2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 6.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和教案 理 新人教A版 .DOC

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 6.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考　1.以等比數(shù)列的定義及等比中項(xiàng)為背景，考查等比數(shù)列的判定；2.運(yùn)用基本量法求解等比數(shù)列問題；3.考查等比數(shù)列的應(yīng)用問題． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.注意方程思想在解題中的應(yīng)用；2.使用公式要注意公比q＝1的情況；3.結(jié)合等比數(shù)列的定義、公式，掌握通性通法． 1． 等比數(shù)列的定義 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母__q__表示． 2． 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an＝a1qn－1. 3． 等比中項(xiàng) 若G2＝ab_(ab≠0)，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)． 4． 等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m，(n，m∈N*)． (2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，則akal＝aman. (3)若{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，，{a}，{anbn}，仍是等比數(shù)列． 5． 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，其前n項(xiàng)和為Sn， 當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1； 當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝. 6． 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為__qn__. [難點(diǎn)正本　疑點(diǎn)清源] 1． 等比數(shù)列的特征 從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項(xiàng)都是非零的，公比q也是非零常數(shù)． 2． 等比數(shù)列中的函數(shù)觀點(diǎn) 利用函數(shù)、方程的觀點(diǎn)和方法，揭示等比數(shù)列的特征及基本量之間的關(guān)系．在借用指數(shù)函數(shù)討論單調(diào)性時(shí)，要特別注意首項(xiàng)和公比的大小． 3． 兩個(gè)防范 (1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0. (2)在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形導(dǎo)致解題失誤． 1． (xx遼寧)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________. 答案　2n 解析　先判斷數(shù)列的項(xiàng)是正數(shù)，再求出公比和首項(xiàng)． a＝a10>0，根據(jù)已知條件得2＝5，解得q＝2. 所以aq8＝a1q9，所以a1＝2，所以an＝2n. 2． 在等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)均為正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，則a4＋a8＝________. 答案　 解析　由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a，a3a5＝a， 得a＋a＝41.因?yàn)閍4a8＝5， 所以(a4＋a8)2＝a＋2a4a8＋a＝41＋25＝51. 又an>0，所以a4＋a8＝. 3． 已知a，b，c成等比數(shù)列，如果a，x，b和b，y，c都成等差數(shù)列，則＋＝________. 答案　2 解析　令a＝1，b＝3，c＝9，則由題意，有x＝2，y＝6. 此時(shí)＋＝＋＝2. 4． (xx廣東)已知{an}是遞增等比數(shù)列，a2＝2，a4－a3＝4，則此數(shù)列的公比q＝________. 答案　2 解析　由a2＝2，a4－a3＝4，得方程組 ?q2－q－2＝0， 解得q＝2或q＝－1.又{an}是遞增等比數(shù)列，故q＝2. 5． (xx課標(biāo)全國(guó))已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10等于(　　) A．7 B．5 C．－5 D．－7 答案　D 解析　方法一　由題意得 ∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7. 方法二　由解得或 ∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7. 題型一　等比數(shù)列的基本量的計(jì)算 例1　等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S1，S3，S2成等差數(shù)列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn. 思維啟迪：(1)由S1，S3，S2成等差數(shù)列，列方程求出q. (2)由a1－a3＝3求出a1，再由通項(xiàng)和公式求出Sn. 解　(1)依題意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)． 由于a1≠0，故2q2＋q＝0. 又q≠0，從而q＝－. (2)由已知可得a1－a12＝3.故a1＝4. 從而Sn＝＝. 探究提高　等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解． 等比數(shù)列{an}滿足：a1＋a6＝11，a3a4＝，且公比q∈(0,1)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn＝21，求n的值． 