2020版高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.2 應(yīng)用舉例（第2課時）角度問題及其他學(xué)案（含解析）新人教B版必修5.docx

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第2課時　角度問題及其他 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能夠運(yùn)用正弦、余弦定理解決航海測量中的實際問題.2.了解解三角形在物理中的應(yīng)用． 知識點一　實際應(yīng)用問題中的有關(guān)術(shù)語 1．方向角 正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角． 2．方位角 從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的最小正角． 3．坡角 坡面與水平面的夾角． 4．坡比 坡面的垂直高度與水平距離之比． 知識點二　解三角形在物理中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)在物理學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，某種角度上說，物理題實際上是數(shù)學(xué)應(yīng)用題，解物理題就是先把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，解決后再還原成實際問題的答案． 1．方位角和方向角是一樣的．(　　) 2．南偏東30指正南為始邊，在水平面內(nèi)向東旋轉(zhuǎn)30.(　√　) 3．方位角可以是270.(　√　) 題型一　角度的測量問題 例1　如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東32的方向航行54.0nmile后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離？(角度精確到0.1，距離精確到0.01 n mile) 解　在△ABC中，∠ABC＝180－75＋32＝137， 根據(jù)余弦定理， AC＝ ＝ ≈113.15. 根據(jù)正弦定理，＝， sin∠CAB＝≈≈0.325 5， 所以∠CAB≈19.0，75－∠CAB＝56.0. 所以此船應(yīng)該沿北偏東56.0的方向航行，需要航行113.15 n mile. 反思感悟　解決航海問題一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不動點(三角形頂點)，然后根據(jù)條件，畫出示意圖，轉(zhuǎn)化為解三角形問題． 跟蹤訓(xùn)練1　甲船在A點發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60的B處，乙船以每小時a海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時a海里，問甲船應(yīng)沿著什么方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇？ 解　如圖所示． 設(shè)經(jīng)過t小時兩船在C點相遇， 則在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝at(海里)， B＝90＋30＝120， 由＝，得 sin∠CAB＝＝＝＝， ∵0<∠CAB<90， ∴∠CAB＝30， ∴∠DAC＝60－30＝30， ∴甲船應(yīng)沿著北偏東30的方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇． 題型二　解三角形在物理中的應(yīng)用 例2　如圖所示，對某物體施加一個大小為10N的力F，這個力被分解到OA，OB兩個方向上，已知∠AOB＝120，力F與OA的夾角為45，求分力的大小． 解　如圖，作＝F，＝F1，＝F2，作?OGFC， 由題設(shè)知||＝10，∠FOG＝45，∠AOB＝120， 則∠FOC＝∠AOB－∠FOG＝120－45＝75， 由?OGFC知，∠GFO＝∠FOC＝75， 在△FOG中，∠FGO＝180－75－45＝60， 由正弦定理得 ＝， 即＝，解得OG＝5， 由正弦定理得＝， 即＝，解得FG＝. 所以O(shè)A方向的力的大小為5N，OB方向的力的大小為N. 反思感悟　解決物理等實際問題的步驟 (1)把實際問題受力平衡用圖示表示． (2)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過正、余弦定理解三角形． (3)把數(shù)學(xué)問題的解轉(zhuǎn)化為實際問題的解． 跟蹤訓(xùn)練2　有一兩岸平行的河流，水速為1m/s，小船的速度為m/s，為使所走路程最短，小船行駛的方向應(yīng)為(　　) A．與水速成45 B．與水速成135 C．垂直于對岸 D．不能確定 答案　B 解析　如圖，設(shè)為水速，為船在靜水中的速度，為＋. 依題意，當(dāng)⊥時，所走路程最短，現(xiàn)需求∠BAD，只要求∠CAD即可， 在Rt△CAD中，||＝||＝1，||＝， ∴sin∠CAD＝＝，且∠CAD為銳角． ∴∠CAD＝45，∴∠BAD＝45＋90＝135. 即小船應(yīng)朝與水速成135的方向行駛． 1．已知兩座燈塔A，B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40，燈塔B在觀察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的(　　) A．北偏東10 B．北偏西10 C．南偏東10 D．南偏西10 答案　B 解析　如圖，因為△ABC為等腰三角形， 所以∠CBA＝(180－80)＝50，60－50＝10. 2.如圖，甲、乙二人同時從點A出發(fā)，甲沿正東方向走，乙沿北偏東30方向走．當(dāng)乙走了2 km到達(dá)B點時，甲走到C點，此時兩人相距 km，則甲走的路程AC等于(　　) A．2kmB．2kmC.kmD．