2019-2020年八年級數(shù)學(xué)上冊 第一章 勾股定理教案 北師大版.doc

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2019-2020年八年級數(shù)學(xué)上冊 第一章 勾股定理教案 北師大版 知識與技能目標： 1.體驗勾股定理的探索過程，由特例猜想勾股定理，再由特例驗證勾股定理. 2.會利用勾股定理解釋生活中的簡單現(xiàn)象． 過程與方法目標： 1.在學(xué)生充分觀察、歸納、猜想、探索勾股定理的過程中，發(fā)展合情推理能力，體會數(shù)形結(jié)合的思想． 2.在探索勾股定理的過程中，發(fā)展學(xué)生歸納、概括和有條理地表達活動過程及結(jié)論的能力． 情感態(tài)度與價值觀目標： 1.培養(yǎng)學(xué)生積極參與、合作交流的意識． 2.在探索勾股定理的過程中，體驗獲得成功的快樂，鍛煉學(xué)生克服困難的勇氣． 教學(xué)重點 探索和驗證勾股定理． 教學(xué)難點 在方格紙上通過計算面積的方法探索勾股定理． 教學(xué)方法 交流—探索—猜想. 在方格紙上，同學(xué)們通過計算以直角三角形的三邊為邊長的三個正方形的面積，在合作交流的過程中，比較這三個正方形的面積，由此猜想出直角三角形的三邊關(guān)系． 教具準備 1.學(xué)生每人課前準備若干張方格紙. 2.投影片三張： 第一張：填空(記作1.1.1 A)； 第二張：問題串(記作1.1.1 B)； 第三張：做一做(記作1.1.1 C). 教學(xué)過程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 出示投影片(1.1.1 A) (1)三角形按角分類，可分為_________、_________、_________. (2)對于一般的三角形來說，判斷它們?nèi)鹊臈l件有哪些？對于直角三角形呢？ (3)有兩個直角三角形，如果有兩條邊對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形一定全等嗎？ ［師］上面三個小問題是我們以前討論過的，我們簡單的回憶一下. ［生］(1)三角形按角的大小來分類可分為：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形； (2)對于一般三角形來說，我們可以用SAS(邊角邊)、ASA(角邊角)、AAS(角角邊)、SSS(邊邊邊)來判斷兩個三角形全等；而對于直角三角形來說，除以上四種方法外，還可以用HL(即有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等). (3)兩個直角三角形，有兩邊對應(yīng)相等，有兩種情況： 第一種情況：兩條直角邊對應(yīng)相等，這時，我們可注意到它們的夾角也對應(yīng)相等，利用SAS可判斷它們?nèi)? 第二種情況：一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等，利用HL公理即可判斷它們?nèi)? 綜上所述，兩個直角三角形，如果有兩邊對應(yīng)相等，則這兩個直角三角形全等. ［師］我們可以注意到直角三角形有它獨有的一些特征.在我們學(xué)習(xí)和生活中，你是否還發(fā)現(xiàn)直角三角形的其他特征呢？ 這節(jié)課，我們就來繼續(xù)研究直角三角形. Ⅱ.講述新課 1.問題串 ［師］(出示投影片1.1.1 B) 觀察下圖，并回答問題： (1)觀察圖1. 正方形A中含有_________個小方格，即A的面積是_________個單位面積； 正方形B中含有_________個小方格，即B的面積是_________個單位面積； 正方形C中含有_________個小方格，即C的面積是_________個單位面積. (2)在圖2、圖3中，正方形A、B、C中各含有多少個小方格？它們的面積各是多少？你是如何得到上述結(jié)果的？與同伴交流. (3)請將上述結(jié)果填入下表，你能發(fā)現(xiàn)正方形A，B，C的面積關(guān)系嗎？ A的面積(單位面積) B的面積(單位面積) C的面積(單位面積) 圖1 圖2 圖3 ［生］在圖1中，正方形A含1個小方格，所以它的面積是1個單位面積；正方形B含1個小方格，所以B的面積也是1個單位面積；正方形C含2個小方格，所以C的面積是2個單位面積. ［師］如何求得正方形C的面積呢？ ［生］正方形C可劃分為四個直角邊長都為1個單位的四個全等的等腰直角三角形，所以C的面積為4(11)=2個單位面積. ［生］我們觀察可發(fā)現(xiàn)，這四個等腰直角三角形重新拼擺，剛好可拼擺成2個小方格，所以C的面積為2個單位面積. ［生］正方形C還可以看成邊長為2個單位的正方形面積的一半，即C的面積為22=2個單位面積. ［師］同學(xué)們能夠不拘一格地積極思考問題，用多種方法去求得圖1中C的面積，值得發(fā)揚廣大，那么圖2，圖3中的A，B，C的面積是否可借鑒圖1中的A，B，C的求法獲得呢？請與你的同學(xué)們討論、交流。 ［生］圖2中，A含有9個小方格或者說正方形A的邊長是3個單位長度，都可以求得A的面積是9個單位面積；同理可求得B含有9個小方格，所以B的面積為9個單位面積；對于正方形C來說，我們觀察可發(fā)現(xiàn)它含有18個小方格，所以C的面積為18個單位面積. ［師］看來，同學(xué)們已能從圖2中很容易地就求得了A，B，C的面積.是不是在求C的面積時也和圖1相類似，有多種求法呢？ ［生］是的.在正方形C中，我們可以把它的邊緣的12個全等的等腰直角三角形拼擺成6個小方格，再加上中間的12個小方格，正方形C共含有18個小方格，所以它的面積為18個單位面積；我們也可以把C分割成四個直角邊為3個單位長度的等腰直角三角形，也可算得C的面積為4(32)=18個單位面積. ［生］如果把組成C的四個等腰直角三角形沿正方形的邊向外翻，我們觀察又可發(fā)現(xiàn)C在邊長為6個單位長度的正方形中，并且C的面積恰好是這個正方形面積的一半即62=18個單位面積. ［生］圖3與圖1，圖2類似，所以我們可用同樣的方法觀察求得A，B，C各含4個，4個，8個小方格，面積分別為4個，4個，8個單位面積. ［師］把三個圖中A，B，C的面積分別填入上面的表格中，你能發(fā)現(xiàn)它們的關(guān)系嗎？ ［生］C的面積=A的面積+B的面積. (表格略) ［師］很好！但是A，B，C的面積為什么會有這種關(guān)系呢？我們接著觀察這三個圖，你能發(fā)現(xiàn)什么？ ［生］在前面您說過這節(jié)課我們主要研究直角三角形，而在這三個圖中，都是三個正方形圍著一個直角三角形. ［師］的確如此，從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)：三個正方形好像是“長”在直角三角形的三邊上. ［生］這說明三個正方形的邊長分別是以直角三角形的三邊為邊長得到的. ［師］那么，(3)的結(jié)論即C的面積=A的面積+B的面積與三角形有什么關(guān)系？