解　(1)∵a3a4＝a1a6＝，又a1＋a6＝11， 故a1，a6可看作方程x2－11x＋＝0的兩根， 又q∈(0,1)，∴a1＝，a6＝， ∴q5＝＝，∴q＝， ∴an＝n－1＝n－6. (2)由(1)知Sn＝＝21，解得n＝6. 題型二　等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 例2　在等比數(shù)列{an}中， (1)若已知a2＝4，a5＝－，求an； (2)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值． 思維啟迪：注意巧用性質(zhì)，減少計(jì)算．如：對(duì)于等比數(shù)列{an}，若m＋n＝p＋q (m、n、p、q∈N*)，則aman＝apaq；若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則aman＝a. 解　(1)設(shè)公比為q，則＝q3，即q3＝－， ∴q＝－，∴an＝a5qn－5＝n－4. (2)∵a3a4a5＝8，又a3a5＝a，∴a＝8，a4＝2. ∴a2a3a4a5a6＝a＝25＝32. 探究提高　在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度． (1)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，則a4a5a6等于 (　　) A．5 B．7 C．6 D．4 (2)已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S3＝8，S6＝7，則a4＋a5＋…＋a9＝________. 答案　(1)A　(2)－ 解析　(1)把a(bǔ)1a2a3，a4a5a6，a7a8a9看成一個(gè)整體，則由題意，知它們分別是一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)，第4項(xiàng)和第7項(xiàng)，這里的第4項(xiàng)剛好是第1項(xiàng)與第7項(xiàng)的等比中項(xiàng)．因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以a4a5a6＝＝＝5. (2)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，知S3，S6－S3，S9－S6成等比數(shù)列，即8,7－8，S9－7成等比數(shù)列，所以(－1)2＝8(S9－7)．解得S9＝7.所以a4＋a5＋…＋a9＝S9－S3＝7－8＝－. 題型三　等比數(shù)列的判定 例3　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1 (n≥2)，且an＋Sn＝n. (1)設(shè)cn＝an－1，求證：{cn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式． 思維啟迪：(1)由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1轉(zhuǎn)化成an與an＋1的遞推關(guān)系，再構(gòu)造數(shù)列{an－1}． (2)由cn求an再求bn. (1)證明　∵an＋Sn＝n，① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， ∴＝，∴{an－1}是等比數(shù)列． 又a1＋a1＝1，∴a1＝， ∵首項(xiàng)c1＝a1－1，∴c1＝－，公比q＝. 又cn＝an－1， ∴{cn}是以－為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． (2)解　由(1)可知cn＝n－1＝－n， ∴an＝cn＋1＝1－n. ∴當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝an－an－1＝1－n－ ＝n－1－n＝n. 又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n. 探究提高　注意判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的方法，另外第(2)問中要注意驗(yàn)證n＝1時(shí)是否符合n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式，能合并的必須合并． 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an＋1，求證：{an}是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式． 證明　∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1. ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an. ∴an＋1＝2an，又∵S1＝2a1＋1＝a1， ∴a1＝－1≠0.又由an＋1＝2an知an≠0， ∴＝2.∴{an}是以－1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列． ∴an＝－12n－1＝－2n－1. 等差與等比數(shù)列綜合性問題的求解 典例：(12分)(xx湖北)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列． 審題視角　設(shè)等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解出公差d，從而求出數(shù)列{bn}的首項(xiàng)、公比；利用等比數(shù)列的定義可解決第(2)問． 規(guī)范解答 (1)解　設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為a－d，a，a＋d， 依題意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.[2分] 所以{bn}中的b3，b4，b5依次為7－d,10,18＋d. 依題意，有(7－d)(18＋d)＝100， 解得d＝2或d＝－13(舍去)．[4分] 故{bn}的第3項(xiàng)為5，公比為2. 由b3＝b122，即5＝b122，解得b1＝. 所以{bn}是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為bn＝2n－1＝52n－3.