1km 答案　D 解析　依題意知 BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos∠BAC， 即3＝22＋AC2－22ACcos 60， AC2－2AC＋1＝0. 解得AC＝1 km. 3．甲騎電動車以24km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點A處望見電視塔S在電動車的北偏東30方向上，15min后到點B處望見電視塔在電動車的北偏東75方向上，則電動車在點B時與電視塔S的距離是(　　) A．6kmB．3kmC．3kmD．3km 答案　C 解析　由題意知，AB＝24＝6(km)，∠BAS＝30，∠ASB＝75－30＝45. 由正弦定理，得BS＝＝＝3(km)． 4．一艘海輪從A處出發(fā)，以40nmile/h的速度沿南偏東40方向直線航行，30min后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點間的距離是(　　) A．10nmile B．10nmile C．20nmile D．20nmile 答案　A 解析　如圖所示， 由已知條件可得 ∠CAB＝30，∠ABC＝105， AB＝40＝20(n mile)． ∴∠BCA＝45， ∴由正弦定理可得＝. ∴BC＝＝10 (n mile)． 5．作用于同一點的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3平衡，已知|F1|＝30N，|F2|＝50N，F(xiàn)1和F2之間的夾角是60，求F3的大小與方向．(精確到0.1) 解　F3應(yīng)和F1，F(xiàn)2的合力F平衡， 所以F3和F在同一直線上，并且大小相等，方向相反． 如圖，在△OF1F中，由余弦定理，得 |F|＝＝70(N)， 再由正弦定理，得sin∠F1OF＝＝， 所以∠F1OF≈38.2，從而∠F1OF3≈141.8. 所以F3為70 N，F(xiàn)3和F1間的夾角為141.8. 1．在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解，但作為有關(guān)現(xiàn)實生活的應(yīng)用題，必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解． 2．解三角形的應(yīng)用題時，通常會遇到兩種情況： (1)已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之． (2)已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解. 一、選擇題 1．某船開始看見一燈塔在南偏東30方向，后來船沿南偏東60的方向航行45km后，看見該燈塔在正西方向，則這時船與燈塔的距離是(　　) A．15kmB．15kmC．20kmD．20km 答案　A 解析　設(shè)燈塔位置為A，船的初始位置為O，船的終止位置為B，由題意知∠AOB＝30，∠OAB＝120，則∠OBA＝30，所以由正弦定理，得AB＝15，即此時船與燈塔的距離是15 km. 2．一艘船以4 km/h的速度沿著與水流方向成120的方向航行，已知河水流速為2 km/h，則經(jīng)過h，該船實際航程為(　　) A．2km B．6km C．2km D．8km 答案　B 解析　如圖在平行四邊形ABCD中，為河水流速，為船在靜水中的速度，為船在河水中的實際航速． 由題意得AB＝2，AD＝4，∠BAD＝120， ∴2＝2＝2＋2＋2 ＝4＋16＋224cos 120＝12， ∴||＝2，即船實際航速為2 km/h. ∴船實際航程為2＝6(km)． 3．臺風(fēng)中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30km內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40km處，則B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為(　　) A．0.5hB．1hC．1.5hD．2h 答案　B 解析　設(shè)A地東北方向上點P到B的距離為30km時，AP＝x， 在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2APABcosA， 即302＝x2＋402－2x40cos45， 化簡得x2－40x＋700＝0.設(shè)該方程的兩根為x1，x2， 則P點的位置有兩處，即P1，P2. 則|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20， 即P1P2＝20(km)，故t＝＝＝1(h)．故選B. 4.當(dāng)太陽光與水平面的傾斜角為60時，一根長為2m的竹竿如圖所示放置，要使它的影子最長，則竹竿與地面所成的角是(　　) A．150 B．30 C．45 D．60 答案　B 解析　設(shè)竹竿與地面所成的角為α，影子長為xm. 由正弦定理，得＝， ∴x＝sin(120－α)． ∵30＜120－α＜120， ∴當(dāng)120－α＝90，即α＝30時，x有最大值． 即竹竿與地面所成的角是30時，影子最長． 5．一艘船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東60，行駛4h后，船到達(dá)C處，看到這個燈塔在北偏東15，這時船與燈塔間的距離為(　　) A．30kmB．30kmC．30kmD．20km 答案　B 解析　如圖所示， 在△ABC中，∠BAC＝30，∠ACB＝105，則∠ABC＝45， AC＝60km，根據(jù)正弦定理，得 BC＝＝＝30(km)． 6．某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進(jìn)40m后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為30，則塔高為(　　) A．10m B．10(－1) m C.m D．20m 答案　C 解析　如圖所示， 設(shè)AE為塔，B為塔正東方向一點，沿南偏西60前進(jìn)40 m到達(dá)C處， 即BC＝40，∠CAB＝135，∠ABC＝30，∠ACB＝15. 