這個關(guān)系說明什么？大家可以討論、交流. ［生］C是斜邊上的正方形，所以C的面積是斜邊的平方；A，B是兩直角邊上的正方形，所以A，B的面積分別是這兩條直角邊的平方.根據(jù)A，B，C的面積關(guān)系，我們不難發(fā)現(xiàn)：斜邊的平方就等于兩直角邊的平方和. ［師］但是，我們也不難發(fā)現(xiàn)上面3個圖中的直角三角形是等腰直角三角形？如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，會不會也有這種三邊關(guān)系呢？ 2.做一做 出示投影片(1.1.1 C) (1)觀察圖4，圖5， 并填寫下表： A的面積(單位面積) B的面積(單位面積) C的面積(單位面積) 圖4 圖5 你是怎樣得到上面結(jié)果的？與同伴交流. (2)三個正方形A，B，C的面積之間的關(guān)系？ (讓學(xué)生先獨立思考，然后填寫上面的表格.最后以小組為單位充分交流各自的想法，特別是在計算斜邊上的正方形的面積即正方形C的求法) ［師生共析］根據(jù)圖4，圖5可填表如下： A的面積(單位面積) B的面積(單位面積) C的面積(單位面積) 圖4 16 9 25 圖5 4 9 13 我們先來觀察圖4，不難看出A，B分別含有16個小方格，9個小方格，所以A、B的面積分別為16個單位面積，9個單位面積，但斜邊上的正方形C的面積的計算較為復(fù)雜，我們可用以下幾種方法求得： 第一種方法：將正方形C分割成4個直角邊長分別為3、4全等的直角三角形和中間的一個小方格，利用計算三角形面積的公式可得正方形C的面積為4(34)+1=24+1=25個單位面積. 第二種方法：直接數(shù)正方形C中含有多少個小方格，但需要適當(dāng)?shù)钠礈悾诘谝环N方法中，我們將正方形分割成5部分，直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ和一個小方格，其中直角三角形Ⅰ、Ⅲ可拼湊成一個長和寬分別為3和4的長方形，含有12個小方格，同理Ⅱ、Ⅳ也可拼湊成12個小方格，所以正方形C中共有12+12+1=25個小方格即C的面積為25個單位面積. 第三種方法：可將直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ沿正方形C的邊外翻，就得到一個邊長為7個單位長度的正方形，這時正方形C的面積就為(49－1)2+1=25個單位面積. 圖5與圖4同理. 我們從上表不難發(fā)現(xiàn)16+9=25，4+9=13即C的面積=A的面積+B的面積. ［師］圖4和圖5中的三個正方形A，B，C也是由中間的直角三角形“長”出來的，你能從三個正方形的面積關(guān)系與直角三角形的三邊聯(lián)系嗎？ ［生］圖4中的正方形A，B，C的面積分別是直角三角形兩條直角邊的平方和斜邊的平方，根據(jù)三個正方形的面積關(guān)系，我們不難發(fā)現(xiàn)，在這個直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.由圖5我們也可得出同樣的結(jié)論. 3.議一議 ［師］我們通過對前面幾個直角三角形的討論，分析，你能歸納出直角三角形三邊長度存在的關(guān)系嗎？用自己的語言表達你的重大發(fā)現(xiàn)與同伴交流. ［生］在直角三角形中，兩條直角邊長度的平方和等于斜邊的平方. ［師］這是由前面幾個特例猜想出來的，是否合理呢？我們不妨作幾個直角三角形檢驗一下.例如，作一個分別以5厘米、12厘米為直角邊的直角三角形，然后測量斜邊的長度，通過計算看一下直角三角形三邊的規(guī)律還成立嗎？ ［生］1.作一個直角∠MCN； 2.以C為圓心，分別以5厘米、12厘米為半徑畫弧交CM、CN于點A，B； 3.連結(jié)AB. 用刻度尺量出斜邊AB的長度(強調(diào)注意測量的誤差)為13厘米.經(jīng)檢驗斜邊AB2=132=169，兩直角邊平方和AC2+BC2=52+122=25+144=169.即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. ［師］很好.同學(xué)們不妨多作幾個不同的直角三角形，用上面的方法檢驗直角三角形三邊的關(guān)系. ［師生共析］通過特例猜想、檢驗，我們不難發(fā)現(xiàn)，直角三角形的三邊的規(guī)律是成立的，這就是我們將要介紹的重點內(nèi)容——勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 4.讀一讀(課本P5) 古代人就對勾股定理有過深入的研究，幾大文明古國都有相應(yīng)的勾股定理的記載.我國是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國家之一.早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個直角.如果勾(即直角三角形中較短的直角邊)等于3，股(即直角三角形中較長的直角邊)等于4，那么弦(即直角三角形中的斜邊)等于5，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，在這本書中的另一處，還記載了勾股定理的一般形式.因此，我們也把勾股定理稱為商高定理，而把商高稱為“勾股先師”.在西方，把勾股定理又稱為“畢達哥拉斯”定理.相傳二千多年，希臘著名數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯學(xué)派首先證明了勾股定理，因此他們還舉行了一次空前規(guī)模的慶?；顒?，宰殺了一百頭牲畜.但因此也引發(fā)了數(shù)學(xué)的第一次危機——邊長為1的正方形的對角線的長度不能用整數(shù)或分數(shù)來表示. 關(guān)于勾股定理的記載還有很多，同學(xué)們?nèi)绻信d趣，可查閱有關(guān)這方面的資料。 所以說勾股定理有著悠久的歷史，它反映了古代人民的聰明才智. 5.想一想 ［師］小明的媽媽買了一部29英寸(74厘米)的電視機.小明量了電視機的熒屏后，發(fā)現(xiàn)熒屏只有58厘米長和46厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯了，你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？ ［生］我聽爸爸說過，29英寸或74厘米的電視機，是指熒屏對角線的長度，而不是其長或?qū)? ［生］可是，連結(jié)熒屏的對角線將長方形的熒屏分成全等的兩個直角三角形.根據(jù)勾股定理，長2+寬2=742，可582+462≠742，這是為什么呢？ ［生］因為熒屏邊框遮蓋了一部分，所以實際測量存在一些誤差. ［師］的確如此，但這里我們要知道一個生活常識，29英寸(74厘米)指的是熒屏的對角線的長度，而非熒屏的長或?qū)? 6.例題講解 ［例］在△ABC中，∠C=90 (1)若a=8，b=6，則c=_________； (2)若 c=20，b=12，則a=_________； (3)若a∶b=3∶4，c=10，則a=_________，b=_________. ［師生共析］ 分析：在△ABC中，∠C=90，所以有關(guān)系：a2+b2=c2.在此關(guān)系式中，涉及到三個量，利用方程的思想，可“知二求一”. 解：根據(jù)題意可得a2+b2=c2. (1)若a=8，b=6，所以82+62=c2.即c2=100，c＞0，所以c=10； (2)若c=20，b=12，所以a2+122=202，即a2=202－122=(20+12)(20－12)=328=162，a＞0，所以a=16； (3)若a∶b=3∶4，可設(shè)a=3x，b=4x，所以(3x)2+(4x)2=102.化簡，得9x2+16x2=100，25x2=100，x2=4，x=2(x＞0)，所以a=3x=6；b=4x=8. 評注：綜合上述解法可以發(fā)現(xiàn)，形(即△ABC為直角三角形)與數(shù)(a2+b2=c2)的統(tǒng)一，所以我們說勾股定理是形與數(shù)的結(jié)合. Ⅲ.課時小結(jié) 先由學(xué)生自己總結(jié)，然后師生共同完成.這節(jié)課我們主要研究： 1.從特例猜想出勾股定理； 2.用特例檢驗了勾股定理； 3.簡單了解了勾股定理的歷史，應(yīng)用. Ⅳ.課后作業(yè) 1.課本P6，習(xí)題6.1. 2.到網(wǎng)上或圖書室查閱關(guān)于勾股定理的資料. Ⅴ.活動與探究 有一根70 cm的木棒，要放在長、寬、高分別是50 cm、40 cm、30 cm的木箱中，能放進去嗎？ 過程：在實際生活中，往往工程設(shè)計方案比較多，應(yīng)用所學(xué)的知識進行計算方可解決，而此題正是需要我們大膽實踐和創(chuàng)新，用我們學(xué)過的勾股定理和豐富的空間想像力來解決.我們可注意到木棒雖比木箱的各邊都長，按各邊的大小放不進去，但木箱是立體圖形，可以利用空間的最長長度.如AC′. 結(jié)果：由下圖可得，AA′=30 cm，A′B′=50 cm，B′C′=40 cm.△A′B′C′， △AA′C′都為直角三角形.由勾股定理，得A′C′2=A′B′2+B′C′2.在Rt△AA′C′中.AC′最長，則AC′2=AA′2+A′B′2+B′C′2=302+402+502=5000＞702. 故70 cm的棒能放入長、寬、高分別為50 cm，40 cm，30 cm的大箱中. 板書設(shè)計 1.1.1 探索勾股定理(一) 特例(做一做)勾股定理特例(議一議) (直角三角形兩直角 邊分別為a，b，斜邊 為c，則a2+b2=c2) 1.1.2 探索勾股定理(二) 知識與技能目標： 1.掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法. 2.運用勾股解決一些實際問題. 過程與方法目標： 1.學(xué)會用拼圖的方法驗證勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和解決實際問題的能力. 2.在拼圖過程中，鼓勵學(xué)生大膽聯(lián)想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識. 情感態(tài)度與價值觀目標： 利用拼圖的方法驗證勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)家的一大貢獻.借助對學(xué)生進行愛國主義教育.并在拼圖的過程中獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 教學(xué)重點 勾股定理的證明及其應(yīng)用. 教學(xué)難點 勾股定理的證明. 教學(xué)方法 教師引導(dǎo)和學(xué)生自主探索相結(jié)合的方法. 在用拼圖的方法驗證勾股定理的過程中.教師要引導(dǎo)學(xué)生善于聯(lián)想，將形的問題與數(shù)的問題聯(lián)系起來，讓學(xué)生自主探索，大膽地聯(lián)系前面知識，推導(dǎo)出勾股定理，并自己嘗試用勾股定理解決實際問題. 教具準備 1.每個學(xué)生準備一張硬紙板； 2.投影片三張： 第一張：問題串(記作1.1.2 A)； 第二張：議一議(記作1.1.2 B)； 第三張：例題(記作1.1.2 C). 教學(xué)過程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情景，引入新課 ［師］我們曾學(xué)習(xí)過整式的運算，其中平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2；完全平方公式(ab)2=a22ab+b2是非常重要的內(nèi)容.誰還能記得當(dāng)時這兩個公式是如何推出的？ ［生］利用多項式乘以多項式的法則從公式的左邊就可以推出右邊.例如(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2，所以平方差公式是成立的. ［生］還可以用拼圖的方法來推出.例如：(a+b)2=a2+2ab+b2.我們可以用一個邊長為a的正方形，一個邊長為b的正方形，兩個長和寬分別為a和b的長方形可拼成如下圖所示的邊長為(a+b)的正方形，那么這個大的正方形的面積可以表示為(a+b)2；又可以表示為a2+2ab+b2.所以(a+b)2=a2+2ab+b2. ［師］由此我們可以看出用拼圖的方法推證數(shù)學(xué)中的結(jié)論非常直觀.上一節(jié)課我們已經(jīng)通過數(shù)格子通過一些特例大膽地猜想出了勾股定理.同時又利用一些特例驗證了勾股定理，但我們注意到我們不可能拿所有的直角三角形一一驗證，靠一些特例歸納、猜想出來的結(jié)論不一定正確.因此我們需要用另一種方法說明直角三角形三邊的關(guān)系. Ⅱ.講授新課 1.拼一拼 出示投影片(1.2.2 A) (1)在一張硬紙板上畫4個如右圖所示全等的直角三角形.并把它們剪下來. (2)用這4個直角三角形拼一拼，擺一擺，看能否得到一個含有以斜邊c為邊長的正方形，你能利用它說明勾股定理嗎？ (對于上面2個問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生大膽聯(lián)想，將形與數(shù)的問題聯(lián)系起來.鼓勵學(xué)生大膽的拼擺，只要符合要求，教師都應(yīng)予以鼓勵，然后在小組內(nèi)交流，同時提示學(xué)生根據(jù)自己拼出的圖形，聯(lián)系(a+b)2=a2+2ab+b2的拼圖推證方法說明勾股定理). ［生］我拼出了如下圖所示的圖形，中間是一個邊長為c的正方形.