[6分] (2)證明　數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝＝52n－2－，即Sn＋＝52n－2.[8分] 所以S1＋＝，＝＝2. 因此是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．[12分] 答題模板 求解等差和等比數(shù)列綜合性問題的一般步驟： 第一步：設(shè)等比數(shù)列、等差數(shù)列的基本量； 第二步：根據(jù)條件列方程，解出基本量； 第三步：根據(jù)公式求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和； 第四步：根據(jù)定義證明等差、等比數(shù)列；對(duì)于等比數(shù)列，一定要說明首項(xiàng)非零． 溫馨提醒　關(guān)于等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算，其實(shí)質(zhì)就是解方程或方程組，需要認(rèn)真計(jì)算，靈活處理已知條件．容易出現(xiàn)的問題主要有兩個(gè)方面：一是計(jì)算出現(xiàn)失誤，特別是利用因式分解求解方程的根時(shí)，不注意對(duì)根的符號(hào)進(jìn)行判斷；二是不能靈活運(yùn)用等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件，導(dǎo)致列出的方程或方程組較為復(fù)雜，增大運(yùn)算量． 方法與技巧 1． 等比數(shù)列的判定方法有以下幾種： (1)定義：＝q (q是不為零的常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列． (2)通項(xiàng)公式：an＝cqn－1 (c、q均是不為零的常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列． (3)等比中項(xiàng)法：a＝anan＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列． 2． 方程觀點(diǎn)以及基本量(首項(xiàng)和公比a1，q)思想仍然是求解等比數(shù)列問題的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五個(gè)量中，知三求二． 3． 在求解與等比數(shù)列有關(guān)的問題時(shí)，除了要靈活地運(yùn)用定義和公式外，還要注意性質(zhì)的應(yīng)用，以減少運(yùn)算量而提高解題速度． 失誤與防范 1． 特別注意q＝1時(shí)，Sn＝na1這一特殊情況． 2． 由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0. 3． 在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． (xx遼寧)若等比數(shù)列{an}滿足anan＋1＝16n，則公比為 (　　) A．2　　　　B．4　　　　C．8　　　　D．16 答案　B 解析　由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162， 后式除以前式得q2＝16，∴q＝4. ∵a1a2＝aq＝16>0，∴q>0，∴q＝4. 2． 等比數(shù)列中，|a1|＝1，a5＝－8a2.a5＞a2，則an等于 (　　) A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1 C．(－2)n D．－(－2)n 答案　A 解析　∵|a1|＝1，∴a1＝1或a1＝－1. ∵a5＝－8a2＝a2q3，∴q3＝－8，∴q＝－2. 又a5＞a2，即a2q3＞a2，∴a2＜0.而a2＝a1q＝a1(－2)＜0，∴a1＝1.故an＝a1(－2)n－1＝(－2)n－1. 3． 在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{an＋1}也是等比數(shù)列，則Sn等于(　　) A．2n＋1－2 B．3n C．2n D．3n－1 答案　C 解析　由已知得數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為2,2q,2q2.又(2q＋1)2＝3(2q2＋1)，整理得2q2－4q＋2＝0，解得q＝1，Sn＝2n. 4． 在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前3項(xiàng)之和S3＝21，則公比q的值為 (　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 答案　C 解析　根據(jù)已知條件得＝3. 整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 在等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，則a7＋a8＝________. 答案　240 解析　∵a1＋a2＝a1(1＋q)＝30，a3＋a4＝a1q2(1＋q)＝60， ∴q2＝2，∴a7＋a8＝a1q6(1＋q)＝[a1(1＋q)](q2)3 ＝308＝240. 6． 在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＝2(an－1＋an－2＋…＋a2＋a1) (n≥2，n∈N*)，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是____________． 答案　an＝ 解析　由已知n≥2時(shí)，an＝2Sn－1① 當(dāng)n≥3時(shí)，an－1＝2Sn－2② ①－②整理得＝3 (n≥3)， ∴an＝ 7． 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列，則q的值為________． 答案?。? 解析　由已知條件得2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2， 即2Sn＝2Sn＋2an＋1＋an＋2，即＝－2. 三、解答題(共22分) 8． (10分)已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝2，a5＝8. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則由已知得.