《幾何》課程教案.doc

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1、第一章 矢量與坐標(biāo) 教學(xué)目的 1、理解矢量的有關(guān)概念，掌握矢量線性運算的法則及其運算性質(zhì); 2、理解矢量的乘法運算的意義，熟悉它們的幾何性質(zhì)，并掌握它們的運算規(guī)律; 3、利用矢量建立坐標(biāo)系概念，并給出矢量線性運算和乘法運算的坐標(biāo)表示; 4、能熟練地進行矢量的各種運算，并能利用矢量來解決一些幾何問題。 教學(xué)重點 矢量的概念和矢量的數(shù)性積，矢性積，混合積。 教學(xué)難點 矢量數(shù)性積，矢性積與混合積的幾何意義。 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課

2、時 8 1.1 矢量的概念 教學(xué)目的 1、理解矢量的有關(guān)概念; 2、掌握矢量間的關(guān)系。 教學(xué)重點 矢量的兩個要素：摸與方向。 教學(xué)難點 矢量的相等 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 1 一、有關(guān)概念 1. 矢量 2. 矢量的表示 3. 矢量的模 二、特殊矢量 1. 零矢 2. 單位矢 三、矢量間的關(guān)系 1. 平行矢 2. 相等矢 3. 自由矢 4. 相反矢 5. 共線矢 6. 共面矢 7

3、. 固定矢量 例1. 設(shè)在平面上給了一個四邊形ABCD，點K、L、M、N分別是邊ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中點，求證：＝. 當(dāng)ABCD是空間四邊形時，這等式是否也成立？ 例2. 回答下列問題： (1) 若矢量//，//,則是否有//？ (2) 若矢量,,共面，,,也共面，則,,是否也共面？ (3) 若矢量,,中//，則,,是否共面？ (4) 若矢量，共線，在什么條件下，也共線？ 作業(yè)題： 1. 設(shè)點O是正六邊形ABCDEF的中心，在矢量、、 、、、、、、、、和中，哪些矢量是相等的？ 2. 如圖1-3，設(shè)ABCD-EFGH是一個平行六面體，在下列各對矢量中，找出相等的矢量和互為相

4、反矢量的矢量： (1) 、; (2) 、; (3) 、; (4) 、; (5) 、. 矢量的線性運算(1.2 矢量的加法 、1.3 矢量的數(shù)乘) 教學(xué)目的 1、 掌握矢量加法的兩個法則、數(shù)量與矢量的乘法概念及運算律; 2、 能用矢量法證明有關(guān)幾何命題。 教學(xué)重點 矢量加法的平行四邊形法則、數(shù)量與矢量的乘法概念 教學(xué)難點 運算律的證明、幾何命題轉(zhuǎn)化為矢量間的關(guān)系 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 1 一、概念

5、 1. 兩個例子 2. 矢量的加法法則 (1) 三角形法則 (2) 平行四邊形法則 二、性質(zhì) 1. 運算規(guī)律 (1) 交換律 +＝+; (2) 結(jié)合律 (+)+＝+(+); (3) +＝; (4) +(－)＝. 2. 矢量加法的多邊形法則 3. 矢量減法 4. 三角不等式 (1) |+|≤||+||, |-|≥||-||; (2) |++…+|≤||+||+…+||. 例1. 從矢量方程組中解出矢量. 例2. 用矢量法證明平行四邊形對角線互相平分. 作業(yè)題： 1. 設(shè)兩矢量與共線，試證+＝+. 2. 證明：四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件是對任一點

6、O有+＝＋. 1.3 數(shù)量乘矢量 一、概念 1. 數(shù)乘的例子 2. 數(shù)乘的定義 二、性質(zhì) 1. 運算規(guī)律 (1) 1＝. (2) 結(jié)合律 l (m)＝(lm). (3) 第一分配律 (l+m)＝l+m. (4) 第二分配律 l(+)＝l+l. 例1. 如圖1-7，設(shè)M是平行四邊形ABCD的中心，O是任意一點，證明 例2. 設(shè)點O是平面上正多邊形A1A2…An的中心，證明: 作業(yè)題： 1. 設(shè)L、M、N分別是ΔABC的三邊BC、CA、AB的中點，證明：三中線矢量, , 可以構(gòu)成一個三角形. 2. 設(shè)L、M、N是△ABC的三邊的中點，O是任意一點，證明 +=