觀察圖形我們不難發(fā)現(xiàn)，大的正方形的邊長是(a+b).要利用這個圖說明勾股定理，我們只要用兩種方法表示這個大正方形的面積即可. 大正方形面積可以表示為：(a+b)2，又可以表示為：ab4+(b－a). 對比這兩種表示方法，可得出c2=ab4+(b－a).化簡、整理得c2=a2+b2.因此我們得到了勾股定理. ［生］我拼出了和這個同學(xué)不一樣的圖，如下圖所示，大正方形的邊長是c，小正方形的邊長為b－a，利用這個圖形也可以說明勾股定理.因為大正方形的面積也有兩種表示方法，既可以表示為c2，又可以表示為ab4+(b－a)2.對比兩種表示方法可得c2=ab4+(b－a)2.化簡得c2=a2+b2.同樣得到了勾股定理. ［師］真棒！同學(xué)們用拼圖的方法，大膽地驗證了勾股定理.利用拼圖的方法驗證勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)家的偉大貢獻.在后面的課題學(xué)習(xí)中，我們還要繼續(xù)研究它. 在所有的幾何定理中，勾股定理的證明方法也許是最多的了.有人做過統(tǒng)計，說有五百余種.1940年，國外有人收集了勾股定理的365種證法，編了一本書.其實，勾股定理的證法不止這些，作者之所以選用了365種，也許他是幽默地想讓人注意，勾股定理的證明簡直到了每天一種的地步. ［生］老師，我在查資料時，還發(fā)現(xiàn)勾股定理的證明還和美國的一個總統(tǒng)有關(guān)系，是這樣嗎？ ［師］是的.1876年4月1日，美國俄亥俄州共和黨議員加菲爾德，頗有興趣地在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他提出的一個勾股定理的證明.據(jù)他說，這是一種思想體操，并且還調(diào)皮地聲稱，他的這個證明是得到兩黨議員“一致贊同的”.由于1881年加菲爾德當(dāng)上了美國第二十屆總統(tǒng)，這樣，他曾提出的那個證明也就成了數(shù)學(xué)史上的一段佳話. ［生］能給我們介紹一下這位總統(tǒng)的證明方法嗎？ ［師］可以.如下圖所示.這就是這位總統(tǒng)用兩個全等的直角三角形拼出的圖形，和第一個同學(xué)用全等的四個直角三角形拼出來的圖形對比一下，有聯(lián)系. ［生］總統(tǒng)拼出的圖形恰好是第一個同學(xué)拼出的大正方形的一半. ［師］同學(xué)們不妨自己從上圖中推導(dǎo)出勾股定理. ［生］上面的圖形整體上拼成一個直角梯形.所以它的面積有兩種表示方法.既可以表示為(a+b)(a+b)，又可以表示為ab2+c2.對比兩種表示方法可得 (a+b)(a+b)= ab2+c2.化簡，可得a2+b2=c2. ［師］很好.同學(xué)們?nèi)绻信d趣的話，不妨自己也去尋找?guī)追N證明勾股定理的方法. 2.議一議 ［師］前面我們討論了直角三角形三邊滿足的關(guān)系.那么銳角三角形或鈍角三角形的三邊是否也滿足這一關(guān)系呢？ 出示投影片(1.1.2 B ) 觀察上圖，用數(shù)格子的方法判斷圖中兩個三角形的三邊關(guān)系是否滿足a2+b2=c2. ［師］上圖中的△ABC和△A′B′C是什么三角形？ ［生］△ABC，△A′B′C′在小方格紙上，不難看出△ABC中，∠BCA＞90； △A′B′C′中，∠A′B′C′，∠B′C′A′，∠B′A′C′都是銳角，所以△ABC是鈍角三角形，△A′B′C′是銳角三角形. ［師］△ABC的三邊上“長”出三個正方形.誰來幫我數(shù)一下每個正方形含有幾個小格子. ［生］以b為邊長的正方形含有9個小格子，所以這個正方形的面積b2=9個單位面積；以a為邊長的正方形中含有8個小格子，所以這個正方形的面積a2=8個單位面積；以c為邊長的正方形中含有29個小格子，所以這個正方形的面積c2=29個單位面積. a2+b2=9+7=16個單位面積，c2=29個單位面積，所以在鈍角三角形ABC中a2+b2≠c2. ［師］銳角三角形A′B′C′中，如何呢？ ［生］以a為邊長的正方形含5個小格子，所以a2=5個單位面積；以b為邊長的正方形含有8個小格子，所以b2=8個單位面積；以c為邊長的正方形含9個小格子，所以c2=9個單位面積.由此我們可以算出a2+b2=5+8=13個單位面積.在銳角三角形A′B′C′中，a2+b2≠c2. ［師］通過對上面兩個圖形的討論可進一步認識到只有在直角三角形中，a，b，c三邊才有a2+b2=c2(其中a、b是直角邊，c為斜邊)這樣的關(guān)系. ［生］老師，我發(fā)現(xiàn)在鈍角三角形ABC中，雖然a2+b2≠c2，但它們之間也有一種關(guān)系a2+b2＜c2；在銳角三角形A′B′C′中，a2+b2＞c2.它們恒成立嗎？ ［師］這位同學(xué)很善于思考，的確如此.同學(xué)們課后不妨驗證一下，你一定會收獲不小. 3.例題講解 出示投影片(1.1.2 C) ［例1］飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4800米處，過了10秒后，飛機距離這個男孩頭頂5000米，飛機每小時飛行多少千米？ ［例2］如下圖所示，某人在B處通過平面鏡看見在B正上方5米處的A物體，已知物體A到平面鏡的距離為6米，問B點到物體A的像A′的距離是多少？ ［例3］在平靜的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一陣風(fēng)吹來；水草被吹到一邊，草尖齊至水面，已知水草移動的水平距離為6分米，問這里的水深是多少？ ［師生共析］ ［例1］分析：根據(jù)題意，可以畫出右圖，A點表示男孩頭頂?shù)奈恢?，C、B點是兩個時刻飛機的位置，∠C是直角，可以用勾股定理來解決這個問題. 解：根據(jù)題意，得Rt△ABC中，∠C=90，AB=5000米，AC=4800米.由勾股定理，得AB2=AC2+BC2.即50002=BC2+48002，所以BC=1400米. 飛機飛行1400米用了10秒，那么它1小時飛行的距離為1400660=504000米=504千米，即飛機飛行的速度為504千米/時. 評注：這是一個實際應(yīng)用問題，經(jīng)過分析，問題轉(zhuǎn)化為已知兩邊求直角三角形第三邊的問題，這雖是一個一元二次方程的問題，學(xué)生可嘗試用學(xué)過的知識來解決.同時注意，在此題中小孩是靜止不動的. ［例2］分析：此題要用到勾股定理，軸對稱及物理上的光的反射知識. 解：如例2圖，由題意知△ABA′是直角三角形，由軸對稱及平面鏡成像可知： AA′=26=12米，AB=5米； 在Rt△A′AB中，A′B2=AA′2+AB2=122+52=169=132米 所以A′B=13米，即B點到物體A的像A′的距離為13米. 評注：本題是以光的反射為背景，涉及到勾股定理、軸對稱等知識.