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2019年高考數學 第二章 第十二節(jié) 導數在實際問題中的應用及綜合應用課時提升作業(yè) 文 北師大版
一、選擇題
1.(xx西安模擬)函數y=f(x)在定義域(-,3)內的圖像如圖所示,記y=f(x)的導函數為y=f′(x),則不等式f′(x)≤0的解集為( )
(A)[-1,]∪[,]
(B)[-,1]∪[2,3)
(C)(-,]∪[1,2)
(D)(-,-]∪[,)∪[,3)
2.若對任意的x>0,恒有l(wèi)nx≤px-1(p>0),則p的取值范圍是( )
(A)(0,1] (B)(1,+∞)
(C)(0,1) (D)[1,+∞)
3.(xx黃山模擬)在半徑為R的半球內有一內接圓柱,則這個圓柱的體積的最大值是( )
(A)πR3 (B)πR3 (C)πR3 (D)πR3
4.(xx宣城模擬)對于R上可導的任意函數f(x),若滿足(x-1)f′(x)≥0,則必有( )
(A)f(0)+f(2)<2f(1) (B)f(0)+f(2)≤2f(1)
(C)f(0)+f(2)≥2f(1) (D)f(0)+f(2)>2f(1)
5.(xx咸陽模擬)函數y=2x3+1的圖像與函數y=3x2-b的圖像有三個不相同的交點,則實數b的取值范圍是( )
(A)(-2,-1) (B)(-1,0)
(C)(0,1) (D)(1,2)
6.(xx安慶模擬)設f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,當x<0時,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且f(-3)g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是
( )
(A)(-3,0)∪(3,+∞)
(B)(-3,0)∪(0,3)
(C)(-∞,-3)∪(3,+∞)
(D)(-∞,-3)∪(0,3)
二、填空題
7.已知函數f(x)=xsinx,x∈R,f(-4),f(),f(-)的大小關系為 (用“<”連接).
8.(xx宜春模擬)設函數f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若對于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,則實數a的值為 .
9.(能力挑戰(zhàn)題)在平面直角坐標系xOy中,已知點P是函數f(x)=ex(x>0)的圖像上的動點,該圖像在點P處的切線l交y軸于點M,過點P作l的垂線交y軸于點N,設線段MN的中點的縱坐標為t,則t的最大值是 .
三、解答題
10.(xx蚌埠模擬)已知函數f(x)=+,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x+2y-3=0.
(1)求a,b的值.
(2)證明:當x>0,且x≠1時,f(x)>.
11.為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元.設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.
(1)求k的值及f(x)的表達式.
(2)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最小,并求最小值.
12.(能力挑戰(zhàn)題)已知函數f(x)=x3-x2+ax-a(a∈R).
(1)當a=-3時,求函數f(x)的極值.
(2)若函數f(x)的圖像與x軸有且只有一個交點,求a的取值范圍.
答案解析
1.【解析】選B.由函數y=f(x)的圖像知,函數y=f(x)在[-,1],[2,3)上是減少的,故f′(x)≤0的解集為[-,1]∪[2,3).
2.【解析】選D.原不等式可化為lnx-px+1≤0,令f(x)=lnx-px+1,故只需f(x)max≤0.由f′(x)=-p,知f(x)在(0,)上是增加的,在(,+∞)上是減少的.
故f(x)max=f()=-lnp,由-lnp≤0得p≥1.
3.【解析】選A.設圓柱的高為h,則圓柱的底面半徑為,圓柱的體積為V=π(R2-h2)h=-πh3+πR2h(0
0時的解集.
【解析】選D. x<0時,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,
即x<0時,[f(x)g(x)]′>0.
∴f(x)g(x)為增函數,且f(-3)g(-3)=0.
故當x<-3時,f(x)g(x)<0.
∵f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,
∴f(x)g(x)為奇函數,
當x>0時,由f(x)g(x)<0得00,即x∈(0,1]時,f(x)=ax3-3x+1≥0可化為a≥-,
設g(x)=-,則g′(x)=,所以g(x)在區(qū)間(0,]上是增加的,在區(qū)間[,1]上是減少的,因此g(x)max=g()=4,從而a≥4.當x<0,即x∈[-1,0)時,同理a≤-.g(x)在區(qū)間[-1,0)上是增加的,∴g(x)min=g(-1)=4,從而a≤4,綜上可知a=4.