7、++. 3. 用矢量法證明，四面體對棱中點的連線相交于一點且互相平分. 1.4 矢量的線性關(guān)系與矢量的分解 教學(xué)目的 1、理解矢量在直線和平面及空間的分解定理；2、掌握矢量間的線性相關(guān)性及判斷方法。 教學(xué)重點 矢量的三個分解定理及線性相關(guān)的判斷。 教學(xué)難點 分解定理的證明 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 1 一、矢量的分解 1. 線性運算 2. 線性組合 3. 矢量在直線上的分解： 定理1 如果矢量，那么

8、矢量與矢量共線的充要條件是可以用矢量線性表示，或者說是的線性組合，即＝x，且系數(shù)x被，唯一確定. 稱為用線性組合來表示共線矢量的基底. 4. 矢量在平面上的分解： 定理2 如果矢量, 不共線，那么矢量與, 共面的充要條件是可以用矢量, 線性表示，或者說矢量可以分解成矢量, 的線性組合，即＝x+y，且系數(shù)x, y被, , 唯一確定. , 稱為平面上矢量的基底. 5. 矢量在空間的分解： 定理3 如果矢量, , 不共面，那么空間任意矢量可以由矢量, , 線性表示，或者說矢量可以分解成矢量, , 的線性組合，即＝x+y+z，且系數(shù)x, y, z被, , , 唯一確定. , , 稱為空間矢

9、量的基底. 二、矢量的線性關(guān)系 1. 定義 對于n (n≥1)個矢量, , …, ，如果存在不全為零的n個數(shù)l1, l2， …, ln, 使得 l1+l2+…+ln=, 那么n個矢量, , …, 叫做線性相關(guān). 矢量, , …, 線性無關(guān)是指，只有當(dāng)l1＝l2＝…＝ln＝0時，上式才成立. 2. 判斷方法 推論1 一個矢量線性相關(guān)的充要條件是=. 定理4 矢量, , …, (n≥2)線性相關(guān)的充要條件是其中有一個矢量是其余矢量的線性組合. 定理5 如果一組矢量中的一部分矢量線性相關(guān)，那么這一組矢量就線性相關(guān). 推論2 一組矢量中如果含有零矢量，那么這組矢量必線性相

10、關(guān). 定理6 兩矢量共線的充要條件是它們線性相關(guān). 定理7 三矢量共面的充要條件是它們線性相關(guān). 定理8 空間任何四個矢量總是線性相關(guān). 推論3 空間四個以上矢量總是線性相關(guān). 例1. 設(shè)一直線上三點A, B, P滿足＝l(l－1),O是空間任意一點，求證： ＝ 例2. 在△ABC中，設(shè)＝，＝，AT是角A的平分線（它與BC交于T點），試將分解為,的線性組合. 作業(yè)題： 1. 在平行四邊形ABCD中， (1) 設(shè)對角線＝,＝，求, , , ; (2) 設(shè)邊BC和CD的中點為M和N，且＝, ＝,求, . 2. 在△ABC中，設(shè)＝, ＝, D、E是邊BC的三等分點，

11、將矢量, 分解為, 的線性組合. 3. 用矢量法證明: 三角形三中線共點. 4. 設(shè)G是△ABC的重心，O是空間任意一點，試證 ＝(+). 5．設(shè)＝ (i＝1, 2, 3, 4)，試證P1, P2, P3, P4四點共面的充要條件是存在不全為零的實數(shù)li (i＝1, 2, 3, 4)使 l1+l2+l3+l4=, 且. 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo) 教學(xué)目的 1、 能利用矢量建立坐標(biāo)系概念； 2、 理解點的坐標(biāo)及矢量分量的表示方法； 3、 掌握矢量線性運算及線段定比分點的坐標(biāo)表示方法。 教學(xué)重點 標(biāo)架概念及點和矢量的坐標(biāo)表示方法 教學(xué)難點 矢量的分量 參考文獻

12、(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 1 一、空間坐標(biāo)系 1. 空間中的一個定點O，連同三個不共面的有序矢量, , 的全體，叫做空間中的一個標(biāo)架，記做{O;,}. 2. 對于標(biāo)架{O;,,}，如果, , 間的相互關(guān)系和右手拇指、食指、中指相同，那么這個標(biāo)架叫做右旋標(biāo)架或稱右手標(biāo)架；如果, , 間的相互關(guān)系和左手的拇指、食指、中指相同，那么這個標(biāo)架叫做左旋標(biāo)架或稱左手標(biāo)架. 3. 表達式＝x+y+z中的x, y, z叫做矢量關(guān)于標(biāo)架{O;,,}的分量或