由此可見，數(shù)學(xué)是物理的基礎(chǔ). ［例3］分析：在此問題中，要注意水草的長度與水深的關(guān)系，還要注意水草站立時和吹到一邊，它的長度是不變的. 解：根據(jù)題意，得到下圖，其中D是無風(fēng)時水草的最高點，BC為湖面，AB是一陣風(fēng)吹過水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，BC⊥AD. 所以在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2，即(AC+3)2=AC2+62，AC2+6AC+9=AC2+36.6AC=27，AC=4.5.所以這里的水深為4.5分米. 評注：在幾何計算題中，方程的思想十分重要. Ⅲ.課時小結(jié) 這節(jié)課，我們用拼圖的方法驗證了勾股定理，并運用勾股定理解決了生活中的實際問題. Ⅳ.課后作業(yè) 1.課本P9，習(xí)題6.2. 2.收集關(guān)于勾股定理的證明方法. Ⅴ.活動與探究 如右圖，木長二丈，它的一周是3尺，生長在木下的葛藤纏木七周，上端恰好與木齊，問葛藤長多少？ 過程：從表面上看，這道題與勾股定理無關(guān)系.但是如果你用一張直角三角形的紙片約一支圓柱形鉛筆上纏繞，就會發(fā)現(xiàn)；這里的葛藤之長相當(dāng)于直角三角形的斜邊. 結(jié)果：根據(jù)題意，可得一條直角邊(即高)長2丈即20尺，另一條直角邊(即底邊)長73=21(尺)，因此葛藤長設(shè)為x尺，則有x2=202+212=841=292，所以x=29尺，即葛藤長為29尺. 板書設(shè)計 1.1.2 探索勾股定理(二) 一、用拼圖法驗證勾股定理 1. 由上圖得(a+b)2=ab4+c2 即a2+b2=c2； 2. 由上圖可得c2=ab4+(b－a)2 即a2+b2=c2 二、議一議 三、例題講解 四、課時小結(jié) 1.2 能得到直角三角形嗎 知識與技能目標： 1.掌握直角三角形的判別條件. 2.熟記一些勾股數(shù). 3.能對直角三角形的判別條件進行一些綜合應(yīng)用. 過程與方法目標： 1.用三邊的數(shù)量關(guān)系來判斷一個三角形是否為直角三角形，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想. 2.通過對直角三角形判別條件的研究，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，勇于探索的創(chuàng)新精神. 情感態(tài)度與價值觀目標： 1.通過介紹有關(guān)歷史資料，激發(fā)學(xué)生解決問題的愿望. 2.通過對勾股定理逆定理的綜合應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，克服困難的勇氣；體驗勾股定理及其逆定理在生活實際中的實用性. 教學(xué)重點 直角三角形的判別條件及其應(yīng)用；它可用邊的關(guān)系來判斷一個三角形是否是直角三角形。 教學(xué)難點 用直角三角形的判別條件判斷一個三角形是否為直角三角形及綜合應(yīng)用直角三角形的知識解題. 教學(xué)方法 引導(dǎo)啟發(fā)法. 教師通過介紹古埃及人作直角的方法啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過已知數(shù)據(jù)作出三角形，并用測量的方法、探索、歸納用三角形三邊關(guān)系判定直角三角形的條件. 教具準備 一根有13個等距的結(jié)的繩子. 投影片兩張： 第一張：例題(記作1.2 A)； 第二張：隨堂練習(xí)(記作1.2 B). 教學(xué)過程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 ［師］下面我們來總結(jié)一下直角三角形有哪些性質(zhì). ［生］直角三角形有如下性質(zhì)：①有一個內(nèi)角為直角；②兩個銳角互余；③兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方. ［生］在含30角的直角三角形中，30的角所對的直角邊是斜邊的一半. ［師］很好，反過來，一個三角形，滿足什么條件就是直角三角形呢？ ［生］如果有一個內(nèi)角是直角，它就是直角三角形. ［生］如果有兩個角的和是90，那么這個三角形也是直角三角形. ［師］我們可以注意到這些同學(xué)都是通過角的關(guān)系判定直角三角形的. 前面，我們剛學(xué)習(xí)了勾股定理，知道一個直角三角形的兩直角邊a，b，斜邊c具有一定的數(shù)量關(guān)系即a2+b2=c2.我們是否也可以不用角，而用三角形三邊的關(guān)系來判定它是否為直角三角形呢？ Ⅱ.講述新課 1.古代埃及人作直角 ［師］其實，古代埃及人就曾用三角形三邊的關(guān)系作出了直角.下面我們一同演示一下. 我這兒有一根繩子，上面有13個等距的結(jié)，把這根繩子分成等長的12段.下面我讓一個同學(xué)同時握住繩子的第(1)個和第(13)個結(jié)，再讓兩個同學(xué)分別握住繩子的第(4)個結(jié)和第(8)個結(jié)，(如下圖所示)拉緊繩子，大家觀察可以發(fā)現(xiàn)什么？ ［生］得到一個直角三角形，在第(4)個結(jié)處的角是直角. ［師］我們再來看在第(1)個結(jié)到第(4)個結(jié)是3個單位長度即AC=b=3；同理BC=a=4；AB=c=5.因為32+42=52，所以a2+b2=c2.那么是不是三角形的三邊滿足a2+b2=c2，就可以得到一個直角三角形呢？ 我們不妨再找?guī)捉M數(shù)試一試. 2.做一做 下面四組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a，b，c： 5，12，13；7，24，25；8，15，17；5，6，7. (1)這四組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？ (2)分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？ ［師生共析］(1)52+122=169=132； 72+242=625=252； 82+152=289=172； 52+62=61≠72. 所以這四組數(shù)，前三組滿足a2+b2=c2，而最后一組不滿足. ［師］以5，12，13這一組數(shù)為例，誰能告訴我如何作出以它們?yōu)檫呴L的三角形呢？ ［生］作法：①作線段AB=5個單位長度；②分別以A、B為圓心，12個單位長度，13個單位長度為半徑畫弧，交于線段AB的同旁于一點C；③連結(jié)AC、BC.△ABC就是以5、12、13為邊長的三角形. ［師］很好.