上海大學物理二第五章.ppt

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1、第 五 章,剛體的定軸轉(zhuǎn)動,5- 1 剛體轉(zhuǎn)動的描述,,一、剛體的基本運動,平動：,剛體在運動過程中，其上任意兩點的連線始終保持平行。,可以用質(zhì)點力學的方法來處理剛體的平動問題。,注：,,,,一般運動=平動 (質(zhì)心的運動)+繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動,,轉(zhuǎn)動：,剛體上所有質(zhì)點都繞同一直線作圓周運動。這種運動稱為剛體的轉(zhuǎn)動。這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。,定軸轉(zhuǎn)動：,轉(zhuǎn)軸固定不動的轉(zhuǎn)動。,,,,二、描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量,角速度的大?。?由右手螺旋法則確定。,角速度 的方向：,角速度的矢量性,角加速度:,勻加速轉(zhuǎn)動,例題1 一飛輪轉(zhuǎn)速n=1500r/min，受到制動后均勻 地減速，經(jīng)t=50 s后靜止。 （1）求

2、角加速度a 和飛輪從制動開始到靜止所轉(zhuǎn)過 的轉(zhuǎn)數(shù)N； （2）求制動開始后t=25s 時飛 輪的角速度? ； （3）設飛輪的半徑r=1m，求在 t=25s 時邊緣上一點的速 度和加速度。,解 （1）設初角度為?0方向如圖所示，,量值為?0 =2??1500/60=50? rad/s, 在t =50S 時刻? =0,從開始制動到靜止，飛輪的角位移?? 及轉(zhuǎn)數(shù)N 分別為,（2）t =25s 時飛輪的角速度為,?的方向與?0相同 ；,的方向幾乎和 相同。,例題2 一飛輪在時間t內(nèi)轉(zhuǎn)過角度?＝at+bt3-ct4 , 式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。,解：飛輪上某點角位置可用?表示為

3、 ? ＝at+bt3-ct4 將此式對t求導數(shù)，即得飛輪角速度的表達式為,角加速度是角速度對t的導數(shù)，因此得,由此可見飛輪作的是變加速轉(zhuǎn)動。,,應用牛頓第二定律，可得：,,,,ω,O,,,,,,,,對剛體中任一質(zhì)量元,-外力,-內(nèi)力,采用自然坐標系，上式切向分量式為：,O’,5-2 轉(zhuǎn)動定律,用 乘以上式左右兩端：,設剛體由N 個點構成，對每個質(zhì)點可寫出上述類似方程，將N 個方程左右相加，得：,根據(jù)內(nèi)力性質(zhì)(每一對內(nèi)力等值、反向、共 線,對同一軸力矩之代數(shù)和為零)，得：,得到：,上式左端為剛體所受外力的合外力矩，以M 表示；右端求和符號內(nèi)的量與轉(zhuǎn)動狀態(tài)無關，稱為剛體轉(zhuǎn)動慣量，以J 表示。于是得

4、到,剛體定軸轉(zhuǎn)動定律,（2）M 的符號：使剛體向規(guī)定的轉(zhuǎn)動正方向加速 的力矩為正；,按轉(zhuǎn)動慣量的定義有,5.3 轉(zhuǎn)動慣量,比較：,平動定律,轉(zhuǎn)動定律,轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動中慣性大小的量度。,質(zhì)量是平動中慣性大小的量度。,—質(zhì)元的質(zhì)量,—質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離,質(zhì)量連續(xù)分布的剛體， 寫成積分形式,例5.2 求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。,解:,J是可加的，所以若為薄圓筒（不計厚度）結果相同。,解：設圓盤的質(zhì)量面密度為?，在圓盤上取一半徑為r、 寬度為dr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2?rdr，環(huán)的 質(zhì)量dm= ?2?rdr 。可得,例題5.4 求質(zhì)量為m、長為 l 的

