2019-2020年高中數學 第二章《推理與證明》單元檢測 蘇教版選修2-2.doc

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2019-2020年高中數學 第二章《推理與證明》單元檢測 蘇教版選修2-2 一、知識點梳理 二、學法指導 1．推理與證明是數學的基礎思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式，推理一般包括合情推理與演繹推理，在解決問題的過程中，合情推理具有猜測結論和發(fā)現結論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)．證明包括直接證明與間接證明，其中數學歸納法是將無窮的歸納過程，根據歸納原理轉化為有限的特殊(直接驗證和演繹推理相結合)的過程，要很好地掌握其原理并靈活運用． 2．推理與證明問題綜合了函數、方程、不等式、解析幾何與立體幾何等多個知識點，需要采用多種數學方法才能解決問題，如：函數與方程思想、化歸思想、分類討論思想等，對學生的知識與能力要求較高，是對學生思維品質和邏輯推理能力，表述能力的全面考查，可以彌補客觀題的不足，是提高區(qū)分度，增強選拔功能的重要題型，因此在高考試題中，推理與證明問題正在成為一個熱點題型．高考的“推理與證明”一般不單獨設題，主要和其他知識結合在一起，屬于綜合題，可以綜合在諸如立體幾何、解析幾何、數列、函數、不等式等內容中，既有計算又有證明，解決此類題目時，要建立合理的解題思路，對典型的證明方法一定要掌握． (1)在“推理與證明”的內容中，合情推理是根據已有的事實和正確的結論(包括定義、公理、定理等)、實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程，歸納和類比是合情推理常用的思維方法．在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現結論、探索和提供思路的作用，有得于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)．合情推理一般以客觀題的形式出現． 演繹推理是根據已有的事實和正確的結論，按照嚴格的邏輯法則得到的新結論的推理過程，是邏輯思維能力的一個重要體現，試題中考查該部分內容的比例較大，命題時既可以使用填空題的形式，又可以在解答題型中，以證明題的形式進行考查，立體幾何是考查“演繹推理”的最好教材． (2)“直接證明和間接證明”在高考中一般也不會直接命題，仍然是以其他知識為載體，在考查其他知識的同時，考查本部分內容，是每年高考的考查重點，幾乎涉及數學的各方面知識，代表著研究性命題的發(fā)展趨勢，填空題、解答題都可能涉及．該部分命題的方向主要在函數、三角恒等變換、數列、立體幾何、解析幾何等方面，主要以考查“直接證明”中的綜合法為主． (3)運用數學歸納法證明問題時，關鍵是n＝k＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現目標，完成解題．由于“數學歸納法”僅限于與自然數有關的命題，故單獨命題的可能性不大，多數以數列及不等式為載體來綜合考查．高考常見的題型有：證明等式問題、證明不等式問題、證明整除問題和解決數列中的探究性問題等，但不排除在客觀題中考查數學歸納法的原理和證明步驟． 三、單元自測 （一）填空題(每小題5分，共70分) 1．下面說法正確的個數是____ ．　 (1)演繹推理是由一般到特殊的推理；(2)演繹推理得到的結論一定是正確的；(3)演繹推理一般模式是“三段論”形式；(4)演繹推理的結論的正誤與大前提、小前提和推理形式有關 2．命題：“有些有理數是分數，整數是有理數，則整數是分數”結論是錯誤的，其原因是____． 3．在數列中，，則 4．已知是R上的偶函數，對任意的都有成立，若，則_______ ．　 5．已知函數，若，則_______ ．　 6． 若， 則____ ． 7．函數，若 則的所有可能值為________ ． 8．設則的最小值是______ ． 9．已知實數，且函數有最小值，則=__________． 10．已知是不相等的正數，，則的大小關系是_________． 11．若正整數滿足，則 12．若數列中，，則． 13．若等差數列的前項和公式為， 則=_______，首項=_______；公差=_______． 14．若，則． （二）解答題 15．(本題14分)若數列的通項公式，記 ，試通過計算的值，推測出． 16．(本題14分) 設函數中，均為整數，且均為奇數． 求證：無整數根． 17．(本題14分)的三個內角成等差數列，求證：． 18．(本題16分)計算：． 19．(本題16分)設函數f(x)是滿足不等式 (k∈N*)的自然數x的個數， (1)求f(x)的解析式； (2)記Sn=f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，求Sn的解析式； (3)令Pn=n2＋n－1 (n∈N* )，試比較Sn與Pn的大?。? 20．(本題16分)已知數列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1， (1) 寫出a1， a2， a3，并推測an的表達式； (2) 用數學歸納法證明所得的結論． 單元自測 1. 3 2. 大前提錯誤 3. 4. 0 5. 6.89 7. ，當時，； 當時， 8. －3 令 9. 有最小值，則，對稱軸， 即 10. 11. 12. 前項共使用了個奇數，由第個到第個奇數的和組成，即 13. ，其常數項為，即 ， 14. 而 15. ………………………………14分 16. 假設有整數根n 則………………………………4分 而均為奇數，即為奇數，為偶數，……………………………6分 則同時為奇數或同時為偶數，為奇數，………………………………8分 當為奇數時，為偶數； 當為偶數時，也為偶數，即為奇數， 與矛盾?！?2分 無整數根?！?4分 17. 要證原式，只要證 即只要證而 ………………………………14分 18. 解： ………………………………16分 19. （1）解不等式得：2k-1≤x≤2k，自然數的個數為：2k -2k-1+1=2k-1+1， f(x)的解析式為: f(x)= 2x-1+1； ……………………………5分 (2) Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)= 20 +21+22 +…+2n-1+n=2n+n-1；…………………10分 (3)比較2n與n2的大小，（證明略） 當n=2,4時, Ｓn=Ｐn；當n=3時，Ｓn<Ｐn；當n=1,n≥5 (n∈N+)時Ｓn>Ｐn ………………………………16分 20. (1) a1＝, a2＝, a3＝, 猜測 an＝2－ …………………6分 (2) ①由（1）已得當n＝1時，命題成立； ………………………………8分 ②假設n＝k時,命題成立，即 ak＝2－, 當n＝k＋1時, a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1, 且a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak ∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3, ∴2ak＋1＝2+ ak =2＋2－, ak＋1＝2－, 即當n＝k＋1時,命題成立。 ………………………………14分 根據①②得對于n∈N+ ，an＝2－都成立……………………………16分