13、稱為坐標(biāo)，記做{x, y, z}或{x, y, z}. 4. 對于取定了標(biāo)架{O;,,}的空間中任意點P，矢量叫做點P的徑矢，徑矢關(guān)于標(biāo)架{O;,,}的分量x, y, z叫做點P關(guān)于標(biāo)架{O;,,}的坐標(biāo)，記做P (x, y, z)或(x, y, z). 5. 當(dāng)空間取定標(biāo)架{ O; , , }之后，空間全體矢量的集合或者全體點的集合與全體有序三數(shù)組x, y, z的集合具有一一對應(yīng)的關(guān)系，這種一一對應(yīng)的關(guān)系叫做空間矢量或點的一個坐標(biāo)系. 空間坐標(biāo)系也常用{O;,,}來表示，此時點O叫做坐標(biāo)原點，, , 都叫做坐標(biāo)矢量. 6. 由右(左)旋標(biāo)架決定的坐標(biāo)系叫做右(左)旋坐標(biāo)系或右(左)手坐

14、標(biāo)系；仿射標(biāo)架、笛卡爾標(biāo)架與直角標(biāo)架所確定的坐標(biāo)系分別叫做仿射坐標(biāo)系、笛卡爾坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系. 二、平面坐標(biāo)系 1. 約定用{O;}表示直角坐標(biāo)系，以后在討論空間問題時所采用的坐標(biāo)系，一般都是空間右手直角坐標(biāo)系. 2. 過點O沿著三坐標(biāo)矢量, , 的方向引三軸Ox, Oy, Oz,可以用這三條具有公共點O的不共面的軸Ox, Oy, Oz來表示空間坐標(biāo)系，記做O—x y z，此時點O叫做空間坐標(biāo)系的原點，三條軸Ox, Oy, Oz都叫做坐標(biāo)軸，且依次叫做x軸，y軸和z軸，每兩條坐標(biāo) 軸所決定的平面叫做坐標(biāo)面，分別叫做xOy平面，yOz平面與 xOz平面. 三坐標(biāo)平面把空間劃分為八個區(qū)

15、域，每一個區(qū)域都叫做卦限. 3. 平面上一個定點O, 連同兩個不共線的有序矢量, 的全體，叫做平面上的一個標(biāo)架，記做{O;,}，如果, 都是單位矢量，那么{O;,}叫做笛卡爾標(biāo)架；與相互垂直的笛卡爾標(biāo)架叫做笛卡爾直角標(biāo)架，簡稱直角標(biāo)架；在一般情況下，{O;, }叫做仿射標(biāo)架. 4. 對于標(biāo)架{O;,}，將繞O旋轉(zhuǎn)，使的方向以最近的路徑旋轉(zhuǎn)到與的方向相合時，如果旋轉(zhuǎn)方向是逆時針的，則這種標(biāo)架叫做右旋標(biāo)架或稱右手標(biāo)架； 5. 表達式＝x＋y中的x, y叫做矢量關(guān)于標(biāo)架{O;,}的分量或稱為坐標(biāo)，記做{x, y}或{x, y}. 6. 對于取定了標(biāo)架{O;,}的平面上的任意點P，矢量叫做

16、點P的徑矢，徑矢關(guān)于標(biāo)架{O;,}的分量x, y叫做點P關(guān)于標(biāo)架{O;,}的坐標(biāo)，記做P(x, y)或(x, y). 7. 當(dāng)平面上取定標(biāo)架{O;,}之后，平面上全體矢量的集合或者全體點的集合與全體有序數(shù)對x, y的集合具有一一對應(yīng)的關(guān)系，這種一一對應(yīng)的關(guān)系叫做平面上矢量或點的一個坐標(biāo)系. 平面坐標(biāo)系也常用{O;,}來表示，此時點O叫做坐標(biāo)原點，, 都叫做坐標(biāo)矢量. 8. 由右(左)旋標(biāo)架決定的坐標(biāo)系叫做右(左)旋坐標(biāo)系或右(左)手坐標(biāo)系；仿射標(biāo)架、笛卡爾標(biāo)架與直角標(biāo)架所確定的坐標(biāo)系分別叫做仿射坐標(biāo)系、笛卡爾坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系. 15. 約定用{O;,}表示直角坐標(biāo)系, 在討論平面問題時