5、均勻細棒對下面 三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量： （1）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直； （2）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直； （3）轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為h的一點 并和棒垂直。,,解:(1)建立坐標系，分割質(zhì)量元,,,,,,J 與剛體質(zhì)量、質(zhì)量分布、軸的位置有關,,(2)建立坐標系，分割質(zhì)量元,（3）建立坐標系，分割質(zhì)量元,,,剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量 J，等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量 JC 加上剛體質(zhì)量與兩軸間的距離平方的乘積：,剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小,,如：,例1.計算鐘擺的轉(zhuǎn)動慣量.（已知擺錘質(zhì)量為m，半徑為r，擺桿質(zhì)量也為m，長度為2r）,解：,擺桿轉(zhuǎn)動慣量：,擺錘轉(zhuǎn)動慣量：,鐘擺轉(zhuǎn)動

6、慣量：,組合定理：,例1:質(zhì)量為M=16kg的實心滑輪，半徑為R=0.15m。一根細繩繞在滑輪上，一端掛一質(zhì)量為m的物體。求靜止開始1秒鐘后物體下降的距離及繩子的張力。,解：,,5-4 轉(zhuǎn)動定律的應用,例:,例2：一半徑為R，質(zhì)量為m的均勻圓盤平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度為?o，繞中心o旋轉(zhuǎn)，問經(jīng)過多長時間圓盤才停止。（設摩擦系數(shù)為?）,解：,P167：例題5.5，5.6，5.7,5-5 角動量守恒,一. 剛體的角動量,剛體上的任一質(zhì)元,繞固定軸做圓周運動角動量為：,質(zhì)點對點的角動量為：,所以剛體繞此軸的角動量為：,二、 剛體的角動量守恒定律,角動量守恒定律：若一個系統(tǒng)一段時間內(nèi)所受合

7、外力矩M 恒為零，則此系統(tǒng)的總角動量L 為一恒量。,恒量,b.若系統(tǒng)由若干個剛體構成,當合外力矩為零時,系 統(tǒng)的角動量依然守恒。J 大→ 小,J 小→ 大。,討論：,a.對于繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的剛體，因J 保持不變， 當合外力矩為零時，其角速度恒定。,=恒量,=恒量,,,,,,,,,,,L,A,B,A,B,C,C,常平架上的回轉(zhuǎn)儀,例5.9 一個質(zhì)量為M, 半徑為R的水平均勻圓盤可繞通過中心的光滑豎直軸自由轉(zhuǎn)動。在 盤緣上站著一個質(zhì)量為m 的人，二者 最初都相對地面靜止。當人在盤上沿 盤邊走一周時，盤對地面轉(zhuǎn)過的角度 多大？,解:角動量守恒.初態(tài)系統(tǒng)角動量為零,設人對盤的角速度為ω1,盤對地的角速

8、度為ω2,例5.10 圖中的宇宙飛船對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為J= 2?10 3kg?m2 ，它以?=0.2rad/s的角速度繞中心軸旋轉(zhuǎn)。宇航員用兩個切向的控制噴管使飛船停止旋轉(zhuǎn)。每個噴管的位置與軸線距離都是r =1.5m。兩噴管的噴氣流量恒定，共是? =2kg/s. 廢氣的噴射速率（相對 于飛船周邊）u=50m/s， 并且恒定. 問噴管應噴 射多長時間才能使飛船 停止旋轉(zhuǎn)。,解: 把飛船和排出的廢氣看作一個系統(tǒng)，在整個噴射過程中，系統(tǒng)所受的對于飛船中心軸的外力矩為零，所以系統(tǒng)對于此軸的角動量守恒，即L0=L1,在噴氣過程中，以dm表示dt時間內(nèi)噴出的氣體，這些氣體對中心軸的角動量為dm ? r

9、(u+v)，方向與飛船的角動量相同。因u=50m/s遠大于飛船的速率v(= ?r) ，所以此角動量近似地等于dm ? ru。在整個噴氣過程中噴出廢氣的總的角動量Lg應為,當宇宙飛船停止旋轉(zhuǎn)時，其角動量為零。系統(tǒng)這時的總角動量L1就是全部排出的廢氣的總角動量，即為,由角動量守恒:,即,于是所需的時間為:,例1、質(zhì)量為M，長為2l的均質(zhì)細棒，在豎直平面內(nèi)可饒中心軸轉(zhuǎn)動。開始棒處于水平位置，一質(zhì)量為m的小球以速度u垂直落到棒的一端上。設為完全彈性碰撞。求碰后小球的回跳速度v以及棒的角速度。,解：,由系統(tǒng)角動量守恒,機械能守恒,解: 子彈和棒的總角動量守恒,問:子彈和棒的總動量守恒嗎? 為什么?,例3