下面同學(xué)們就以小組為單位來完成第(2)小題. (讓學(xué)生親自動手作三角形，并用量角器量出各個內(nèi)角，然后小組內(nèi)交流，從而獲得一個三角形是直角三角形三邊的條件) ［生］我們通過作三角形，測量三角形三個內(nèi)角發(fā)現(xiàn)：前三組數(shù)滿足a2+b2=c2，作出的三角形都是直角三角形；而后一組數(shù)不滿足a2+b2=c2，作出的三角形不是直角三角形. ［師］你能告訴我在你作出的直角三角形中，哪一邊是斜邊嗎？哪一個角是直角嗎？ ［生］前三組數(shù)中，較長的邊是斜邊，斜邊所對的角是直角. ［師］從“做一做”中你能猜想到什么結(jié)論呢？ ［生］如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形. ［師］剛才，我們只是從特例中猜想出來上面的結(jié)論.可能有的同學(xué)會產(chǎn)生疑慮，果真如此嗎？下面我用前面的知識解釋一下這個結(jié)論，大家就會知道，我們的猜想是正確的. 已知：在△ABC中AB=c， BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2. 求證：∠c=90 證明：作△A′B′C′，使∠C′=90，B′C′=a，A′C′=b，那么A′B′2=a2+b2(為什么？). 由已知條件a2+b2=c2，可得A′B′2=c2，即A′B′=c.(A′B′＞0，c＞0) 在△ABC和△A′B′C′中有BC=a=B′C′，CA=b=C′A′，AB=c=A′B′，則△ABC≌△A′B′C′.所以∠C=∠C′=90. 現(xiàn)在大家沒有疑慮了吧.同時也明白了古埃及人那樣做的道理.實際上，古代中國人也曾利用相似的方法得到直角.直至科技發(fā)達的今天——人類已跨入21世紀，建筑工地上的工人師傅們?nèi)匀浑x不開“三四五放線法”. “三四五放線法”是一種古老的規(guī)范操作.所謂“歸方”，就是“做成直角”，譬如建造房屋，房角一般總是成90，怎樣確定房角的縱橫兩線呢？ 如下圖，欲過基線MN上的一點C作它的垂線，可由三名工人操作：一人手拿布尺或測繩的0和12尺處，固定在C點；另一人拿4尺處，把尺拉直，在MN上定出A點；再由一人拿9尺處，把尺拉直，定出B點.于是連結(jié)BC，就是MN的垂線. 建筑工人用了3，4，5作出了一個直角，能不能用其他的整數(shù)組作出直角呢？ ［生］可以.例如7，24，25；8，15，17等. ［師］是的.如果三角形三條邊滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).那么滿足條件的勾股數(shù)有多少組呢？它們是如何形成的？我們的先人數(shù)學(xué)家劉徽和希臘數(shù)學(xué)家曾相繼提出了表示所有勾股整數(shù)組的方法. 下面我們來了解一下這方面的情況. 3.讀一讀 ［師］同學(xué)們可以打開課本P11，閱讀“讀一讀”——勾股數(shù)組與費馬大定理. (讀一讀介紹了尋找勾股數(shù)組的一種方法以及由此引發(fā)的一個重要數(shù)學(xué)問題——費馬大定理) 現(xiàn)在我們就來嘗試驗證其中提供的求勾股數(shù)組方法的合理性.即 求證：m2－n2，m2+n2，2mn(m＞n，m，n是正整數(shù))是直角三角形的三條邊長. ［師生共析］要證明它們是直角三角形的三邊，首先應(yīng)判斷這三條線段是否組成三角形，然后再用勾股定理的逆定理即直角三角形的判定條件來判斷它們是否是一個直角三角形的三邊長. 證明：m＞n，m、n是正整數(shù). (m2－n2)+(m2+n2)=2m2＞2mn. 即(m2－n2)+(m2+n2)＞2mn. 又因為(m2－n2)+2mn=m2+n(2m－n) 而2m－n=m+(m－n)＞0，所以(m2－n2)+2mn＞m2+n2，由此可知， 這三條線段可組成三角形. 又因為(m2－n2)2+(2mn)2=m4+4m2n2－2m2n2+n4=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2. 則(m2－n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2. 由直角三角形的判定條件， 可知：這三條線段組成的三角形是直角三 角形. ［師］你能用這個方法找到5組勾股數(shù)嗎？ ［生］可以，如下表 m＞n m、n是正整數(shù) 勾股數(shù)組 m2－n2 2mn m2+n2 m=2，n=1 3 4 5 m=3，n=2 5 12 13 m=4，n=3 7 24 25 m=5，n=4 9 40 41 m=3，n=1 8 6 10 … … … … 下面我們利用直角三角形判定的條件來看幾個例題. 4.例題講解 出示投影片(1.2A) ［例1］一個零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角.工人師傅量出了這個零件各邊尺寸，那么這個零件符合要求嗎？ 分析：這是一個利用直角三角形的判定條件解決實際問題的例子. 解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=132=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此這個零件符合要求. Ⅲ.隨堂練習(xí) 1.(課本P11)下列幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長？說說你的理由. (1)9，12，15； (2)15，36，39； (3)12，35，36； (4)12，18，22. 解：根據(jù)直角三角形的判定條件. (1)92+122=152；(2)152+362=392，所以(1)、(2)兩組數(shù)可以作為直角三角形的三邊；但(3)122+352≠362，(4)122+182≠322，所以(3)(4)兩組數(shù)不能作為直角三角形的三邊. 2.(補充練習(xí))出示投影片(1.2 B) (1)判斷以a=10，b=8，c=6為邊組成的三角形是不是直角三角形. 解：因為a2+b2=100+64=164≠c2 即a2+b2≠c2，所以由a，b，c不能組成直角三角形. 請問：上述解法對嗎？為什么？ (2)已知：在△ABC中，AB=13 cm，BC=10 cm，BC邊上的中線AD=12 cm.求證：AB=AC. (1)解：上述解法是不對的.因為a=10，b=8，c=6，b2+c2=64+36=100=102=a2.即b2+c2=a2.所以由a，b，c組成的三角形兩邊的平方和等于等三邊的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c可構(gòu)成直角三角形，其中a是斜邊，b、c是兩直角邊. 評注：在解題時，我們不能簡單地看兩邊的平方和是否等于第三邊的平方，而應(yīng)先判斷哪一條邊有可能作為斜邊.