17、所采用的坐標(biāo)系，一般都是平面右手直角坐標(biāo)系. 9. 過點O沿著坐標(biāo)矢量, 的方向引二軸Ox, Oy,可以用這二條具有公共點O的不共線的軸Ox，Oy來表示平面坐標(biāo)系，記做O－x y，此時點O叫做平面坐標(biāo)系的原點，Ox叫做x軸，Oy叫做y軸. 兩坐標(biāo)軸把平面分成四個區(qū)域，每一個區(qū)域都叫做象限. 三、直線坐標(biāo)系 1. 直線上一個定點O，連同直線上一個非零矢量的全體，叫做直線上的一個標(biāo)架，記做{O;}，如果為單位矢量，那么{O;}叫做笛卡爾標(biāo)架，在一般情況下，{O;}叫做仿射標(biāo)架. 2. 表達式＝x中的x叫做矢量關(guān)于標(biāo)架{O;}的分量或稱為坐標(biāo)，記做{x}或{x}. 3. 對于取定了標(biāo)架{O

18、;}的直線上任意點P，矢量叫做點P的徑矢，徑矢關(guān)于標(biāo)架的分量x叫做點P關(guān)于標(biāo)架{O;}的坐標(biāo)，記做P(x)或(x). 4. 當(dāng)直線上取定標(biāo)架{O;}之后，直線上全體矢量的集合或全體點的集合與全體實數(shù)x的集合具有一一對應(yīng)的關(guān)系，這種一一對應(yīng)的關(guān)系叫做直線上矢量或點的一個坐標(biāo)系. 直線上的坐標(biāo)系也常用{O;}來表示，此時點O叫做坐標(biāo)原點，叫做坐標(biāo)矢量. 5. 由仿射標(biāo)架與笛卡爾標(biāo)架所確定的坐標(biāo)系分別叫做仿射坐標(biāo)系與笛卡爾坐標(biāo)系. 6. 取定標(biāo)架{O; }的直線，叫做坐標(biāo)軸或簡稱為軸，原點為O，坐標(biāo)寫成x的軸記做Ox. 例1. 在空間直角坐標(biāo)系{O;}下，求P(2,－3,－1)，M(a, b

19、, c)關(guān)于 (1) 坐標(biāo)平面；(2) 坐標(biāo)軸；(3) 坐標(biāo)原點的各個對稱點的坐標(biāo). 例2. 已知矢量, , 的分量如下： (1) ＝{0, －1, 2}，＝{0, 2, －4}，＝{1, 2, －1}； (2) ＝{1, 2, 3}，＝{2, －1, 0}，＝{0, 5, 6}. 試判別它們是否共面？能否將表成，的線性組合？若能表示，寫出表示式. 作業(yè)題： 1. 指出坐標(biāo)滿足下列條件的點(x, y, z)在空間的位置. (1) x＝y(tǒng)； (2) y z<0; (3) x y z<0. 2. 平行于z軸的矢量有什么特點？平行于x軸和y軸的矢量又分別有什么特點？ 3. 已知線段

20、AB被點C(2, 0, 2)和D(5,－2, 0)三等分，試求這個線段兩端點A與B的坐標(biāo). 1.6 矢量在軸上的射影 教學(xué)目的 1、 掌握射影與射影矢量的概念及矢量線性運算的射影表示； 2、 理解矢量在軸上的的射影與坐標(biāo)的關(guān)系。 教學(xué)重點 矢量在軸上的射影與射影矢量的概念 教學(xué)難點 射影與射影矢量的關(guān)系 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 1 一、概念 1.射影 2.射影矢量 3.如果在軸上取與軸方向相同的單位

21、矢量，則有射影矢量l＝＝x，其中x叫做矢量在軸l上的射影，記作：射影l(fā)，即射影l(fā)＝x. 4. 可以把射影矢量l與射影l(fā)分別寫成射影矢量與射影，且分別叫做矢量在矢量上的射影矢量與在上的射影，兩者之間的關(guān)系是 射影矢量＝(射影). 5. 設(shè)是兩個非零矢量，自空間任意點O作＝,＝, 把射線OA和OB構(gòu)成的在0與p之間的角，叫做矢量與的夾角，記做(,). 按規(guī)定，若,同向，則(,)＝0；若,反向，則(,)＝p；若，則0＜(,)＜p. 6．在平面上，可以引進從矢量到矢量的有向角的概念，并記作 (,)，當(dāng)時，以矢量掃過矢量,之間的夾角(,)旋轉(zhuǎn)到與矢量同方向的位置時，如果旋轉(zhuǎn)方向是逆時針的，則 (