∴a1＝0，d＝2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－2. (2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，則由已知得q＋q2＝a4， ∵a4＝6，∴q＝2或q＝－3. ∵等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴q＝2. ∴{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝＝＝2n－1. 9． (12分)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝(an＋1)(an＋2)．若a2，a4，a9成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解　因?yàn)镾n＝(an＋1)(an＋2)，① 所以當(dāng)n＝1時(shí)，有S1＝a1＝(a1＋1)(a1＋2)， 解得a1＝1或a1＝2； 當(dāng)n≥2時(shí)，有Sn－1＝(an－1＋1)(an－1＋2)．② ①－②并整理，得(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0 (n≥2)． 因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以an－an－1＝3 (n≥2)． 當(dāng)a1＝1時(shí)，an＝1＋3(n－1)＝3n－2，此時(shí)a＝a2a9成立． 當(dāng)a1＝2時(shí)，an＝2＋3(n－1)＝3n－1，此時(shí)a＝a2a9不成立． 所以a1＝2舍去．故an＝3n－2. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，若Sn是{an}的前n項(xiàng)和，且28S3＝S6，則數(shù)列的前4項(xiàng)和為 (　　) A.或4 B.或4 C. D. 答案　C 解析　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q. 當(dāng)q＝1時(shí)，由a1＝1，得28S3＝283＝84. 而S6＝6，兩者不相等，因此不合題意． 當(dāng)q≠1時(shí)，由28S3＝S6及首項(xiàng)為1，得＝.解得q＝3.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－1. 所以數(shù)列的前4項(xiàng)和為1＋＋＋＝. 2． 已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四個(gè)根組成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，則等于(　　) A. B.或 C. D．以上都不對(duì) 答案　B 解析　設(shè)a，b，c，d是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四個(gè)根，不妨設(shè)aan，且a3＋2是a2與a4的等差中項(xiàng)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是______________． 答案　an＝2n 解析　因?yàn)閍3＋2是a2與a4的等差中項(xiàng)， 所以2(a3＋2)＝a2＋a4. 因?yàn)閍2＋a3＋a4＝28，所以2(a3＋2)＋a3＝28. 所以a3＝8，a2＋a4＝20. 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q， 則解得或 因?yàn)閿?shù)列{an}滿足an＋1>an，所以a1＝2，q＝2. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n. 5． 在等比數(shù)列{an}中，若a9＋a10＝a (a≠0)，a19＋a20＝b，則a99＋a100＝________. 答案　 解析　因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以a9＋a10，a19＋a20，…，a99＋a100成等比數(shù)列，從而得a99＋a100＝. 6． 已知數(shù)列{xn}滿足lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N*)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝1，則lg(x101＋x102＋…＋x200)＝________. 答案　100 解析　由lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N*)， 得lg xn＋1－lg xn＝1，∴＝10， ∴數(shù)列{xn}是公比為10的等比數(shù)列，∴xn＋100＝xn10100， ∴x101＋x102＋…＋x200＝10100(x1＋x2＋x3＋…＋x100)＝10100，∴l(xiāng)g(x101＋x102＋…＋x200)＝lg 10100＝100. 三、解答題 7． (13分)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，公差d>0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列{bn}的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)． (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)n∈N*均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2 013. 解　(1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d， ∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)．解得d＝2 (∵d>0). ∴an＝1＋(n－1)2＝2n－1. 又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴數(shù)列{bn}的公比為3， ∴bn＝33n－2＝3n－1. (2)由＋＋…＋＝an＋1得 當(dāng)n≥2時(shí)，＋＋…＋＝an. 兩式相減得：n≥2時(shí)，＝an＋1－an＝2. ∴cn＝2bn＝23n－1 (n≥2)． 又當(dāng)n＝1時(shí)，＝a2，∴c1＝3. ∴cn＝. ∴c1＋c2＋c3＋…＋c2 013 ＝3＋＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.