（安徽專版）九年級數(shù)學下冊 24.6 正多邊形與圓習題 （新版）滬科版.doc

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24.6　正多邊形與圓 第1課時　正多邊形與圓 01　　基礎題 知識點1　正多邊形的概念 1．下列敘述正確的是（B） A．各邊相等的多邊形是正多邊形 B．各邊相等、各角也相等的多邊形是正多邊形 C．各角相等的多邊形是正多邊形 D．軸對稱圖形是正多邊形 2．已知一個正多邊形的每個外角等于60，則這個正多邊形是（B） A．正五邊形 B．正六邊形 C．正七邊形 D．正八邊形 3．（xx株洲）下列圓的內接正多邊形中，一條邊所對的圓心角最大的圖形是（A） A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形 4．如圖，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，則下列結論錯誤的是（D） A．弦AB的長等于圓內接正六邊形的邊長 B．弦AC的長等于圓內接正十二邊形的邊長 C.＝ D．∠BAC＝30 第4題圖 　　　　第5題圖 5．如圖，正方形ABCD是⊙O的內接正方形，點P是劣弧上不同于點C的任意一點，則∠BPC的度數(shù)是45度． 6．若正多邊形的一個內角等于140，則該正多邊形的邊數(shù)是9． 7．如圖，五邊形ABCDE內接于⊙O，AB＝BC＝CD＝DE＝EA.求證：五邊形ABCDE是正五邊形． 證明：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA， ∴＝＝＝＝. ∴＝＝＝＝.∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E. ∴五邊形ABCDE是正五邊形． 8．如圖，AD，AE是正六邊形的兩條對角線，不添加任何輔助線，請你寫出兩個正確的結論．（不必說明理由） 解：本題答案不唯一，如： ①△ADE是直角三角形； ②AD是正六邊形外接圓的直徑； ③AD∥BC等． 知識點2　等分圓周畫正多邊形 9．高斯用直尺和圓規(guī)作出了正十七邊形，如圖，正十七邊形的一邊所對的外接圓的圓心角∠AOB的度數(shù)近似于（C） A．11 B．17 C．21 D．25 10．畫一個半徑為2 cm的正五邊形，再作出這個五邊形的各條對角線，畫出一個五角星． 解：畫法：（1）以O為圓心，OA＝2 cm為半徑畫圓； （2）以O點為頂點，以OA為一邊作∠AOB＝72，再依次作∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝72，分別與圓交于點B，C，D，E； （3）分別連接AB，BC，CD，DE，EA.則五邊形ABCDE就是所要畫的正五邊形（如圖1）； （4）依次連接AC，AD，BD，BE，CE.就畫出了所要作的對角線和要求的五角星（如圖2）． 02　　中檔題 11．如圖，A，B，C，D，E，F(xiàn)是⊙O的六等分點，則∠ACB等于（C） A．60 B．45 C．30 D．22.5 12．若正三角形、正方形、正六邊形的周長相等，它們的面積分別為S1，S2，S3，則下列關系成立的是（C） A．S1＝S2＝S3 B．S1>S2>S3 C．S1S3>S1 13．如圖，已知⊙O內接等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36，弦BD，CE分別平分∠ABC，∠ACB，BE＝BC.求證：五邊形AEBCD是正五邊形． 證明：∵AB＝AC，∠BAC＝36， ∴∠ABC＝∠ACB＝72. ∵BD，CE平分∠ABC，∠ACB， ∴∠BAC＝∠BCE＝∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝36. ∴＝＝＝＝. ∴AE＝BE＝BC＝CD＝AD， ∠AEB＝∠EBC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAE. ∴五邊形AEBCD是正五邊形． 14．如圖，點M，N分別是正五邊形ABCDE的邊BC，CD上的點，且BM＝CN，AM交BN于點P. （1）求證：△ABM≌△BCN； （2）求∠APN的度數(shù)． 解：（1）證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形， ∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN. 在△ABM和△BCN中， ∴△ABM≌△BCN（SAS）． （2）∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN. ∵∠APN＝∠ABP＋∠BAM， ∴∠APN＝∠ABP＋∠CBN＝∠ABC. ∵∠ABC＝＝＝108. ∴∠APN＝108. 03　　鏈接中考 15．如圖1，2，3，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是⊙O的內接三角形、內接四邊形、內接五邊形，點M，N分別從點B，C開始，以相同的速度在⊙O上逆時針運動． （1）求圖1中∠APN的度數(shù)；（寫出解題過程） （2）寫出圖2中∠APN的度數(shù)和圖3中∠APN的度數(shù)； （3）試探索∠APN的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的關系．