2020版高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理學(xué)案(含解析)新人教B版必修5.docx
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1.1.1 正弦定理 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法.2.能運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡單的解三角形問題. 知識(shí)點(diǎn)一 正弦定理 在一個(gè)三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等. 即:===2R.(R為△ABC外接圓的半徑) 知識(shí)點(diǎn)二 正弦定理的變形公式 (1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. (2)sinA=,sinB=,sinC=(其中R是△ABC外接圓的半徑). 知識(shí)點(diǎn)三 解三角形 一般地,把三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形. 1.正弦定理對任意的三角形都成立.( √ ) 2.在△ABC中,等式bsinC=csinB總能成立.( √ ) 3.在△ABC中,已知a,b,A,則能求出唯一的角B.( ) 4.任意給出三角形的三個(gè)元素,都能求出其余元素.( ) 題型一 已知兩角及一邊解三角形 例1 在△ABC中,已知A=30,B=60,a=10,解三角形. 解 根據(jù)正弦定理,得b===10. 又C=180-(30+60)=90. ∴c===20. 反思感悟 (1)正弦定理實(shí)際上是三個(gè)等式:=,=,=,每個(gè)等式涉及四個(gè)元素,所以只要知道其中的三個(gè)就可以求另外一個(gè). (2)因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180,所以已知兩角一定可以求出第三個(gè)角. 跟蹤訓(xùn)練1 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若B=45,C=60,c=1,則△ABC最短邊的邊長等于( ) A.B.C.D. 答案 A 解析 由三角形內(nèi)角和定理,得A=180-(B+C)=75,所以B是最小角,b為最短邊.由正弦定理,得=,即=,則b=,故選A. 題型二 已知兩邊及其中一邊的對角解三角形 例2 在△ABC中,已知c=,A=45,a=2,解三角形. 解 ∵=,∴sinC===, ∵c>a,C∈(0,180),∴C=60或C=120. 當(dāng)C=60時(shí),B=75,b===+1; 當(dāng)C=120時(shí),B=15,b===-1. ∴b=+1,B=75,C=60或b=-1,B=15,C=120. 引申探究 若把本例中的條件“A=45”改為“C=45”,則角A有幾個(gè)值? 解 ∵=,∴sin A===. ∵c=>2=a,∴C>A. ∴A為小于45的銳角,且正弦值為,這樣的角A只有一個(gè). 反思感悟 這一類型題目的解題步驟為 ①用正弦定理求出另一邊所對角的正弦值; ②用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角; ③根據(jù)正弦定理求出第三條邊. 其中進(jìn)行①時(shí)要注意討論該角是否可能有兩個(gè)值. 跟蹤訓(xùn)練2 在△ABC中,若a=,b=2,A=30,則C=. 答案 105或15 解析 由正弦定理=, 得sinB===. ∵B∈(0,180),∴B=45或135, ∴C=180-45-30=105或C=180-135-30=15. 題型三 正弦定理的證明 例3 △ABC的外接圓O的半徑為R,角A,B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,c,證明:===2R. 證明?、偃簟螦為直角(如圖1所示),在Rt△BAC中,可直接得a=2RsinA; ②在銳角△ABC中,如圖2,連接BO并延長,交外接圓于點(diǎn)A′,連接A′C, 則圓周角A′=A. ∵A′B為直徑,長度為2R,∴∠A′CB=90, ∴sinA′==, ∴sinA=,a=2RsinA. ③若∠A為鈍角(如圖3所示),作直徑BA′,連接A′C,則∠A′=π-∠A,在Rt△BCA′中, BC=A′BsinA′=2Rsin(π-A)=2RsinA, 即a=2RsinA. 由①②③得a=2RsinA,即2R=, 同理可證,2R=,2R=. 所以===2R. 反思感悟 引入三角形的外接圓半徑,可以加深理解正弦定理的幾何意義,更加方便實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角互化. 三角形形狀的判斷 典例 在△ABC中,已知=,且sin2A+sin2B=sin2C. 求證:△ABC為等腰直角三角形. 證明 ∵=, ∴=, 又∵=, ∴=, ∴a2=b2即a=b, 設(shè)===k(k≠0), 則sin A=,sin B=,sin C=, 又∵sin2A+sin2B=sin2C, ∴+=,即a2+b2=c2, ∴△ABC為等腰直角三角形. [素養(yǎng)評析] (1)正弦定理是以比例的形式給出來的,所以在應(yīng)用時(shí)要注意結(jié)合比例的基本性質(zhì). (2)正弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角互化. (3)判斷和證明要掌握推理的基本形式和規(guī)則,形成重論據(jù)、有條理、合邏輯的思維品質(zhì),突出體現(xiàn)邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 1.在△ABC中,一定成立的等式是( ) A.a(chǎn)sinA=bsinB B.a(chǎn)cosA=bcosB C.a(chǎn)sinB=bsinA D.a(chǎn)cosB=bcosA 答案 C 解析 由正弦定理=,得asinB=bsinA,故選C. 2.