，則g(－x)等于 ( ) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 答案 D 解析 由所給函數(shù)及其導數(shù)知，偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)．因此當f(x)是偶函數(shù)時，其導函數(shù)應為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)． 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 在Rt△ABC中，若∠C＝90，AC＝b，BC＝a，則△ABC外接圓半徑r＝.運用類比方法，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長度分別為a，b，c，則其外接球的半徑R＝________. 答案 解析 通過類比可得R＝.證明： 作一個在同一個頂點處棱長分別為a，b，c的長方體，則這個長方體的體對角線的長度是，故這個長方體的外接球的半徑是，這也是所求的三棱錐的外接球的半徑． 6． 在平面內(nèi)有n(n∈N*，n≥3)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，若這n條直線把平面分成f(n)個平面區(qū)域，則f(5)的值是______，f(n)的表達式是________． 答案 16 f(n)＝ 解析 由題意，n條直線將平面分成＋1個平面區(qū)域，故f(5)＝16，f(n)＝. 7． 仔細觀察下面○和●的排列規(guī)律： ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○ ●…… 若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的○和●，那么在前120個○和●中，●的個數(shù)是________． 答案 14 解析 進行分組○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，則前n組兩種圈的總數(shù)是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14. 三、解答題(共22分) 8． (10分)已知函數(shù)y＝f(x)，滿足：對任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，試證明：f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)． 證明 設x1，x2∈R，取x1
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