《多元函數(shù)極限》PPT課件

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1、第 一 節(jié) 多 元 函 數(shù)預(yù) 備 知 識(shí)多 元 函 數(shù) 的 概 念多 元 函 數(shù) 的 極 限多 元 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性function of many variables 預(yù) 備 知 識(shí)平 面 點(diǎn) 集 ,),(2 RyxyxRRR 坐 標(biāo) 面坐 標(biāo) 平 面 上 具 有 某 種 性 質(zhì) P的 點(diǎn) 的 集 合 ,稱 為平 面 點(diǎn) 集 ,記 作 .),(),( PyxyxE 具 有 性 質(zhì) 鄰 域 設(shè) P0(x0, y0)是 xOy 平 面 上 的 一 個(gè) 點(diǎn) ,幾 何 表 示 ： O xy . P0 )()(),(),( 20200 yyxxyxPU ,0 鄰 域的點(diǎn) P 令,0).( 0PU

2、有 時(shí) 簡 記 為 2R稱 之 為 將 鄰 域 去 掉 中 心 , 也 可 將 以 P 0為 中 心 的 某 個(gè) 矩 形 內(nèi) (不 算 周 界 )注 稱 之 為的 全 體 點(diǎn) 稱 之 為 點(diǎn) P0鄰 域 .去 心 鄰 域 . ),( 0 PU (1) 內(nèi) 點(diǎn) ,EP點(diǎn),)( EPU 使 E (2) 外 點(diǎn) 如 果 存 在 點(diǎn) P的 某 個(gè) 鄰 域 ),(PU則 稱 P為 E的 外 點(diǎn) .(3) 邊 界 點(diǎn) 如 點(diǎn) P的 任 一 鄰 域 內(nèi) 既 有 屬 于 E的 點(diǎn) ,也 有 不 屬 于 E的 點(diǎn) ,稱 P為 E的 邊 界 點(diǎn) .任 意 一 點(diǎn) 2RP 2RE 與 任 意 一 點(diǎn) 集 之 間必

3、有 以 下 三 種 關(guān) 系 中 的 一 種 :設(shè) E為 一 平 面 點(diǎn) 集 ,0 若 存 在稱 P為 E的 內(nèi) 點(diǎn) . 1P)( 1P )( 2P 2P3P )( 3PE的 邊 界 點(diǎn) 的 全 體 稱 為 E的 邊 界 .使 U(P) E = , 聚 點(diǎn) 若 點(diǎn) P的 任 一 去 心 鄰 域 內(nèi) 總 有 E中 的 點(diǎn)則 稱 P是 E的 聚 點(diǎn) .(P本 身 可 屬 于 E,也 可 不 屬 于 E ),平 面 區(qū) 域 (重 要 )設(shè) D是 點(diǎn) 集 . 連 通 的 開 集 稱 區(qū) 域 連 通 集 .如 對(duì) D內(nèi) 任 何 兩 點(diǎn) ,都 可 用 折 線 連且 該 折 線 上 的 點(diǎn) 都 屬 于 D,稱

4、 D是 或 開 區(qū) 域 . 開 集 若 E的 任 意 一 點(diǎn) 都 是 內(nèi) 點(diǎn) ,例 41),( 221 yxyxE 稱 E為 開 集 .E1為 開 集 .結(jié) 起 來 , 開 區(qū) 域 連 同 其 邊 界 ,稱 為有 界 區(qū) 域否 則 稱 為總 可 以 被 包 圍 在 一 個(gè) 以 原 點(diǎn) 為 中 心 、適 當(dāng) 大 的 圓 內(nèi) 的 區(qū) 域 , 稱 此 區(qū) 域 為 半 徑 (可 伸 展 到 無 限 遠(yuǎn) 處 的 區(qū) 域 ).閉 區(qū) 域 . 有 界 區(qū) 域 .無 界 區(qū) 域 O xy O xyO xy O xy有 界 開 區(qū) 域有 界 半 開 半 閉 區(qū) 域 有 界 閉 區(qū) 域無 界 閉 區(qū) 域 按 著

