2018-2019版高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.1 第2課時 排列的綜合應用學案 新人教A版選修2-3.doc

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第2課時　排列的綜合應用 學習目標　1.進一步加深對排列概念的理解.2.掌握幾種有限制條件的排列，能應用排列數(shù)公式解決簡單的實際問題． 知識點　排列及其應用 1．排列數(shù)公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝. A＝n(n－1)(n－2)…21＝n！(叫做n的階乘)．另外，我們規(guī)定0！＝1. 2．應用排列與排列數(shù)公式求解實際問題中的計數(shù)問題的基本步驟 類型一　無限制條件的排列問題 例1　(1)有7本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？ (2)有7種不同的書，要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？ 考點　排列的應用 題點　無限制條件的排列問題 解　(1)從7本不同的書中選3本送給3名同學，相當于從7個元素中任取3個元素的一個排列，所以共有A＝765＝210(種)不同的送法． (2)從7種不同的書中買3本書，這3本書并不要求都不相同，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有777＝343(種)不同的送法． 反思與感悟　典型的排列問題，用排列數(shù)計算其排列方法數(shù)；若不是排列問題，需用計數(shù)原理求其方法種數(shù)．排列的概念很清楚，要從“n個不同的元素中取出m個元素”．即在排列問題中元素不能重復選取，而在用分步乘法計數(shù)原理解決的問題中，元素可以重復選?。? 跟蹤訓練1　(1)有5個不同的科研小課題，從中選3個由高二(6)班的3個學習興趣小組進行研究，每組一個課題，共有多少種不同的安排方法？ (2)有5個不同的科研小課題，高二(6)班的3個學習興趣小組報名參加，每組限報一個課題，共有多少種不同的報名方法？ 考點　排列的應用 題點　無限制條件的排列問題 解　(1)從5個不同的課題中選出3個，由興趣小組進行研究，對應于從5個不同元素中取出3個元素的一個排列，因此不同的安排方法有A＝543＝60(種)． (2)由題意知3個興趣小組可能報同一科研課題，因此元素可以重復，不是排列問題． 由于每個興趣小組都有5種不同的選擇，且3個小組都選擇完才算完成這件事，所以由分步乘法計數(shù)原理得共有555＝125(種)報名方法． 類型二　排隊問題 例2　3名男生、4名女生按照不同的要求排隊，求不同的排隊方法的種數(shù)． (1)全體站成一排，男、女各站在一起； (2)全體站成一排，男生必須站在一起； (3)全體站成一排，男生不能站在一起； (4)全體站成一排，男、女各不相鄰． 考點　排列的應用 題點　元素“相鄰”與“不相鄰”問題 解　(1)男生必須站在一起是男生的全排列，有A種排法； 女生必須站在一起是女生的全排列，有A種排法； 全體男生、女生各視為一個元素，有A種排法． 由分步乘法計數(shù)原理知，共有AAA＝288(種)排隊方法． (2)三個男生全排列有A種方法，把所有男生視為一個元素，與4名女生組成5個元素全排列，有A種排法．故有AA＝720(種)排隊方法． (3)先安排女生，共有A種排法；男生在4個女生隔成的五個空中安排，共有A種排法，故共有AA＝1 440(種)排法． (4)排好男生后讓女生插空，共有AA＝144(種)排法． 反思與感悟　處理元素“相鄰”“不相鄰”問題應遵循“先整體，后局部”的原則．元素相鄰問題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個元素“捆綁”為一個大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個元素內部全排列．元素不相鄰問題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素． 跟蹤訓練2　某次文藝晚會上共演出8個節(jié)目，其中2個唱歌、3個舞蹈、3個曲藝節(jié)目，求分別滿足下列條件的節(jié)目編排方法有多少種？ (1)一個唱歌節(jié)目開頭，另一個放在最后壓臺； (2)2個唱歌節(jié)目互不相鄰； (3)2個唱歌節(jié)目相鄰且3個舞蹈節(jié)目不相鄰． 考點　排列的應用 題點　元素“相鄰”與“不相鄰”問題 解　(1)先排唱歌節(jié)目有A種排法，再排其他節(jié)目有A種排法，所以共有AA＝1 440(種)排法． (2)先排3個舞蹈節(jié)目和3個曲藝節(jié)目有A種排法，再從其中7個空(包括兩端)中選2個排唱歌節(jié)目，有A種插入方法，所以共有AA＝30 240(種)排法． (3)把2個相鄰的唱歌節(jié)目看作一個元素，與3個曲藝節(jié)目排列共A種排法，再將3個舞蹈節(jié)目插入，共有A種插入方法，最后將2個唱歌節(jié)目互換位置，有A種排法，故所求排法共有AAA＝2 880(種)排法． 