答案:4
【變式備選】已知兩函數f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k為實數.
(1)對任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范圍.
(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求k的取值范圍.
(3)對任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求k的取值范圍.
【解析】(1)設h(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k,
問題轉化為x∈[-3,3]時,h(x)≥0恒成立,
即h(x)min≥0,x∈[-3,3].
令h′(x)=6x2-6x-12=0,得x=2或x=-1.
∵h(-3)=k-45,h(-1)=k+7,h(2)=k-20,
h(3)=k-9,
∴h(x)min=k-45≥0,
得k≥45.
(2)據題意:存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,
即為h(x)=g(x)-f(x)≥0在x∈[-3,3]上能成立,
∴h(x)max≥0.
∴h(x)max=k+7≥0,
得k≥-7.
(3)據題意:f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3],
易得f(x)max=f(3)=120-k,
g(x)min=g(-3)=-21.
∴120-k≤-21,
得k≥141.
9.【思路點撥】本題考查的是直線的切線方程以及函數的單調性問題,解題的關鍵是表示出中點的縱坐標t,然后考慮單調性求解最值.
【解析】設P(x0,),x0>0,則
l:y-=(x-x0),
∴M(0,(1-x0)),過點P作l的垂線:
y-=-(x-x0),∴N(0,+x0),
t=[(1-x0)++x0]
=+x0(-)
t′=(+)(1-x0),
所以,t在(0,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減,
tmax=(e+).
答案:(e+)
10.【解析】(1)由f(x)=+,得
f′(x)=a-=a-,
∵曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x+2y-3=0,
∴解得
(2)由(1)知f(x)=+,
∴f(x)-=(2lnx-),
考慮函數h(x)=2lnx-(x>0),則
h′(x)=-.
所以當x≠1時,h′(x)<0,h(x)在(0,+∞)上是減少的.而h(1)=0,故
當x∈(0,1)時,h(x)>0,可得h(x)>0;
當x∈(1,+∞)時,h(x)<0,可得h(x)>0;
從而當x>0,且x≠1時,f(x)->0,
即f(x)>.
11.【解析】(1)設隔熱層厚度為xcm,由題設,每年能源消耗費用為C(x)=.
再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=.
而建造費用為C1(x)=6x,
最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)=20C(x)+C1(x)=20+6x=+6x(0≤x≤10).
(2)f′(x)=6-,
令f′(x)=0,即=6.
解得x=5或x=-(舍去).
當00,
故x=5是f(x)的最小值點,對應的最小值為
f(5)=65+=70.
當隔熱層修建5cm厚時,總費用達到最小值為70萬元.
12.【思路點撥】(1)求出導函數的零點,再判斷零點兩側導數的符號.(2)三次函數的零點決定于函數的極值的符號,若函數f(x)的圖像與x軸有且只有一個交點,則此時極大值與極小值同號.
【解析】(1)當a=-3時,f(x)=x3-x2-3x+3.
f′(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).
令f′(x)=0,得x1=-1,x2=3.
當x<-1時,f′(x)>0,則函數在(-∞,-1)上是增加的,
當-13時,f′(x)>0,則函數在(3,+∞)上是增加的.
所以當x=-1時,函數f(x)取得極大值為f(-1)=--1+3+3=,
當x=3時,函數f(x)取得極小值為
f(3)=27-9-9+3=-6.
(2)因為f′(x)=x2-2x+a,
所以Δ=4-4a=4(1-a).
①當a≥1時,則Δ≤0,∴f′(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上是增加的.
f(0)=-a<0,f(3)=2a>0,所以,當a≥1時函數的圖像與x軸有且只有一個交點.
②a<1時,則Δ>0,∴f′(x)=0有兩個不等實數根,不妨設為x1,x2(x10,解得a>0.
而當00.
故0
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第二章
第十二節(jié)
導數在實際問題中的應用及綜合應用課時提升作業(yè)
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