10、 A、B兩圓盤繞各自的中心軸轉(zhuǎn)動，角速度分別為：wA=50rad.s-1, wB=200rad.s-1。已知A 圓盤半徑RA=0.2m, 質(zhì)量mA=2kg, B 圓盤的半徑RB=0.1m, 質(zhì)量mB=4kg. 試求兩圓盤對心銜接后的角速度w .,,,解：以兩圓盤為系統(tǒng)，盡管在銜接過程中有重力、軸對圓盤支持力及軸向正壓力，但他們均不產(chǎn)生力矩；圓盤間切向摩擦力屬于內(nèi)力。因此系統(tǒng)角動量守恒，得到,,P171：例題5.8,5.6 轉(zhuǎn)動中的功和能,一、轉(zhuǎn)動動能,動能：,,轉(zhuǎn)動慣量：,轉(zhuǎn)動動能：,二、力矩的功和功率,力矩的功：,力矩功率：,常力矩：,力的功等于力矩的功,,,,,,,,力的功,恒力矩的功:,

11、三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理,定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：,合外力矩對一個繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。,四、剛體的重力勢能,一個不太大的剛體的重力勢能相當于質(zhì)量集中于質(zhì)心時的重力勢能,五、剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理,功能原理、機械能守恒定律等都適用于含有剛體的系統(tǒng) 。,直線運動與定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律對照,,,,,質(zhì)點的直線運動,剛體的定軸轉(zhuǎn)動,,,,,,,P174：例題5.11,解：據(jù)機械能守恒定律：,例5.12 一個質(zhì)量為Ｍ、半徑為Ｒ的定滑輪（當作均勻圓盤）上面繞有細繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為ｍ的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體ｍ由靜止下落高度ｈ時的速度和此時滑輪的角速度。

12、,mg,例5.13 最初棒靜止在水平位置, 求它由此下擺?角時質(zhì)心的角速度和速度。,解：,力矩的功,機械能守恒定律,解：以棒和球為系統(tǒng), 碰撞過程中外力矩為零，角動量守恒。,初態(tài)：,末態(tài)：,由碰撞而損失的機械能為(勢能不變)：,初態(tài)機械能：,機械能的損失為：,末態(tài)機械能：,例2、一質(zhì)量為m，長為l的均質(zhì)細桿，轉(zhuǎn)軸在o點，距A端l/3。今使棒從靜止開始由水平位置繞o點轉(zhuǎn)動，求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直位置時的角速度和角加速度。,,,解：,c,o,B,A,（1）,,mg,（2）,（3）*垂直位置時軸的支持力F=?,,例3 一長為l 、質(zhì)量為m 的勻質(zhì)細桿，可繞光滑軸O 在鉛直面內(nèi)擺動。當桿靜止時，一顆質(zhì)量為m0 的子彈水平射入與軸相距為a 處的桿內(nèi)，并留在桿中，使桿能偏轉(zhuǎn)到q=300，求子彈的初速v0。,解：,,,,,,,,(1) 角動量守恒:,(2) 機械能守恒:,,例4、一質(zhì)量為M，半徑R的圓盤，盤上繞由細繩，一端掛有質(zhì)量為m的物體。問物體由靜止下落高度h時，其速度為多大？求下落過程中物體的加速度？,,解：,解得：,M、m 、繩、地球系統(tǒng)機械能守恒：,系統(tǒng)角動量為：,例5、均質(zhì)細桿長2l，以垂直于桿的速度v在瞬時與支點A碰撞。求：（1）碰撞后桿的角速度。（2）碰撞后機械能損失多少？,作業(yè): 習題（P35） 2，6，8，9 11，12，15，19，20,