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2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教案 理 新人教A版
xx高考會這樣考 1.考查指數(shù)函數(shù)的求值、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質；2.討論與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的性質；3.將指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、抽象函數(shù)相結合，綜合考查指數(shù)函數(shù)知識的應用．
復習備考要這樣做 1.重視指數(shù)的運算，熟練的運算能力是高考得分的保證；2.掌握兩種情況下指數(shù)函數(shù)的圖象和性質，在解題中要善于分析，靈活使用；3.對有關的復合函數(shù)要搞清函數(shù)的結構．
1． 根式的性質
(1)()n＝a.
(2)當n為奇數(shù)時＝a.
當n為偶數(shù)時＝
2． 有理數(shù)指數(shù)冪
(1)冪的有關概念
①正整數(shù)指數(shù)冪：an＝aa… (n∈N*)．
②零指數(shù)冪：a0＝1(a≠0)．
③負整數(shù)指數(shù)冪：a－p＝(a≠0，p∈N*)．
④正分數(shù)指數(shù)冪：a＝(a>0，m、n∈N*，且n>1)．
⑤負分數(shù)指數(shù)冪：a－＝＝ (a>0，m、n∈N*，且n>1)．
⑥0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．
(2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質
①aras＝ar＋s(a>0，r、s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r、s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3． 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質
y＝ax
a>1
0
0時，y>1；
x<0時，00時，01
(6)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)
(7)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)
數(shù)a按：01進行分類討論．
[難點正本 疑點清源]
1． 根式與分數(shù)指數(shù)冪的實質是相同的，通常利用分數(shù)指數(shù)冪的意義把根式的運算轉化為冪
的運算，從而可以簡化計算過程．
2． 指數(shù)函數(shù)的單調性是底數(shù)a的大小決定的，因此解題時通常對底數(shù)a按：01
進行分類討論．
3． 比較指數(shù)式的大小方法：利用指數(shù)函數(shù)單調性、利用中間值．
1． 化簡[(－2)6]－(－1)0的值為________．
答案 7
解析 [(－2)6]－(－1)0＝(26)－1＝23－1＝7.
2． 若函數(shù)y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是__________．
答案 (－，－1)∪(1，)
解析 由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，得00，且a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，則實數(shù)a＝________.
答案
解析 當a>1時，x∈[0,2]，y∈[0，a2－1]．
因定義域和值域一致，故a2－1＝2，即a＝.
當00，且a≠1)的圖象可能是 ( )
答案 D
解析 當a>1時，y＝ax－為增函數(shù)，且在y軸上的截距為0<1－<1，排除A，B.
當00，且a≠1)，f(2)＝4， ( )
A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2)
C．f(1)>f(2) D．f(－2)>f(2)
答案 A
解析 ∵f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，
∴a－2＝4，∴a＝，
∴f(x)＝－|x|＝2|x|，∴f(－2)>f(－1)，故選A.
題型一 指數(shù)冪的運算
例1 (1)計算：(124＋22)－27＋16－2(8－)－1；
(2)已知x＋x－＝3，求的值．
思維啟迪：(1)本題是求指數(shù)冪的值，按指數(shù)冪的運算律運算即可；
(2)注意x2＋x－2、x＋x－與x＋x－之間的關系．
解 (1)(124＋22)－27＋16－2(8－)－1
＝(11＋)2－33＋24－28－(－1)
＝11＋－3＋23－223
＝11＋－＋8－8＝11.
(2)∵x＋x－＝3，∴(x＋x－)2＝9，
∴x＋2＋x－1＝9，∴x＋x－1＝7，
∴(x＋x－1)2＝49，∴x2＋x－2＝47，
又∵x＋x＋－＝(x＋x－)(x－1＋x－1)
＝3(7－1)＝18，
∴＝3.
探究提高 根式運算或根式與指數(shù)式混合運算時，將根式化為指數(shù)式計算較為方便，對
于計算的結果，不強求統(tǒng)一用什么形式來表示，如果有特殊要求，要根據(jù)要求寫出結果．但結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又有負指數(shù)．
計算下列各式的值：
(1)－＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0；
(2)－(－1)0－；
(3) (a>0，b>0)．
解 (1)原式＝－＋－－＋1
＝＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
(2)原式＝－2－1－
＝(－2)－1－(－2)＝－1.
(3)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝ab－1.
題型二 指數(shù)函數(shù)的圖象、性質的應用
例2 (1)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結論
正確的是 ( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．01，∴由復合函數(shù)的單調性，可知f(x)＝3在(－∞，1]上是減函數(shù)，在[4，
＋∞)上是增函數(shù)．
探究提高 (1)與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的圖象的研究，往往利用相應指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象．
(2)對復合函數(shù)的性質進行討論時，要搞清復合而成的兩個函數(shù)，然后對其中的參數(shù)進行討論．
(1)函數(shù)y＝的圖象大致為 ( )
答案 A
解析 y＝＝1＋，當x>0時，e2x－1>0，且隨著x的增大而增大，故y＝1
＋>1且隨著x的增大而減小，即函數(shù)y在(0，＋∞)上恒大于1且單調遞減．又函
數(shù)y是奇函數(shù)，故只有A正確．
(2)若函數(shù)f(x)＝e－(x－μ)2 (e是自然對數(shù)的底數(shù))的最大值是m，且f(x)是偶函數(shù)，則m
＋μ＝________.