往往只需看最大邊的平方是否等于另外兩邊的平方和. (2)證明：根據(jù)題意，畫出圖形.AB=13 cm，BC=10 cm. AD是BC邊上的中線—→BD=CD=5 cm.在△ABD中，AD=12 cm，BD=5 cm，AB=13 cm，AB2=169，AD2+BD2=122+52=169. 所以AB2=AD2+BD2.則∠ADB=90. ∠ADC=180－∠ADB=180－90=90. 在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=122+52=132. 所以AC=AB=13 cm. Ⅳ.課時小結(jié) 這節(jié)課我們歸納推理出直角三角形判定條件，并用它去解決生活實際中的問題，最后我們還介紹了求勾股數(shù)組的方法. Ⅴ.課后作業(yè) 1.課本P12，習(xí)題6.3； 2.熟記幾組常用的勾股數(shù). Ⅵ.活動與探究 給出一組式子：32+42=52，82+62=102，152+82=172，242+102=262 (1)你能發(fā)現(xiàn)上面式子的規(guī)律嗎？請你用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，給出第5個式子； (2)請你證明你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律. 過程：觀察式子，要注意這些式子中不變的形式，如等式兩邊每一項的指數(shù)為2，等式左邊是平方和的形式，右邊是一個數(shù)的平方.很顯然，我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律一定是“( )2+( )2=( )2”的形式.然后再觀察每一項與序號的關(guān)系.如32，82，152，242與序號有何關(guān)系，可知32=(22－1)2，82=(32－1)2，152=(42－1)2，242=(52－1)2；所以我們可推想，第一項一定是(n2－1)2.(其n＞1，n為整數(shù)).同理可得第二項一定是(2n)2，等式右邊一定是(n2+1)2(其中n＞1，n為整數(shù)). (1)解：上面的式子是有規(guī)律的，即(n2－1)2+(2n)2=(n2+1)2(n為大于1的整數(shù)). 第5個式子是n=6時，即(62－1)2+(26)2=(62+1)2化簡，得352+122=372. (2)證明：左邊=(n2－1)2+(2n)2=(n4－2n2+1)+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=右邊.證畢. 板書設(shè)計 1.2 能得到直角三角形嗎 一、古埃及人作直角的方法 二、做一做 下面三組數(shù)能作出直角三角形嗎？ 1.7，24，25；2.8，15，17；3.5，6，7； 三、由特例猜想：直角三角形用邊的關(guān)系來判定的條件：如果三角形三邊長為a，b，c且滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形. 四、1.勾股數(shù). 2.求勾股數(shù)的方法：m2+n2，m2－n2，2mn(其中m＞n，m、n是正整數(shù)). 3.讀一讀. 五、例題(略) 六、隨堂練習(xí) 1.3 螞蟻怎樣走最近 知識與技能目標： 能運用勾股定理及直角三角形的判別條件(即勾股定理的逆定理)解決簡單的實際問題. 過程與方法目標： 1.學(xué)會觀察圖形，勇于探索圖形間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念. 2.在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想. 情感態(tài)度與價值觀目標： 1.通過有趣的問題提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 2.在解決實際問題的過程中，體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實用性，體現(xiàn)人人都學(xué)有用的數(shù)學(xué). 教學(xué)重點 探索、發(fā)現(xiàn)給定事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實際問題. 教學(xué)難點 利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實際問題. 教學(xué)方法 啟發(fā)—動手操作相結(jié)合. 教具準備 投影片三張： 第一張：螞蟻怎樣走最近(記作1.3 A)； 第二張：做一做(記作1.3 B)； 第三張：隨堂練習(xí)(記作1.3 C). 硬紙板做的圓柱. 教學(xué)過程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 ［師］我們學(xué)習(xí)了勾股定理和直角三角形的判別條件(即勾股定理逆定理).一起回憶一下. ［生］勾股定理：如果直角三角形兩直角邊是a，b，斜邊為c，則a2+b2=c2. 直角三角形判別條件(即勾股定理逆定理)：a，b，c是一個三角形的三條邊，如果a2+b2=c2，則這個三角形是直角三角形. ［師］我們知道這兩個定理非常重要.而之所以重要是因為它們是聯(lián)系數(shù)學(xué)中最基本也是最原始的兩個對象——數(shù)和形.由直角三角形的“形”，可得到三邊關(guān)系的“數(shù)”；反過來，由三角形三邊關(guān)系這個“數(shù)”，也可得到直角三角形這個“形”.更為重要的是，用它們能解決生活中的實際問題. 例如：欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需多長的梯子？ ［生］根據(jù)題意，(如圖)AC是建筑物，則AC=12米，BC=5米，AB是梯子的長度.所以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米. 所以至少需13米長的梯子. ［師］顯而易見，勾股定理及其逆定理，應(yīng)用十分廣泛.下面我們再來看一個例子. Ⅱ.講授新課 1.螞蟻怎么走最近 出示投影片(1.3A) 如圖所示，有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米.在圓柱的底面A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π的值取3.14). ［師］同學(xué)們可自己做一個圓柱，嘗試從A點到B點沿圓柱的側(cè)面畫出幾條路線，你覺得哪條路線最短呢？ ［生］圓柱的側(cè)面是曲面.