22、,)＝(,)；如果旋轉(zhuǎn)方向是順時針的，則 (,)＝－(,). 當(dāng)//時， (,)＝(,). 有向角的值，?？赏茝V到 ≤－π 或 >π，這時我們認(rèn)為相差2π整數(shù)倍的值代表同一角，對于有向角還有下面的等式 二、性質(zhì) 1．矢量在軸l上的射影等于矢量的模乘以軸與該矢量的夾角的余弦： 射影i＝||cosq, q＝(l,). 2．相等矢量在同一軸上的射影相等. 3．對于任何矢量有 射影l(fā)(+)＝射影l(fā)+射影l(fā). 4．對于任何矢量與任意實數(shù)l有 射影l(fā)(l)＝l射影l(fā). 作業(yè)題： 1. 兩非零矢量的夾角在空間和平面上分別是怎樣定義的？取值范圍如何？ 2. 在射影，射影矢量與射影, 射

23、影矢量中，若，＝－, 則它們相互間的關(guān)系如何？ 3. 射影相等的兩個矢量是否必相等？射影為0的矢量，是否必為？ 1.7 兩矢量的數(shù)性積 教學(xué)目的 1、 掌握矢量的數(shù)性積概念及幾何意義； 2、 理解矢量的模、方向余弦和交角及數(shù)性積的坐標(biāo)表示； 3、 能證明有關(guān)的幾何命題。 教學(xué)重點 兩矢量的數(shù)性積概念及幾何意義 教學(xué)難點 根據(jù)數(shù)性積理論證明有關(guān)的命題 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 1 一、概念 1. 數(shù)

24、性積的例子. 2. 兩個矢量與的模和它們夾角的余弦的乘積叫做矢量和的數(shù)性積(也稱數(shù)積，內(nèi)積，點積)，記做或，即 ＝||||cos(,). 二、性質(zhì) 1. ＝||射影＝||射影. 2. 當(dāng)為單位矢量時 ＝射影. 3. ＝||2＝2. 4. 兩矢量和相互垂直的充要條件是＝0. 5. 矢量的數(shù)性積滿足下面的運算規(guī)律 (1) 交換律 ＝. (2) 關(guān)于數(shù)因子的結(jié)合律 (l)＝l()＝(l). (3) 分配律 (+)＝+. 三、坐標(biāo)運算 1. 設(shè)＝{}, ＝{}, 則 ＝. 2. 設(shè)＝{X, Y, Z}，則 ||＝. 3. 空間兩點P1(x1,y1,z1)，P2(x2,

25、y2,z2)間的距離是 d＝. 4. 矢量與坐標(biāo)軸(或坐標(biāo)矢量)所成的角叫做矢量的方向角，方向角的余弦叫做矢量的方向余弦. 5. 非零矢量＝{X, Y, Z}的方向余弦是 cosa＝＝, cosb＝＝, cosg＝＝. 6. 設(shè)空間中兩個非零矢量為{}，＝{},那么它們夾角的余弦是 cos(,)＝＝. 7. 矢量{}和＝{}相互垂直的充要條件是 例1. 在實數(shù)乘法中消去律成立，即ab＝ac時，則a=0或b＝c. 這對矢量的數(shù)性積并不成立，舉反例如下： 如圖1-20，設(shè)有非零矢量及與其共面的兩矢量和，使得其終點連線BC與OA垂直且交于M，則 ＝||||cos(,)＝

26、||OM, ＝||||cos(,)＝||OM, 于是 ＝, 但顯然. 例2. 在平面上如果，且＝ (i=1,2)，則有＝. 作業(yè)題： 1. 用矢量法證明對角線互相垂直的平行四邊形是菱形. 2. 證明 －||||≤≤||||. 3. 已知等邊三角形ABC的邊長為1，且＝，=, ＝，求＋＋. 4. (1)求兩個共線矢量的數(shù)性積； (2)求兩個單位矢量的數(shù)性積. 1.8 兩矢量的矢性積 教學(xué)目的 1、 掌握矢量的矢性積概念及幾何意義； 2、 理解矢量矢性積的運算律及坐標(biāo)表示；3、會用頂點坐標(biāo)計算三角形的面積。 教學(xué)重點 兩矢量矢性積概念及幾何意義 教學(xué)難點

27、矢性積的幾何意義 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 1 一、概念 1. 矢性積的例子 物理學(xué)中的力矩是一個矢量，它是兩個矢量的矢性積，如圖1-23，如果力的作用點是A, ，則力矩 ＝. 2. 兩矢量與的矢性積（也稱矢積，外積，叉積）是一個矢量，記做或[]，它的模是 ||＝||||sin(,), 它的方向與,都垂直，并且按,,這個順序構(gòu)成右手標(biāo)架{O;,,}. 二、性質(zhì) 定理1. 兩不共線矢量與的矢性積的模，在數(shù)值上等于以