答案 1
解析 由于f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，
即e－(－x－μ)2＝e－(x－μ)2，∴(x＋μ)2＝(x－μ)2，∴μ＝0，
∴f(x)＝e－x2.又y＝ex是R上的增函數(shù)，而－x2≤0，
∴f(x)的最大值為e0＝1＝m，∴m＋μ＝1.
題型三 指數(shù)函數(shù)的綜合應用
例3 (1)k為何值時，方程|3x－1|＝k無解？有一解？有兩解？
(2)已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2x－.
①若f(x)＝，求x的值；
②若2tf(2t)＋mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
思維啟迪：方程的解的問題可轉為函數(shù)圖象的交點問題；恒成立可以通過分離參數(shù)求最
值或值域來解決．
解 (1)函數(shù)y＝|3x－1|的圖象是由函數(shù)y＝3x的圖象向下平移一個單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數(shù)圖象如圖所示．
當k<0時，直線y＝k與函數(shù)y＝|3x－1|的圖象無交點，即方程
無解；當k＝0或k≥1時，直線y＝k與函數(shù)y＝|3x－1|的圖象
有唯一的交點，所以方程有一解；
當00，∴x＝1.
②當t∈[1,2]時，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)，
∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故m的取值范圍是[－5，＋∞)．
探究提高 對指數(shù)函數(shù)的圖象進行變換是利用圖象的前提，方程f(x)＝g(x)解的個數(shù)即為函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)圖象交點的個數(shù)；復合函數(shù)問題的關鍵是通過換元得到兩個新的函數(shù)，搞清復合函數(shù)的結構．
已知f(x)＝(ax－a－x) (a>0且a≠1)．
(1)判斷f(x)的奇偶性；
(2)討論f(x)的單調性；
(3)當x∈[－1,1]時，f(x)≥b恒成立，求b的取值范圍．
解 (1)因為函數(shù)的定義域為R，所以關于原點對稱．
又因為f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，
所以f(x)為奇函數(shù)．
(2)當a>1時，a2－1>0，y＝ax為增函數(shù)，y＝a－x為減函數(shù)，從而y＝ax－a－x為增函數(shù)，
所以f(x)為增函數(shù)，
當00，且a≠1時，f(x)在定義域內單調遞增．
(3)由(2)知f(x)在R上是增函數(shù)，
所以在區(qū)間[－1,1]上為增函數(shù)，
所以f(－1)≤f(x)≤f(1)，
所以f(x)min＝f(－1)＝(a－1－a)
＝＝－1，
所以要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，則只需b≤－1，
故b的取值范圍是(－∞，－1]．
3.利用方程思想和轉化思想求參數(shù)范圍
典例：(14分)已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．
(1)求a，b的值；
(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍．
審題視角 (1)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，要求參數(shù)值，可考慮利用奇函數(shù)的性質，構建方
程：f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)．
(2)可考慮將t2－2t,2t2－k直接代入解析式化簡，轉化成關于t的一元二次不等式．也可
考慮先判斷f(x)的單調性，由單調性直接轉化為關于t的一元二次不等式．
規(guī)范解答
解 (1)因為f(x)是R上的奇函數(shù)，
所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，
從而有f(x)＝.[4分]
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，
解得a＝2.[7分]
(2)方法一 由(1)知f(x)＝，
又由題設條件得＋<0，
即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)(－22t2－k＋1)<0.[9分]
整理得23t2－2t－k>1，因底數(shù)2>1，故3t2－2t－k>0.[12分]
上式對一切t∈R均成立，從而判別式Δ＝4＋12k<0，
解得k<－.[14分]
方法二 由(1)知f(x)＝＝－＋，
由上式易知f(x)在R上為減函數(shù)，又因為f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0
等價于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因為f(x)是R上的減函數(shù)，
由上式推得t2－2t>－2t2＋k.[12分]
即對一切t∈R有3t2－2t－k>0，
從而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.[14分]
溫馨提醒 (1)根據(jù)f(x)的奇偶性，構建方程求參數(shù)體現(xiàn)了方程的思想；在構建方程時，利用
了特殊值的方法，在這里要注意：有時利用兩個特殊值確定的參數(shù)，并不能保證對所有
的x都成立．所以還要注意檢驗．
(2)數(shù)學解題的核心是轉化，本題的關鍵是將f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立等價轉化為t2
－2t>－2t2＋k恒成立．這個轉化易出錯．其次，不等式t2－2t>－2t2＋k恒成立，即對一切t∈R有3t2－2t－k>0，也可以這樣做：k<3t2－2t，t∈R，只要k比3t2－2t的最小值小即可，而3t2－2t的最小值為－，所以k<－.