例3　六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？ (1)甲不能在兩端； (2)甲、乙必須在兩端； (3)甲不在最左端，乙不在最右端． 考點　排列的應用 題點　元素“在”與“不在”問題 解　(1)先考慮甲有A種方案，再考慮其余5人全排列，故N＝AA＝480(種)； (2)先安排甲、乙有A種方案，再安排其余4人全排列，故N＝AA＝48(種)； (3)方法一　甲在最左端的站法有A種，乙在最右端的站法有A種，且甲在最左端而乙在最右端的站法有A種，共有A－2A＋A＝504(種)站法． 方法二　以元素甲分類可分為兩類：a.甲站最右端有A種，b.甲在中間4個位置之一，而乙不在最右端有AAA種，故共有A＋AAA＝504(種)站法． 反思與感悟　“在”與“不在”排列問題解題原則及方法 (1)原則：解“在”與“不在”的有限制條件的排列問題時，可以從元素入手也可以從位置入手，原則是誰特殊誰優(yōu)先． (2)方法：從元素入手時，先給特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，從位置入手時，先安排特殊位置，再安排其他位置． 提醒：解題時，或從元素考慮，或從位置考慮，都要貫徹到底．不能一會考慮元素，一會考慮位置，造成分類、分步混亂，導致解題錯誤． 跟蹤訓練3　某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學、物理、體育、美術共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學，那么共有多少種不同的排課程表的方法？ 考點　排列的應用 題點　元素“在”與“不在”問題 解　6門課總的排法是A，其中不符合要求的可分為體育排在第一節(jié)，有A種排法；數(shù)學排在最后一節(jié)，有A種排法，但這兩種方法，都包括體育排在第一節(jié)，數(shù)學排在最后一節(jié)，這種情況有A種排法．因此符合條件的排法有A－2A＋A＝504(種)． 例4　將A，B，C，D，E這5個字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)．則有多少種不同的排列方法？ 考點　排列的應用 題點　排列中的定序問題 解　5個不同元素中部分元素A，B，C的排列順序已定，這種問題有以下兩種常用的解法． 方法一　(整體法)5個元素無約束條件的全排列有A種，由于字母A，B，C的排列順序為“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有2＝40(種)． 方法二　(插空法)若字母A，B，C的排列順序為“A，B，C”，將字母D，E插入，這時形成的4個空中，分兩類： 第一類，若字母D，E相鄰，則有AA種排法； 第二類，若字母D，E不相鄰，則有A種排法． 所以有AA＋A＝20(種)不同的排列方法． 同理，若字母A，B，C的排列順序為“C，B，A”，也有20種不同的排列方法． 因此，滿足條件的排列有20＋20＝40(種)． 反思與感悟　在有些排列問題中，某些元素有前后順序是確定的(不一定相鄰)，解決這類問題的基本方法有兩種： (1)整體法，即若有m＋n個元素排成一列，其中m個元素之間的先后順序確定不變，先將這m＋n個元素排成一列，有A種不同的排法；然后任取一個排列，固定其他n個元素的位置不動，把這m個元素交換順序，有A種排法，其中只有一個排列是我們需要的，因此共有種滿足條件的不同排法． (2)插空法，即m個元素之間的先后順序確定不變，因此先排這m個元素，只有一種排法，然后把剩下的n個元素分類或分步插入由以上m個元素形成的空隙中． 跟蹤訓練4　用1,2,3,4,5,6,7組成沒有重復數(shù)字的七位數(shù)，若1,3,5,7的順序一定，則有________個七位數(shù)符合條件． 考點　排列的應用 題點　排列中的定序問題 答案　210 解析　若1,3,5,7的順序不定，有A＝24(種)排法，故1,3,5,7的順序一定的排法數(shù)只占總排法數(shù)的. 故有A＝210(個)七位數(shù)符合條件． 類型三　數(shù)字排列問題 例5　用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成多少個符合下列條件的無重復的數(shù)字？ (1)六位奇數(shù)； (2)個位數(shù)字不是5的六位數(shù)； (3)不大于4 310的四位偶數(shù)． 考點　排列的應用 題點　數(shù)字的排列問題 解　(1)第一步，排個位，有A種排法； 第二步，排十萬位，有A種排法； 第三步，排其他位，有A種排法． 故共有AAA＝288(個)六位奇數(shù)． (2)方法一　(直接法)： 十萬位數(shù)字的排法因個位上排0與不排0而有所不同，因此需分兩類． 