28、與為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的面積. 定理2. 兩矢量與共線的充要條件是 ＝. 定理3. 矢量的矢性積滿足下面的運算規(guī)律： (1) 反交換律 ＝－(). (2) 關(guān)于數(shù)因子的結(jié)合律 l()＝(l)＝(l). (3) 分配律 (+)＝＋. 推論. 設(shè)l, m為任意實數(shù)，有 (l)(m)＝(lm)(), (+)＝+. 三、坐標(biāo)運算 1. 如果＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2}, 那么 ＝. 2. 與中學(xué)代數(shù)里的方程一樣，我們將含有未知矢量的等式叫做矢量方程. 例如＝l，其中是已知矢量，是未知矢量，l是常數(shù)，這就是一個矢量方程. 解矢量方程常用兩種方法

29、：其一是對方程實行各種向量運算來求出未知向量；其二是利用坐標(biāo)化成代數(shù)方程再去求解. 例1.證明()2≤22，并說明在什么情形下等號成立. 例2. 證明如果++＝，那么＝＝，并說明它的幾何意義. 例4. 用矢量方法證明： （1）三角形的正弦定理 ＝＝. （2）三角形面積的海倫(Heron)公式，即三斜求積公式： D2＝p(p－a)(p－b)(p－c). 作業(yè)題： 1. 設(shè), , 為三個兩兩不共線的矢量，且== ，則++=. 2. 設(shè)兩非零矢量，求k值，使兩個向量k和＋k共線. 3. 已知兩非零矢量，求與共線的充要條件. 4. 已知, , 其中＝5, , , 求平行四邊形A

30、BCD的面積.  1.9 三矢量的混合積 教學(xué)目的 1、掌握矢量的混合積概念及幾何意義； 2、理解混合積的運算律及坐標(biāo)表示；3、會用頂點坐標(biāo)計算四面體的體積。 教學(xué)重點 三矢量混合積概念及幾何意義 教學(xué)難點 混合積的幾何意義 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 1 第二章 軌跡與方程 教學(xué)目的 1、理解曲面與空間曲線方程的意義； 2、掌握求軌

31、跡方程（矢量式與坐標(biāo)式參數(shù)方程及普通方程）的方法； 3、會判斷已知方程所表示的軌跡名稱。 教學(xué)重點 曲面和空間曲線的方程求法 教學(xué)難點 判斷已知的參數(shù)方程或普通方程所表示的圖形 參考文獻 (1) 解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 《解析幾何》課程教案（第三章） 授課課時 8 第三章 平面與空間直線 教學(xué)目的 1、 深刻理解在空間直角坐標(biāo)系下平面方程是一個關(guān)于x,y,z的三元一次方程；反過來任何一個關(guān)于x,y,z的三元一次方程都表示一個平面。直線可以看

32、成兩個平面的交線，它可以用兩個相交平面的方程構(gòu)成的方程組來表示； 2、 掌握平面與空間直線的各種形式的方程，明確方程中常數(shù)（參數(shù)）的幾何意義，能根據(jù)決定平面或決定直線的各種導(dǎo)出它們的方程，并熟悉平面方程的各種形式的互化與直線各種方程形式的互化； 3、 能熟練地根據(jù)平面和直線的方程以及點的坐標(biāo)判別有關(guān)點、平面、直線之間的位置關(guān)系與計算它們之間的距離和交角。 教學(xué)重點 平面與空間直線的方程求法及點、平面、直線之間的相關(guān)位置 教學(xué)難點 平面與空間直線各種形式方程的互化 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延

33、堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 8 3.1 平面的方程 教學(xué)目的 1、理解在空間直角坐標(biāo)系下平面方程是一個關(guān)于x,y,z的三元一次方程，反過來，任何一個關(guān)于x,y,z的三元一次方程都表示一個平面； 2、會求平面的各種方程（參數(shù)式、點位式、三點式、截距式、一般式、點法式及法式）； 3、掌握平面的一般式與法式方程的互化。 教學(xué)重點 平面的點位式、一般式和法式方程及其轉(zhuǎn)化方法 教學(xué)難點 平面各種方程之間的互化 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，

34、蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 1 3.2 平面與點的相關(guān)位置 3.3 兩平面的相關(guān)位置 教學(xué)目的 1、理解點與平面的離差與距離概念及求法； 2、掌握判別點與平面、兩平面位置關(guān)系的方法；3、會求兩平面的交角與距離。 教學(xué)重點 點與平面的離差和兩平面的位置關(guān)系 教學(xué)難點 點與平面的離差 參考文獻 (1) 解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 2 3.4 空間直線的方程 教學(xué)目的 1、理解直線的方向角、方向余弦、方