5、這 個(gè) 關(guān) 系 有 確 定 的點(diǎn) 集 D稱 為 該 函 數(shù)),( yxfz )( Pfz或稱 為 該 函 數(shù) 的 Dyxyxfzz ),(),(則 稱 z是 x, y的定 義 若 變 量 z與 D中 的 變 量 x, y之 間 有 一 個(gè) 依 賴 關(guān) 系 ,設(shè) D是 xOy平 面 上 的 點(diǎn) 集 , 使 得 在 D內(nèi)每 取 定 一 個(gè) 點(diǎn) P(x, y)時(shí) ,z值 與 之 對(duì) 應(yīng) , 記 為稱 x, y為的 數(shù) 集 二 元 (點(diǎn) )函 數(shù) .稱 z為自 變 量 , 因 變 量 ,定 義 域 , 值 域 .多 元 函 數(shù) 的 概 念 二 元 及 二 元 以 上 的 函 數(shù) 統(tǒng) 稱 為記 為 函

6、數(shù) 在 點(diǎn) 處 的 函 數(shù) 值),( yxfz ),( 00 yxP),( 00 yxf ).( 0Pf或類 似 , 可 定 義 n元 函 數(shù) . 多 元 函 數(shù) .最 后 指 出 ,從 一 元 函 數(shù) 到 二 元 函 數(shù) ,在 內(nèi) 容和 方 法 上 都 會(huì) 出 現(xiàn) 一 些 實(shí) 質(zhì) 性 的 差 別 , 而 多 元函 數(shù) 之 間 差 異 不 大 .因 此 研 究 多 元 函 數(shù) 時(shí) , 將 以二 元 函 數(shù) 為 主 . 1解 O xy 2 22 22 1x x yz x y 1)1( 22 yx定 義 域 是 122 yx且例 求 下 面 函 數(shù) 的 定 義 域 二 元 函 數(shù) 的 幾 何 意

7、義 研 究 單 值 函 數(shù)二 元 函 數(shù) 的 圖 形 通 常 是 一 張 曲 面 .),( yxfz D x yzO Mx yP 多 元 函 數(shù) 的 極 限 討 論 二 元 函 數(shù) 怎 樣 描 述 呢 ? O xy (1) P(x, y)趨 向 于 P0(x0, y0)的),( yxfz .),(),( 000 時(shí) 的 極 限即 yxPyxP 路 徑 又 是 多 種 多 樣 的 .注 , 00 yyxx 當(dāng) 方 向 有 任 意 多 個(gè) , ),( 00 yx ),( yx ),( yx),( yx),( yx ),( yx ),( yx ),( 00 yx ),( yx),( yx ),( y

8、xO xy (2) 變 點(diǎn) P(x,y) 2020 )()( yyxx ),(),( 000 yxPyxP 0 0PP總 可 以 用 來 表 示 極 限 過 程 :與 定 點(diǎn) P0(x0,y0)之 間 的 距 離 記 為不 論 的 過 程 多 復(fù) 雜 ,),(),( 00 yxPyxP 趨 向 于 ,0 ,)()(0 2020 yyxx當(dāng),0 ),( yxfzA 為則 稱 Ayxfyy xx ),(lim 00記 作 )0(),( Ayxf或 )( 定 義 1有成 立 .的 極 限 . 時(shí)當(dāng) ),(),( 00 yxyx 設(shè) 二 元 函 數(shù) P0(x0, y0)是 D的 聚 點(diǎn) . 的 定 義

9、 ),()( yxfPf 義 域 為 D, 如 果 存 在 常 數(shù) A, AyxfAPf ),()( APfPP )(lim 0也 記 作 ).()( 0PPAPf 或 則 當(dāng) 22 )0()0(0 yx,0 01sin)(lim),(lim 22220000 yxyxyxf yxyx試 證例 證 01sin)( 2222 yxyx 22 yx 22 )0()0( yx 2 取 01sin)( 2222 yxyx有 證 畢 .)0( 22 yx 2222 1sin yxyx 相 同 點(diǎn) 多 元 函 數(shù) 的 極 限 與 一 元 函 數(shù) 的 極 限 的一 元 函 數(shù) 在 某 點(diǎn) 的 極 限 存 在

10、 的 充 要定 義 相 同 .差 異 為必 需 是 點(diǎn) P在 定 義 域 內(nèi) 以 任 何 方 式 和 途 徑 趨而 多 元 函 數(shù)于 P0時(shí) ,相 同 點(diǎn) 和 差 異 是 什 么條 件 是 左 右 極 限 都 存 在 且 相 等 ;都 有 極 限 ,且 相 等 .)(Pf 當(dāng) P(x, y) 沿 直 線 y = kx 的 方 向2200lim yx xyyx 222 20lim xkx kxkxyx 21 kk其 值 隨 k的 不 同 而 變 化 . 所 以 ,極 限 不 存 在 無 限 接 近 點(diǎn) (0,0)時(shí) ,設(shè) 函 數(shù)證 明 : 0,0 0,),( 22 2222 yx yxyx xy