第一類，當個位排0時，有A個； 第二類，當個位不排0時，有AAA個． 故符合題意的六位數(shù)共有A＋AAA＝504(個)． 方法二　(排除法)： 0在十萬位和5在個位的排列都不對應符合題意的六位數(shù)，這兩類排列中都含有0在十萬位和5在個位的情況． 故符合題意的六位數(shù)共有A－2A＋A＝504(個)． (3)分三種情況，具體如下： ①當千位上排1,3時，有AAA個． ②當千位上排2時，有AA個． ③當千位上排4時，形如4 02,4 20的各有A個； 形如4 1的有AA個； 形如4 3的只有4 310和4 302這兩個數(shù)． 故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110(個)． 反思與感悟　數(shù)字排列問題是排列問題的重要題型，解題時要著重注意從附加受限制條件入手分析，找出解題的思路．常見附加條件有：(1)首位不能為0；(2)有無重復數(shù)字；(3)奇偶數(shù)；(4)某數(shù)的倍數(shù)；(5)大于(或小于)某數(shù)． 跟蹤訓練5　用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成多少個無重復數(shù)字的 (1)能被5整除的五位數(shù)； (2)能被3整除的五位數(shù)； (3)若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個數(shù)列{an}，則240 135是第幾項． 考點　排列的應用 題點　數(shù)字的排列問題 解　(1)個位上的數(shù)字必須是0或5.個位上是0，有A個；個位上是5，若不含0，則有A個；若含0，但0不作首位，則0的位置有A種排法，其余各位有A種排法，故共有A＋A＋AA＝216(個)能被5整除的五位數(shù)． (2)能被3整除的條件是各位數(shù)字之和能被3整除，則5個數(shù)可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}兩種情況，能夠組成的五位數(shù)分別有A個和AA個． 故能被3整除的五位數(shù)有A＋AA＝216(個)． (3)由于是六位數(shù)，首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字為1有A個數(shù)，首位數(shù)字為2，萬位上為0,1,3中的一個，有3A個數(shù)， ∴240 135的項數(shù)是A＋3A＋1＝193， 即240 135是數(shù)列的第193項． 1．6位學生排成兩排，每排3人，則不同的排法種數(shù)為(　　) A．36 B．120 C．240 D．720 考點　排列的應用 題點　無限制條件的排列問題 答案　D 解析　不同的排法有A＝654321＝720(種)． 2．6位選手依次演講，其中選手甲不排在第一個也不排在最后一個演講，則不同的演講次序共有(　　) A．240種 B．360種 C．480種 D．720種 考點　排列的應用 題點　元素“在”與“不在”問題 答案　C 解析　第一步：排甲，共有A種不同的排法；第二步：排其他人，共有A種不同的排法，因此不同的演講次序共有AA＝480(種)． 3．用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有(　　) A．144個 B．120個 C．96個 D．72個 考點　排列的應用 題點　數(shù)字的排列問題 答案　B 解析　當五位數(shù)的萬位為4時，個位可以是0,2，此時滿足條件的偶數(shù)共有2A＝48(個)；當五位數(shù)的萬位為5時，個位可以是0,2,4，此時滿足條件的偶數(shù)共有3A＝72(個)，所以比40 000大的偶數(shù)共有48＋72＝120(個)． 4．5位母親帶領5名兒童站成一排照相，兒童不相鄰的站法有________種． 考點　排列的應用 題點　元素“相鄰”與“不相鄰”問題 答案　86 400 解析　第1步，先排5位母親的位置，有A種排法； 第2步，把5名兒童插入5位母親所形成的6個空位中，如下所示： 母親____母親____母親____母親____母親____，共有A種排法． 由分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的站法共有AA＝86 400(種)． 5．兩家夫婦各帶一個小孩一起去公園游玩，購票后排隊依次入園．為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)為________． 考點　排列的應用 題點　元素“相鄰”與“不相鄰”問題 答案　24 解析　分3步進行分析， ①先安排兩位爸爸，必須一首一尾，有A＝2(種)排法， ②兩個小孩一定要排在一起，將其看成一個元素，考慮其順序有A＝2(種)排法， ③將兩個小孩看作一個元素與兩位媽媽進行全排列，有A＝6(種)排法．