35、向數(shù)概念及求法； 2、會求直線的點向式方程（參數(shù)式、對稱式、兩點式）和一般方程； 3、掌握直線的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程轉(zhuǎn)化方法。 教學(xué)重點 直線的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程 教學(xué)難點 標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化方法 參考文獻 (1) 解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 2 3.5 直線與平面的相關(guān)位置 教學(xué)目的 1、理解直線與平面的位置關(guān)系及判別方法；2、掌握直線與平面的交角和距離的求法。 教學(xué)重點 直線與平面的位置關(guān)系 教學(xué)難點 直線與平面的

36、交角 參考文獻 (1) 解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 1 3.6 空間兩直線的相關(guān)位置 教學(xué)目的 1、理解空間兩直線的位置關(guān)系及判別方法； 2、掌握空間兩直線的交角和異面直線間的距離與公垂線方程的求法。 教學(xué)重點 空間兩直線的位置關(guān)系及判別方法 教學(xué)難點 異面直線間的距離與公垂線方程 參考文獻 (1) 解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版

37、社，2000.08 授課課時 2 3.7 空間直線與點的相關(guān)位置 3.8 平面束 教學(xué)目的 1、理解兩種平面束的概念；2、掌握空間直線與點的距離公式及平面束方程的求法。 教學(xué)重點 平面束的概念及平面束方程的求法 教學(xué)難點 空間直線與點的距離公式 參考文獻 (1) 解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 《解析幾何》課程教案（第四章） 授課課時 2 第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 教學(xué)目的 1、 掌握求柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)

38、曲面方程的一般方法和步驟； 2、 能識別母線平行坐標(biāo)軸的柱面方程和以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)面方程，并能從 方程認(rèn)識曲面的大致形狀； 3、 根據(jù)方程討論圖形性質(zhì)，能畫二次曲面、空間曲線及區(qū)域簡圖； 4、 了解曲面直紋性。 教學(xué)重點 1、 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的概念及方程求法； 2、 橢球面、雙曲面、拋物面方程的討論，圖形性質(zhì)和形狀的畫法。 教學(xué)難點 根據(jù)二次曲面的方程和性質(zhì)畫出其圖形 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 8

39、 4.1 柱面 教學(xué)目的 1、理解柱面及其準(zhǔn)線和母線的概念；2、掌握求柱面方程的一般方法及步驟。 教學(xué)重點 柱面方程的求法 教學(xué)難點 圓柱面的方程 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 1 4.2 錐面 教學(xué)目的 1、理解錐面及其準(zhǔn)線和母線的概念； 2、掌握求錐面方程的一般方法及步驟；3、了解齊次方程概念及其表示的錐面性質(zhì)。 教學(xué)重點 錐面方程的求法 教學(xué)難點 圓錐面的方程 參考文獻 (1)解析幾何（第

40、三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 1 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面 教學(xué)目的 1、理解旋轉(zhuǎn)曲面及母線和緯圓等概念； 2、掌握求旋轉(zhuǎn)曲面方程的一般方法及步驟；3、能熟練寫出一類特殊旋轉(zhuǎn)曲面的方程。 教學(xué)重點 旋轉(zhuǎn)曲面方程求法 教學(xué)難點 一類特殊旋轉(zhuǎn)曲面的方程 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 1

41、 4.4 橢球面 教學(xué)目的 1、會認(rèn)橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程； 2、掌握討論橢球面性質(zhì)的方法及步驟； 3、能熟練畫出橢球面圖形。 教學(xué)重點 橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì) 教學(xué)難點 橢球面圖形的畫法 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 1 4.5 雙曲面 教學(xué)目的 1、會認(rèn)單葉雙曲面和雙葉雙曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程； 2、掌握單葉雙曲面和雙葉雙曲面的性質(zhì)； 3、能熟練畫出單葉雙曲面和雙葉雙曲面的圖形。 教學(xué)重

42、點 單葉雙曲面和雙葉雙曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì) 教學(xué)難點 單葉雙曲面和雙葉雙曲面圖形的畫法 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 2 4.6 拋物面 教學(xué)目的 1、會認(rèn)橢圓拋物面和雙曲拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程； 2、掌握橢圓拋物面和雙曲拋物面的性質(zhì)；3、能畫出橢圓拋物面和雙曲拋物面的圖形。 教學(xué)重點 橢圓拋物面和雙曲拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì) 教學(xué)難點 橢圓拋物面和雙曲拋物面圖形的畫法 參考文獻 (1)解析幾何（第三版

43、），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 2 4.7 曲面的直紋性 教學(xué)目的 1、理解直紋曲面的概念； 2、掌握單葉雙曲面和雙曲拋物面的直母線方程求法； 3、了解單葉雙曲面和雙曲拋物面的直母線性質(zhì)。 教學(xué)重點 直紋曲面的概念 教學(xué)難點 單葉雙曲面和雙曲拋物面的直母線方程求法 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.