（直接寫答案） 解：（1）∵∠APN＝∠ABP＋∠BAP， 又∵點M，N以相同的速度在⊙O上逆時針運動， ∴＝. ∴∠BAM＝∠CBN. ∴∠APN＝∠ABP＋∠CBN＝∠ABC＝60. （2）圖2中∠APN的度數(shù)為90； 圖3中∠APN的度數(shù)為108. （3）∠APN＝. 第2課時　正多邊形的性質 01　　基礎題 　　　　　　　　　　　　　　　　 知識點1　正多邊形的性質與計算 1．正六邊形的邊心距為，則該正六邊形的邊長是（B） A. B．2 C．3 D．2 2．如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，這個正五邊形的邊長為a，半徑為R，邊心距為r，則下列關系式錯誤的是（A） A．R2－r2＝a2 B．a＝2Rsin36 C．a＝2rtan36 D．r＝Rcos36 第2題圖 　　　　第4題圖 3. （xx濱州）若正方形的外接圓半徑為2，則其內切圓半徑為（A） A. B．2 C. D．1 4．如圖，AD，BE，CF是正六邊形ABCDEF的對角線，則圖中平行四邊形的個數(shù)有（C） A．2個 B．4個 C．6個 D．8個 5．已知⊙O的面積為2π，則其內接正三角形的面積為（C） A．3 B．3 C. D. 6．如圖，點O是正五邊形ABCDE的中心，則∠BAO的度數(shù)為54． 第6題圖 　　第7題圖 7．如圖，⊙O的內接正三角形ABC的邊心距OD為2 cm，則⊙O的半徑為4cm. 8．（xx呼和浩特）同一個圓的內接正方形和正三角形的邊心距的比為∶1． 9．如圖所示的向日葵圖案是用等分圓周畫出的，則⊙O與半圓P的半徑的比為2∶1． 10．（教材P51例題變式）求邊長為20 cm的正六邊形的面積與此正六邊形內切圓周長和外接圓面積． 解：如圖，易知∠AOB＝＝60， ∴∠DOB＝30. 又∵邊長為20 cm， ∴DB＝10 cm. 在Rt△OBD中，可求得OD＝10 cm，OB＝20 cm. ∴S正六邊形＝6S△OAB＝62010 ＝600（cm2）． 正六邊形內切圓周長為2πOD＝20π cm. 正六邊形外接圓面積為πOB2＝400π cm2. 知識點2　正多邊形的對稱性 11．正五邊形繞其中心旋轉下列各角度，所得正五邊形與原正五邊形不重合的是（C） A．216 B．144 C．120 D．72 12．正二十邊形的對稱軸有20條． 02　　中檔題 13．（xx達州）以半徑為2的圓的內接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形，則該三角形的面積為（A） A. B. C. D. 14．如圖，正六邊形ABCDEF中，AB＝2，點P是ED的中點，連接AP，則AP的長為（C） A．2 B．4 C. D. 15．如圖，邊長為a的正六邊形內有兩個三角形（數(shù)據如圖），則＝（C） A．3 B．4 C．5 D．6 第15題圖 　　　第16題圖 16．（xx株洲）如圖，正五邊形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的內接多邊形，則∠BOM＝48． 17．如圖，已知⊙O的兩直徑AB，CD互相垂直，弦MN垂直平分OB，交OB于點E.求證：MB與MC分別為⊙O的內接正六邊形和正十二邊形的邊長． 證明：連接OM. ∵MN垂直平分OB， ∴MN⊥OB，OE＝OB＝OM， ∴∠EMO＝30.∴∠MOB＝60. ∴∠MOC＝30. ∵∠MOB＝＝60，∠MOC＝＝30， ∴MB，MC分別是⊙O內接正六邊形和正十二邊形的邊長． 18．如圖，正五邊形ABCDE的對角線AC，BE相交于點M. （1）求證：四邊形CDEM是菱形； （2）設ME2＝BEBM，若AB＝4，求BE的長． 解：（1）證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠D＝∠DCB＝108，∠ACB＝36， ∴∠DCA＝72. ∴∠D＋∠DCA＝180. ∴DE∥AC. 同理可證DC∥BE. ∴四邊形DEMC為平行四邊形． 又∵DE＝DC， ∴四邊形CDEM是菱形． （2）∵五邊形ABCDE是正五邊形， ∴∠AEB＝36，∠EAM＝72. 同理可得∠BAC＝∠ABE＝36. ∴△ABE∽△MAB. ∴＝. ∴AB2＝BEBM. ∵ME2＝BEBM， ∴ME＝AB＝4，BM＝BE－4. ∴BE（BE－4）＝16. 解得BE＝2＋2或2－2（舍去）， 即BE的長為2＋2. 03　　鏈接中考 19．圖1、圖2分別是兩個相同正方形、正六邊形，其中一個正多邊形的頂點在另一個正多邊形外接圓圓心O處． （1）求圖1中，重疊部分面積與陰影部分面積之比； （2）求圖2中，重疊部分面積與陰影部分面積之比．（直接寫出答案） 解：（1）連接OA，OB，過點O作OM⊥AB，垂足為M. ∵點O是正方形ABCD外接圓圓心， ∴OA＝OB. ∵四邊形ABCD為正方形，∴OM＝AB. ∴S△ABO＝S正方形ABCD. ∵∠AOB＝90，∠AOF＋∠A′OB＝∠A′OB＋∠BOE＝90， ∴∠AOF＝∠BOE. 又∵∠OAF＝∠OBE＝45， ∴△AOF≌△BOE（ASA）． ∴S△AOF＝S△BOE. ∴S重疊＝S△BOF＋S△BOE＝S△BOF＋S△AOF＝S△ABO＝S正方形ABCD.∴S陰影＝S正方形ABCD. ∴重疊部分面積與陰影部分面積之比為1∶3. （2）1∶2.