方法與技巧
1．判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x＝1得到底數(shù)的值再進行比較．
2．指數(shù)函數(shù)y＝ax (a>0，a≠1)的性質和a的取值有關，一定要分清a>1與00時，函數(shù)是一個指數(shù)函數(shù)，因為00，a≠1)，滿足f(1)＝，則f(x)的單調遞減區(qū)間是 ( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案 B
解析 由f(1)＝，得a2＝，∴a＝ (a＝－舍去)，
即f(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增，
所以f(x)在(－∞，2]上遞增，在[2，＋∞)上遞減．故選B.
二、填空題(每小題5分，共15分)
5． 已知a＝，函數(shù)f(x)＝ax，若實數(shù)m、n滿足f(m)>f(n)，則m、n的大小關系為________．
答案 mf(n)，∴m0，a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大，則a的值為__________．
答案 或
解析 當01時，a2－a＝，∴a＝或a＝0(舍去)．
綜上所述，a＝或.
7. (xx洛陽調研)已知函數(shù)f(x)＝ax＋b (a>0且a≠1)的圖象如圖所
示，則a＋b的值是________．
答案 －2
解析 ∵，∴，
∴a＋b＝－2.
三、解答題(共25分)
8． (12分)設函數(shù)f(x)＝2|x＋1|－|x－1|，求使f(x)≥2的x的取值范圍．
解 y＝2x是增函數(shù)，f(x)≥2等價于
|x＋1|－|x－1|≥.①
(1)當x≥1時，|x＋1|－|x－1|＝2，∴①式恒成立．
(2)當－10且a≠1，函數(shù)y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
解 令t＝ax (a>0且a≠1)，
則原函數(shù)化為y＝(t＋1)2－2 (t>0)．
①當00，所以a＝.
②當a>1時，x∈[－1,1]，t＝ax∈，
此時f(t)在上是增函數(shù)．
所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3(a＝－5舍去)．
綜上得a＝或3.
B組 專項能力提升
一、選擇題(每小題5分，共15分)
1． 設函數(shù)f(x)＝若F(x)＝f(x)＋x，x∈R，則F(x)的值域為
( )
A．(－∞，1] B．[2，＋∞)
C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
答案 C
解析 當x>0時，F(xiàn)(x)＝＋x≥2；
當x≤0時，F(xiàn)(x)＝ex＋x，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的單調性，F(xiàn)(x)是單調遞增函數(shù)，
F(x)≤F(0)＝1，所以F(x)的值域為(－∞，1]∪[2，＋∞)．
2． (xx山東)設函數(shù)f(x)＝，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的圖象與y＝g(x)
的圖象有且僅有兩個不同的公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則下列判斷正確的是
( )
A．當a<0時，x1＋x2<0，y1＋y2>0
B．當a<0時，x1＋x2>0，y1＋y2<0
C．當a>0時，x1＋x2<0，y1＋y2<0
D．當a>0時，x1＋x2>0，y1＋y2>0
答案 B
解析 由題意知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)的圖象有且僅有兩個公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)，等價于方程＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)有兩個不同的根x1，x2，
即方程ax3＋bx2－1＝0有兩個不同非零實根x1，x2，
因而可設ax3＋bx2－1＝a(x－x1)2(x－x2)，
即ax3＋bx2－1＝a(x3－2x1x2＋xx－x2x2＋2x1x2x－x2x)，
∴b＝a(－2x1－x2)，x＋2x1x2＝0，－ax2x＝－1，
∴x1＋2x2＝0，ax2>0，
當a>0時，x2>0，
∴x1＋x2＝－x2<0，x1<0，
∴y1＋y2＝＋＝>0.
當a<0時，x2<0，
∴x1＋x2＝－x2>0，x1>0，
∴y1＋y2＝＋＝<0.
3． (xx上饒質檢)設函數(shù)f(x)＝－，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)y＝[f(x)]
的值域是 ( )
A．{0,1} B．{0，－1}
C．{－1,1} D．{1,1}
答案 B
解析 f(x)＝－＝－.
∵1＋2x>1，∴f(x)的值域是.
∴y＝[f(x)]的值域是{0，－1}．
二、填空題(每小題4分，共12分)
4． 函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3＋m (a>1)恒過點(1,10)，則m＝______.
答案 9
解析 f(x)＝ax2＋2x－3＋m在x2＋2x－3＝0時過定點(1，1＋m)或(－3,1＋m)，∴1＋m
＝10，解得m＝9.
5． 若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (1，＋∞)
解析 令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，若01，y＝ax與y＝x＋a的圖象如圖所示．
6． 關于x的方程x＝有負數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為__________．
答案
解析 由題意，得x<0，所以01，ex1－ex2<0，∴ex1＋x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
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2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教案
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