則共有226＝24(種)排法． 求解排列問題的主要方法： 直接法 把符合條件的排列數(shù)直接列式計算 優(yōu)先法 優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置 捆綁法 把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列 插空法 對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中 定序問題 除法處理 對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 間接法 正難則反，等價轉化的方法 一、選擇題 1．將3張不同的電影票全部分給10個人，每人至多一張，則不同的分法種數(shù)是(　　) A．1 260 B．120 C．240 D．720 考點　排列的應用 題點　排列的簡單應用 答案　D 解析　相當于3個元素排10個位置，有A＝720(種)不同的分法． 2．要從a，b，c，d，e 5個人中選出1名組長和1名副組長，但a不能當副組長，則不同的選法種數(shù)是(　　) A．20 B．16 C．10 D．6 考點　排列的應用 題點　排列的簡單應用 答案　B 解析　不考慮限制條件有A種選法，若a當副組長，有A種選法，故a不當副組長，有A－A＝16(種)選法． 3．一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為(　　) A．33! B．3(3！)3 C．(3！)4 D．9! 考點　排列的應用 題點　元素“相鄰”與“不相鄰”問題 答案　C 解析　利用“捆綁法”求解，滿足題意的坐法種數(shù)為A(A)3＝(3！)4.故選C. 4．某電視臺一節(jié)目收視率很高，現(xiàn)要連續(xù)插播4個廣告，其中2個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益宣傳廣告，要求最后播放的必須是商業(yè)廣告，且2個商業(yè)廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有(　　) A．8種 B．16種 C．18種 D．24種 考點　排列的應用 題點　元素“相鄰”與“不相鄰”問題 答案　A 解析　可分三步：第一步，排最后一個商業(yè)廣告，有A種；第二步，在前兩個位置選一個排第二個商業(yè)廣告，有A種；第三步，余下的兩個位置排公益宣傳廣告，有A種．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的播放方式共有AAA＝8(種)，故選A. 5．由1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，按從小到大的順序排成一個數(shù)列{an}，則a72等于(　　) A．1 543 B．2 543 C．3 542 D．4 532 考點　排列的應用 題點　數(shù)字的排列問題 答案　C 解析　首位是1的四位數(shù)有A＝24(個)， 首位是2的四位數(shù)有A＝24(個)， 首位是3的四位數(shù)有A＝24(個)， 由分類加法計數(shù)原理得， 首位小于4的所有四位數(shù)共324＝72(個)． 由此得a72＝3 542. 6．在制作飛機的某一零件時，要先后實施6個工序，其中工序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，工序B和C在實施時必須相鄰，則實施順序的編排方法共有(　　) A．34種 B．48種 C．96種 D．144種 考點　排列的應用 題點　元素“相鄰”與“不相鄰”問題 答案　C 解析　由題意可知，先排工序A，有2種編排方法；再將工序B和C視為一個整體(有2種順序)與其他3個工序全排列共有2A種編排方法．故實施順序的編排方法共有22A＝96(種)．故選C. 7．由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有(　　) A．210個 B．300個 C．464個 D．600個 考點　排列的應用 題點　數(shù)字的排列問題 答案　B 解析　由于組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，個位小于十位的與個位大于十位的一樣多，故有＝300(個)． 8．某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位員工中的甲、乙被安排在相鄰兩天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，則不同的安排方案共有(　　) A．504種 B．960種 C．1 108種 D．