在△ABC中,若sinA=sinC,則△ABC是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.銳角三角形 D.鈍角三角形 答案 B 解析 由sinA=sinC及正弦定理,知a=c, ∴△ABC為等腰三角形. 3.在△ABC中,已知a=8,B=60,C=75,則b等于( ) A.4 B.4 C.4 D.4 答案 C 解析 易知A=45,由=得 b===4. 4.在△ABC中,若a=,b=,B=,則A=. 答案 或 解析 由正弦定理,得sinA===, 又A∈(0,π),a>b,∴A>B,∴A=或. 5.在△ABC中,已知a=,sinC=2sinA,則c=. 答案 2 解析 由正弦定理,得c==2a=2. 1.正弦定理的表示形式:===2R, 或a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(其中R為△ABC外接圓的半徑). 2.正弦定理的應(yīng)用范圍 (1)已知兩角和任一邊,求其他兩邊和其余一角. (2)已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊和其余兩角. 3.已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值. (2)如果已知的角為大邊所對的角,由三角形中大邊對大角、大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角,由正弦值可求唯一銳角. (3)如果已知的角為小邊所對的角,則不能判斷另一邊所對的角為銳角,這時(shí)由正弦值可求得兩個(gè)角,要分類討論. 一、選擇題 1.在△ABC中,a=5,b=3,則sinA∶sinB的值是( ) A.B.C.D. 答案 A 解析 根據(jù)正弦定理,得==. 2.在△ABC中,若A=105,B=45,b=2,則c等于( ) A.1B.2C.D. 答案 B 解析 ∵A=105,B=45,∴C=30. 由正弦定理,得c===2. 3.在△ABC中,a=bsinA,則△ABC一定是( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形 答案 B 解析 由題意可知=b=,則sinB=1, 又B∈(0,π),故B為直角,△ABC是直角三角形. 4.在△ABC中,若=,則C的值為( ) A.30B.45C.60D.90 答案 B 解析 由正弦定理知=, ∴=,∴cosC=sinC,∴tanC=1, 又∵C∈(0,180),∴C=45. 5.在△ABC中,若sinA>sinB,則A與B的大小關(guān)系為( ) A.A>B B.AsinB, ∴2RsinA>2RsinB(R為△ABC外接圓的半徑), 即a>b,故A>B. 6.在△ABC中,已知A=,a=,b=1,則c的值為( ) A.1B.2C.-1D. 答案 B 解析 由正弦定理=, 可得=,∴sinB=, 由a>b,得A>B,∴B∈,∴B=. 故C=,由勾股定理得c=2. 7.在△ABC中,a=15,b=10,A=60,則cosB等于( ) A.-B.C.-D. 答案 D 解析 由正弦定理,得=, ∴sinB===. ∵a>b,∴A>B,又∵A=60,∴B為銳角. ∴cosB===. 8.(2018北京高二檢測)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,則cosC等于( ) A. B.- C. D. 答案 A 解析 因?yàn)樵凇鰽BC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,所以8sin B=5sin C=5sin 2B=10sin Bcos B,所以cos B=,又B為三角形內(nèi)角,所以sin B==. 所以sinC=sin2B=2=. 又cosB>cos45,所以B<45,C=2B<90, cosC==. 二、填空題 9.在△ABC中,已知a=2,A=60,則△ABC的外接圓的直徑為. 答案 解析 △ABC外接圓直徑2R===. 10.在△ABC中,若-=0,則△ABC的形狀一定是三角形. 答案 等腰 解析 由正弦定理,=, 得-=-=0, ∴a2=b2,a=b. ∴△ABC為等腰三角形. 11.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若滿足B=60,c=2的三角形有兩解,則b的取值范圍為. 答案 (,2) 解析 在△ABC中,B=60,c=2,由正弦定理可得=,得c=.若此三角形有兩解,則必須滿足的條件為c>b>csinB,即2>b>,故答案為(,2). 三、解答題 12.已知在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,c=10,A=45,C=30,求a,b和B. 解 ∵=, ∴a===10. B=180-(A+C)=180-(45+30)=105. 又∵=, ∴b===20sin 75 =20=5(+). 13.在△ABC中,acos=bcos,試判斷△ABC的形狀. 解 方法一 ∵acos=bcos, ∴asinA=bsinB. 由正弦定理,可得a=b, ∴a2=b2,∴a=b, ∴△ABC為等腰三角形. 方法二 ∵acos=bcos, ∴asinA=bsinB. 由正弦定理,可得2Rsin2A=2Rsin2B, 又∵A,B∈(0,π), ∴sinA=sinB, ∴A=B(A+B=π不合題意,舍去). 故△ABC為等腰三角形. 14.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,則b=. 答案 解析 在△ABC中,由cosA=,cosC=,可得sinA=,sinC=,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=,又a=1,由正弦定理得b==. 15.在△ABC中,若b=5,B=,tanA=2,則sinA=,a=. 答案 2 解析 由tanA=2,得sinA=2cosA, 由sin2A+cos2A=1及0- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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