螞蟻要從A點爬行到B點，它沒有翅膀，只能從圓柱的側(cè)面爬到A點，而且爬行的路程最短，我認為螞蟻可以從A點沿著圓柱的母線到A′點，再沿著上底面的邊緣爬到B點；也可以從A點沿著下底面的邊緣到達B′，再沿著母線向上爬，到達B點. ［師］你可以將剛才的路線畫到你做的圓柱上.是不是最短的呢？ ［生］我認為不是.我還可以在上底面邊緣A′、B之間取中點D，螞蟻可沿曲面由A直接到D，再沿上底面的邊緣到達B. ［生］老師，我還有更短的.可以讓螞蟻從A點直接到達B點. ［師］同學(xué)們可以將剛才幾位同學(xué)設(shè)計的路線和你自己設(shè)計的路線都畫在圓柱的側(cè)面上.到底誰畫的路線最短呢？ 我們知道，圓柱的側(cè)面展開圖是一長方形.好了，現(xiàn)在咱們就用剪刀沿母線AA′將圓柱的側(cè)面展開(如下圖). 我們不難發(fā)現(xiàn)，剛才幾位同學(xué)的走法： (1)A→A′→B； (2)A→B′→B； (3)A→D→B； (4)A—→B. 哪條路線是最短呢？你畫對了嗎？ ［生］第(4)條路線最短.因為“兩點之間的連線中線段最短”. ［師］是不是有“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的感受.看上去這是一個曲面上的路線問題，可當(dāng)我們把圓柱的側(cè)面展成一個平面圖形——長方形時，使我們恍然大悟其中的道理.真是“踏破鐵鞋無覓處，得來全不費功夫”. 那么螞蟻從A點出發(fā)，想吃到B點上的食物，它需要的最短路程是多少呢？(π取3) ［生］當(dāng)我們把圓柱的側(cè)面展成長方形時，求最短路線問題就變成了：在Rt△AA′B中，已知AA′=12厘米，A′B′=πr=33=9厘米.根據(jù)勾股定理可得AB2=AA′2+ A′B2=122+92=225，所以AB=15厘米.即螞蟻爬行的最短距離為15厘米. 2.做一做 出示投影片(1.3 B) 如圖所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要檢測正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺. (1)你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？ (2)李叔叔量得AD的長是30厘米，AB的長是40厘米，BD長是50厘米.AD邊垂直于AB邊嗎？ (3)小明隨身只有一個長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？ ［師生共析］李叔叔隨身只帶卷尺檢測AD，BC是否與底邊AB垂直，也就是要檢測 ∠DAB=90，∠CBA=90.連結(jié)BD或AC，也就是要檢測△DAB和△CBA是否為直角三角形.很顯然，這是一個需用勾股定理的逆定理來解決的實際問題. (可以先鼓勵學(xué)生自己尋找辦法) ［生］根據(jù)我們剛才的分析，用勾股定理的逆定理來解決，要檢測△DAB是否為直角三角形，即∠DAB=90，李叔叔只需用卷尺分別量出AB、BD、DA的長度，然后計算AB2+DA2和BD2，看它們是否相等.若相等，則說明AD⊥AB.同理也可檢測BC是否垂直于AB. ［師］很好！我們來看第(2)個問題，李叔叔已量得AD，AB，BD的長度 ，根據(jù)他量出的長度能說明DA和AB垂直嗎？ ［生］可以.因為AD2+AB2=302+402=2500，而BD2=2500，所以AD2+AB2=BD2.可得AD和AB垂直. ［師］小明帶的刻度尺長度只有20厘米，他有辦法檢驗AD與AB邊的垂直嗎？ ［生］可以利用分段相加的方法量出AB、AD和BD的長度. ［生］這樣做誤差較大.可在AB、AD上各量一段較小長度.例如在AB邊上量一小段AE= 8 cm，在AD邊上量一小段AF=6 cm，而AE2+AF2=82+62=64+36=100=102.這時只要量一下EF是否等于10厘米即可.如果EF=10 cm，EF2=100，則有AE2+AF2=EF2，根據(jù)勾股定理的逆定理就可知△AEF是直角三角形，∠EAF=90即∠DAB=90，所以AD⊥AB；如果EF≠10厘米，則EF2≠100，所以AE2+AF2≠EF2，所以△AEF不是直角三角形，即AD不垂直于AB. ［生］也可以在AB邊上取AM=3厘米，在AD邊上取AN=4厘米，再量MN是否等于5厘米，也可以檢測AD與AB是否垂直. ［師］看來，同學(xué)們的方法還真不少.勾股定理和它的逆定理在實際生活中應(yīng)用確實十分廣泛.我們不妨再用它們解決幾個問題. Ⅲ.隨堂練習(xí) 出示投影片(1.3 C) 1.甲、乙兩位探險者，到沙漠進行探險.某日早晨8∶00甲先出發(fā)，他以6千米/時的速度向東行走.1時后乙出發(fā)，他以5千米/時的速度向北行進.上午10∶00，甲、乙兩人相距多遠？ 2.如圖，有一個高1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分是0.5米，問這根鐵棒應(yīng)有多長？ ［師生共析］1.分析：首先我們需要根據(jù)題意將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型. 解：(如圖)根據(jù)題意，可知A是甲、乙的出發(fā)點，10∶00時甲到達B點，則AB=26=12(千米)；乙到達C點，則AC=15=5(千米). 在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以BC=13千米.即甲、乙兩人相距13千米. 2.分析：從題意可知，沒有告訴鐵棒是如何插入油桶中，因而鐵棒的長是一個取值范圍而不是固定的長度，所以鐵棒最長時，是插入至底部的A點處，鐵棒最短時是垂直于底面時. 解：設(shè)伸入油桶中的長度為x米，則應(yīng)求最長時和最短時的值. (1)x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5 所以最長是2.5+0.5=3(米). (2)x=1.5，最短是1.5+0.5=2(米). 答：這根鐵棒的長應(yīng)在2~3米之間(包含2米、3米). 3.試一試(課本P15) 在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面.請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各為多少？ (這是一道我國古代數(shù)學(xué)著作中記載的一個有趣的問題，讓學(xué)生在全班對這個問題進行討論，從中進一步認識勾股定理的悠久歷史和廣泛應(yīng)用，了解我國古代人民的聰明才智) ［師生共析］我們可以將這個實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型. 解：如圖，設(shè)水深為x尺，則蘆葦長為(x+1)尺，由勾股定理可求得 (x+1)2=x2+52，x2+2x+1=x2+25 解得x=12 則水池的深度為12尺，蘆葦