11、yxf例 : ( , ) (0,0)x y 求 證 當(dāng) 時(shí) ， 函 數(shù) f(x,y)極 限 不 存 在 . 極 限 是 否 存 在 ？24 200lim yx yxyx 取 ,kxy解 24 2 yx yx ),(lim0 yxfkxyx 22224 3 kx kxxkx kx 0lim 220 kx kxkxyx 24 2 yx yx 44 4xx x 所 以 ， 極 限 不 存 在 .取 ,2xy 21 例 求 極 限 .)sin(lim 22 200 yx yxyx 解 22 200 )sin(lim yx yxyx其 中 yx yxyx 2 200 )sin(lim uuu sinli

12、m0 ,122 2 yx yx ,00 x.0)sin(lim 22 200 yx yxyx yxu 22|2 2 xxyyx yx yxyx 2 200 )sin(lim ,22 2 yx yx 例 求 極 限 .42lim00 xyxyyx解 將 分 母 有 理 化 ,得 42lim00 xyxyyx xyxyxyyx )42(lim00 )42(lim00 xyyx 4 多 元 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 設(shè) 二 元 函 數(shù) 則 稱 函 數(shù)定 義 2 ),(),(lim 00 00 yxfyxfyy xx P0(x0, y0)為 D的 聚 點(diǎn) , 且 P0 D. 如 果連 續(xù) .),(),(

13、 000 yxPyxf 在 點(diǎn)如 果 函 數(shù) f (x, y) 在 D內(nèi) 的 每 一 點(diǎn) 連 續(xù) ,則 稱 函 數(shù) 在 D內(nèi) 連 續(xù) ,),( yxf或 稱 函 數(shù) ),( yxf 是 D內(nèi) 的 連 續(xù) 函 數(shù) . 的 定 義 域 為 D, ),()( yxfPf 稱 為 多 元 初 等 函 數(shù) ,積 、 商 （ 分 母 不 為 零 ） 及 復(fù) 合 仍 是 連 續(xù) 的 .同 一 元 函 數(shù) 一 樣 , 多 元 函 數(shù) 的 和 、 差 、每 個(gè) 自 變 量 的 基 本 初 等 函 數(shù) 經(jīng) 有 限 次 四 則運(yùn) 算 和 有 限 次 復(fù) 合 ,由 一 個(gè) 式 子 表 達(dá) 的 函 數(shù)處 均 連 續(xù) .

14、 在 它 們 的 定 義 域 的 內(nèi) 點(diǎn) 有 界 閉 區(qū) 域 上 連 續(xù) 的 多 元 函 數(shù) 的 性 質(zhì)至 少 取 得 它 的 最 大 值 和 最 小 值 各 一 次 介 于 這 兩 值 之 間 的 任 何 值 至 少 一 次 (1) 最 大 值 和 最 小 值 定 理(2) 介 值 定 理在 有 界 閉 區(qū) 域 D上 的 多 元 連 續(xù) 函 數(shù) ,在 D上在 有 界 閉 區(qū) 域 D上 的 多 元 連 續(xù) 函 數(shù) ,如 果在 D上 取 得 兩 個(gè) 不 同 的 函 數(shù) 值 ,則 它 在 D上 取 得 想 一 想 如 何 證 明 f( x, y)在 00 0)(sin),( 22 2222 yx

15、yxyx yxxyyxf設(shè) 證 ,022 時(shí)當(dāng) yx ,)0,0(),( 時(shí)故 當(dāng) yx .)0,0(),( 也 連 續(xù)在下 面 證 明 yxf xOy面 上 處 處 連 續(xù) ?22 )(sin),( yx yxxyyxf 是 初 等 函 數(shù) ，),( yxf 處 處 連 續(xù) . 又 02 |lim00 yxyx于 是 0)(sinlim 2200 yx yxxyyx .)0,0(),( 也 連 續(xù)在從 而 yxf即 證 明 了 f(x, y)在 由 于 22 )(sin yx yxxy 22 )( yx yxxy 2 yx)0,0(fxOy面 上 處 處 連 續(xù) .證 明 f( x, y)在 00 0)(sin),( 22 2222 yx yxyx yxxyyxf設(shè) xOy面 上 處 處 連 續(xù) ?