1 008種 考點　排列的應用 題點　元素“在”與“不在”問題 答案　D 解析　由題意知，滿足甲、乙兩人被安排在相鄰兩天值班的方案共有AA＝1 440(種)，其中滿足甲、乙兩人被安排在相鄰兩天值班且丙在10月1日值班的方案共有AA＝240(種)，滿足甲、乙兩人被安排在相鄰兩天值班且丁在10月7日值班的方案共有AA＝240(種)，滿足甲、乙兩人安排在相鄰兩天值班且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有AA＝48(種)．因此滿足題意的方案共有1 440－2240＋48＝1 008(種)． 二、填空題 9．5個人排成一排，要求甲、乙兩人之間至少有一人，則不同的排法有________種． 考點　排列的應用 題點　元素“相鄰”與“不相鄰”問題 答案　72 解析　甲、乙兩人相鄰共有AA種排法，則甲、乙兩人之間至少有一人共有A－AA＝72(種)排法． 10．從6名短跑運動員中選出4人參加4100 m接力賽，甲不能跑第一棒和第四棒，問共有________種參賽方案． 考點　排列的應用 題點　元素“在”與“不在”問題 答案　240 解析　方法一　從人(元素)的角度考慮，優(yōu)先考慮甲，分以下兩類： 第1類，甲不參賽，有A種參賽方案； 第2類，甲參賽，可優(yōu)先將甲安排在第二棒或第三棒，有2種方法，然后安排其他3棒，有A種方法，此時有2A種參賽方案． 由分類加法計數(shù)原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有A＋2A＝240(種)． 方法二　從位置(元素)的角度考慮，優(yōu)先考慮第一棒和第四棒，則這兩棒可以從除甲之外的5人中選2人，有A種方法；其余兩棒從剩余4人中選，有A種方法． 由分步乘法計數(shù)原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有AA＝240(種)． 方法三　(排除法)：不考慮甲的約束，6個人占4個位置，有A種安排方法，剔除甲跑第一棒和第四棒的參賽方案有2A種，所以甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有A－2A＝240(種)． 11．六個停車位置，有3輛汽車需要停放，若要使三個空位連在一起，則停放的方法數(shù)為________． 考點　排列的應用 題點　元素“相鄰”與“不相鄰”問題 答案　24 解析　把3個空位看作一個元素，與3輛汽車共有4個元素全排列，故停放的方法有A＝4321＝24(種)． 三、解答題 12．分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)． (1)6名學生排3排，前排1人，中排2人，后排3人； (2)6名學生排成一排，甲不在排頭也不在排尾； (3)6人排成一排，甲、乙不相鄰． 考點　排列的應用 題點　排列的簡單應用 解　(1)分排與直排一一對應，故排法種數(shù)為A＝720. (2)甲不能排頭尾，讓受特殊限制的甲先選位置，有A種選法，然后其他5人排，有A種排法，故排法種數(shù)為AA＝480. (3)甲、乙不相鄰，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之間的空位中排，共有AA＝480(種)排法． 四、探究與拓展 13．用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)(沒有重復數(shù)字)，要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是________．(用數(shù)字作答) 考點　排列的應用 題點　數(shù)字的排列問題 答案　40 解析　第一步，讓1,2必相鄰有A種排法；第二步，在5個位置上任取1個位置排有5種方法；第三步，在與1,2相鄰的一個位置上排有2種方法；第四步，在下一個位置上仍有2種方法；第五步，其余2個位置只有1種排法．故共有A5221＝40(種)． 14．高一年級某班的數(shù)學、語文、英語、物理、化學、體育六門課安排在某一天，每門課一節(jié)，上午四節(jié)，下午兩節(jié)，數(shù)學課必須在上午，體育課必須在下午，數(shù)、理、化三門課中任意兩門不相鄰，但上午第四節(jié)和下午第一節(jié)不叫相鄰，則不同的排法種數(shù)為多少？ 考點　排列的應用 題點　元素“相鄰”與“不相鄰”問題 解　分兩類： 第1類，數(shù)學課在上午第一節(jié)或第四節(jié)共A種排法，體育課在下午共A種排法，理、化課安排在上午一節(jié)，下午一節(jié)有2A種排法，其余兩門在剩下的位置安排共A種． 由分步乘法計數(shù)原理知，共有AA2AA＝32(種)排法． 第2類，數(shù)學課安排在上午第二節(jié)或第三節(jié)，共A種排法，體育課安排在下午有A種排法，理、化課安排在上午一節(jié)和下午一節(jié)，共A種排法，其余兩門在余下的位置安排共A種排法． 由分步乘法計數(shù)原理知，共有AAAA＝16(種)排法． 綜上，由分類加法計數(shù)原理知，排法種數(shù)為N＝32＋16＝48.