2018年秋高中數(shù)學 第3章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 3.1 數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念 3.1.2 復數(shù)的幾何意義學案 新人教A版選修1 -2.doc
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3.1.2 復數(shù)的幾何意義 學習目標：1.理解可以用復平面內的點或以原點為起點的向量來表示復數(shù)及它們之間的一一對應關系．(重點、難點)2.掌握實軸、虛軸、模等概念．(易混點)3.掌握用向量的模來表示復數(shù)的模的方法．(重點) [自 主 預 習探 新 知] 1．復平面 思考：有些同學說：實軸上的點表示實數(shù)，虛軸上的點表示虛數(shù)，這句話對嗎？ [提示]不正確．實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，原點對應的有序實數(shù)對為(0,0)，它所確定的復數(shù)是z＝0＋0i＝0，表示的是實數(shù)． 2．復數(shù)的幾何意義 3．復數(shù)的模 (1)定義：向量的模叫做復數(shù)z＝a＋bi的模． (2)記法：復數(shù)z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|且|z|＝. [基礎自測] 1．思考辨析 (1)復平面內的點與復數(shù)是一一對應的． ( ) (2)復數(shù)即為向量，反之，向量即為復數(shù)． ( ) (3)復數(shù)的模一定是正實數(shù)． ( ) (4)復數(shù)與向量一一對應． ( ) [答案] (1)√ (2) (3) (4) 2．已知復數(shù)z＝－i，復平面內對應點Z的坐標為( ) A．(0，－1) B．(－1,0) C．(0,0) D．(－1，－1) A [復數(shù)z＝－i的實部為0，虛部為－1，故復平面內對應點Z的坐標為(0，－1)．] 3．向量a＝(－2,1)所對應的復數(shù)是( ) A．z＝1＋2i B．z＝1－2i C．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i D [向量a＝(－2,1)所對應的復數(shù)是z＝－2＋i.] 4．已知復數(shù)z＝1＋2i(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝________. [∵z＝1＋2i，∴|z|＝＝.] [合 作 探 究攻 重 難] 復數(shù)與復平面內的點的關系 [探究問題] 1．在復平面上，如何確定復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點所在的位置？ 提示：看復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的實部和虛部所確定的點的坐標(a，b)所在的象限即可． 2．在復平面上，若復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第一象限，則實數(shù)a，b應滿足什么條件？我們可以得到什么啟示？ 提示：a>0，且b>0.在復平面內復數(shù)所表示的點所處位置，決定了復數(shù)實部、虛部的取值特征． 求實數(shù)a分別取何值時，復數(shù)z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)對應的點Z滿足下列條件： (1)在復平面的第二象限內． (2)在復平面內的x軸上方. 【導學號：48662127】 思路探究：→ [解] (1)點Z在復平面的第二象限內， 則解得a＜－3. (2)點Z在x軸上方，則 即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3. 母題探究：1.本例中題設條件不變，求復數(shù)z表示的點在x軸上時，實數(shù)a的值． [解] 點Z在x軸上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5. 故a＝5時，點Z在x軸上． 2．本例中條件不變，如果點Z在直線x＋y＋7＝0上，求實數(shù)a的值． [解] 因為點Z在直線x＋y＋7＝0上， 所以＋a2－2a－15＋7＝0， 即a3＋2a2－15a－30＝0， 所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝. 所以a＝－2或a＝時，點Z在直線x＋y＋7＝0上． [規(guī)律方法] 利用復數(shù)與點的對應解題的步驟 (1)首先確定復數(shù)的實部與虛部，從而確定復數(shù)對應點的橫、縱坐標. (2)根據(jù)已知條件，確定實部與虛部滿足的關系. 復數(shù)的模及其應用 (1)設(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數(shù)，則|x＋yi|＝( ) A．1 B． C． D．2 (2)已知復數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，求復數(shù)z. (1)[解析] 因為(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y(tǒng)＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，故選B. [答案] B (2)設z＝a＋bi(a、b∈R)，則|z|＝， 代入方程得a＋bi＋＝2＋8i， ∴，解得. ∴z＝－15＋8i. [規(guī)律方法] 1．復數(shù)z＝a＋bi模的計算：|z|＝. 2．復數(shù)的模的幾何意義：復數(shù)的模的幾何意義是復數(shù)所對應的點到原點的距離． 3．轉化思想：利用模的定義將復數(shù)模的條件轉化為其實虛部滿足的條件，是一種復數(shù)問題實數(shù)化思想． [跟蹤訓練] 1．(1)若復數(shù)z＝＋(a2－a－6)i是實數(shù)，則z1＝(a－1)＋(1－2a)i的模為________． (2)已知復數(shù)z＝3＋ai，且|z|<4，求實數(shù)a的取值范圍. 【導學號：48662128】 (1) [∵z為實數(shù)，∴a2－a－6＝0， ∴a＝－2或3.∵a＝－2時，z無意義，∴a＝3， ∴z1＝2－5i，∴|z1|＝.] (2)法一：∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝，由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－，)． 法二：利用復數(shù)的幾何意義，由|z|<4知，z在復平面內對應的點在以原點為圓心，以4為半徑的圓內(不包括邊界)， 由z＝3＋ai知z對應的點在直線x＝3上， 所以線段AB(除去端點)為動點Z的集合． 由圖可知：－
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