在△ABC中， ＝， 即＝，∴AC＝20. 過點A作AG⊥BC，垂足為G，此時仰角∠AGE最大， 在△ABC中，由面積公式知 BCAG＝BCACsin∠ACB. ∴AG＝ ＝ACsin ∠ACB＝20sin 15， ∴AG＝20sin(45－30)＝20 ＝10(－1)． 在Rt△AEG中，∵AE＝AGtan∠AGE， ∴AE＝10(－1)＝10－， ∴塔高為 m. 二、填空題 7．一蜘蛛沿東北方向爬行xcm捕捉到一只小蟲，然后向右轉(zhuǎn)105，爬行10cm捕捉到另一只小蟲，這時它向右轉(zhuǎn)135爬行回它的出發(fā)點，則x＝________cm. 答案　 解析　如圖所示，設(shè)蜘蛛原來在O點，先爬行到A點，再爬行到B點， 則在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75，∠ABO＝45，則∠AOB＝60，由正弦定理知 x＝＝＝ (cm)． 8.如圖，小明以每分鐘20米的速度向東行走，他在A處看到一電視塔B在北偏東30，行走1小時后，到達(dá)C處，看到這個電視塔在北偏西15，則此時小明與電視塔的距離為______米． 答案　3600 解析　由題意得∠BAC＝60， ∠ACB＝75，所以∠B＝45， AC＝2060＝1 200(米)， ＝， 所以BC＝3 600(米)． 9.如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖．支桿BC＝10m，吊桿AC＝15m，吊索AB＝5m，起吊的貨物與岸的距離AD為________m. 答案　 解析　在△ABC中，AC＝15 m，AB＝5 m，BC＝10 m，由余弦定理得，cos∠ACB＝ ＝＝－， ∴sin∠ACB＝， 又∠ACB＋∠ACD＝180， ∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝. 在Rt△ADC中， AD＝ACsin∠ACD＝15＝. 10．海上一觀測站A測得南偏西60的方向上有一艘停止待維修的商船D，在商船D的正東方有一艘海盜船B正向它靠近，速度為每小時90海里，此時海盜船B距觀測站10海里，20分鐘后測得海盜船B位于距觀測站20海里的C處，再經(jīng)________分鐘海盜船B到達(dá)商船D處． 答案　 解析　如圖，過A作AE⊥BD于點E， 由已知可知AB＝10海里，BC＝30海里，AC＝20海里， ∴cos∠ACB ＝ ＝＝， ∵0<∠ACB<180， ∴∠ACB＝60，∴AE＝10海里． ∵∠DAE＝60，∴DE＝10＝30海里． ∵∠CAE＝30，∴CE＝10海里，∴DC＝20海里， ∴t＝60＝(分鐘)． 三、解答題 11.如圖所示，貨輪在海上以40km/h的速度由B向C航行，航行的方位角是140.A處有一燈塔，其方位角是110，在C處觀察燈塔A的方位角是35，由B到C需航行半個小時，求C到燈塔A的距離． 解　在△ABC中，BC＝40＝20(km)， ∠ABC＝140－110＝30， ∠ACB＝(180－140)＋35＝75，∴∠BAC＝75. 由正弦定理，得＝，∴AC＝ ＝＝ ＝10(－)(km)． 答　C到燈塔A的距離為10(－) km. 12．某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出呼叫信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45距離為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105的方向以10海里/小時的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇立即以10海里/小時的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間． 解　如圖所示，設(shè)所需時間為t小時， 則AB＝10t，BC＝10t，∠ACB＝120. 在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos∠ACB， 可得(10t)2＝102＋(10t)2－21010tcos 120， 整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)． 即艦艇需1小時靠近漁船，此時AB＝10，BC＝10， 在△ABC中，由正弦定理，得＝， 所以sin∠CAB＝＝＝， 又因為∠CAB為銳角，所以∠CAB＝30， 所以艦艇航行的方位角為75. 13.如圖所示，位于東海某島的雷達(dá)觀測站A，發(fā)現(xiàn)其北偏東45，與觀測站A距離20海里的B處有一貨船正勻速直線行駛，半小時后，又測得該貨船位于觀測站A東偏北θ(0<θ<45)的C處，且cosθ＝.已知A，C兩處的距離為10海里，則該貨船的船速為(　　) A．4海里/小時 B．3海里/小時 C．2海里/小時 D．4海里/小時 答案　A 解析　因為cos θ＝，0<θ<45，所以sin θ＝， cos(45－θ)＝＋＝， 在△ABC中，BC2＝(20)2＋102－22010＝340， 所以BC＝2， 該貨船的船速為＝4(海里/小時)． 14．為保障高考的公平性，高考時每個考點都要安裝手機(jī)屏蔽儀，要求在考點周圍1千米處不能收到手機(jī)信號，檢查員抽查某市一考點，在考點正西千米有一條北偏東60方向的公路，在此處檢查員用手機(jī)接通電話，以每小時12千米的速度沿公路行駛，問最長需要多少分鐘檢查員開始收不到信號，并至少持續(xù)多長時間該考點才算合格？ 解　如圖所示，考點為A，檢查開始處為B， 設(shè)檢查員行駛到公路上C，D兩點之間時收不到信號，即公路上C，D兩點到考點的距離為1千米． 在△ABC中，AB＝(千米)， AC＝1(千米)，∠ABC＝30， 由正弦定理，得sin∠ACB＝AB＝， ∴∠ACB＝120(∠ACB＝60不合題意)， ∴∠BAC＝30，∴BC＝AC＝1千米． 在△ACD中，AC＝AD＝1，∠ACD＝60， ∴△ACD為等邊三角形，∴CD＝1千米． ∵60＝5， ∴在BC上需5分鐘，CD上需5分鐘． ∴最長需要5分鐘檢查員開始收不到信號，并持續(xù)至少5分鐘才算合格．