44、08 《解析幾何》課程教案（第五章） 授課課時 2 第五章 二次曲線的一般理論 教學(xué)目的 1、了解復(fù)平面的特征； 2、掌握二次曲線的漸近方向、中心、漸近線、切線、直徑、主方向和主直徑概念及求法； 3、弄清移軸變換和轉(zhuǎn)軸變換對二次曲線方程系數(shù)的影響規(guī)律，以及這兩種坐標(biāo)變換在化簡二次曲線方程中所起的作用； 4、能判別二元二次方程所表示的曲線的類型，熟練地化簡二次曲線方程，并寫出相應(yīng)變換關(guān)系式，作出其圖形。 教學(xué)重點 1、二次曲線由漸近方向、中心、標(biāo)準(zhǔn)方程得出的不同分類方法； 2、二次曲線方程的化簡、分類與作圖。 教學(xué)難點 移軸變換和轉(zhuǎn)軸變換對二次曲線

45、方程系數(shù)的影響規(guī)律及其在化簡二次曲線方程中所起的作用。 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 8 5.1 二次曲線與直線的相關(guān)位置 教學(xué)目的 1、了解復(fù)平面的特征；2、熟記二次曲線方程中的有關(guān)記號； 3、 掌握二次曲線與直線的相關(guān)位置及判別方法。 教學(xué)重點 二次曲線方程中的有關(guān)記號及二次曲線與直線的相關(guān)位置 教學(xué)難點 二次曲線與直線位置的判別方法 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，

46、2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 1 5.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線 教學(xué)目的 1、理解二次曲線的漸近方向、中心、漸近線概念； 2、掌握二次曲線的漸近方向、中心、漸近線的求法； 3、能根據(jù)漸近方向和中心對二次曲線進行分類。 教學(xué)重點 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線概念及求法 教學(xué)難點 根據(jù)漸近方向和中心對二次曲線進行分類 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社

47、，2000.08 授課課時 2 5.3 二次曲線的切線 教學(xué)目的 1、理解二次曲線的切線及齊異點和正常點概念；2、掌握求二曲線的切線方程的方法。 教學(xué)重點 二次曲線的切線概念及求法 教學(xué)難點 過二次曲線外一點求二次曲線的切線方程 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 1 5.4 二次曲線的直徑 教學(xué)目的 1、理解二次曲線的直徑與共軛弦概念及共軛方向與共軛直徑概念； 2、掌握求二曲線

48、直徑方程及共軛方向與共軛直徑的方法； 3、掌握中心曲線與非中心曲線的直徑特征。 教學(xué)重點 二次曲線的直徑概念及方程求法 教學(xué)難點 共軛方向與共軛直徑的概念及關(guān)系 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 1 5.5 二次曲線的主直徑與主方向 教學(xué)目的 1、理解二次曲線的主直徑與主方向概念； 2、掌握求二曲線主方向與主直徑方程的方法；3、掌握二次曲線特征根的概念及性質(zhì)。 教學(xué)重點 二次曲線的主直徑與主方向概念及求法

49、教學(xué)難點 二次曲線的特征根與主方向和主直徑的關(guān)系 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 2 5.6 二次曲線方程的化簡與分類 教學(xué)目的 1、理解平面直角坐標(biāo)變換(移軸變換和轉(zhuǎn)軸變換)概念； 2、掌握其對二次曲線方程系數(shù)的影響規(guī)律及其在化簡二次曲線方程中所起的作用 （與主方向和主直徑的關(guān)系）； 3、熟練掌握二次曲線方程的化簡和作圖方法； 4、能根據(jù)化簡的標(biāo)準(zhǔn)方程對二次曲線進行分類。 教學(xué)重點 二次曲線方程的化簡和

50、作圖方法及二次曲線的分類 教學(xué)難點 移軸變換和轉(zhuǎn)軸變換在化簡二次曲線方程中所起的作用 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 2 5.7 應(yīng)用不變量化簡二次曲線的方程 教學(xué)目的 1、理解二次曲線的不變量和半不變量；2、掌握三類二次曲線簡化方程的形式； 3、了解用不變量和半不變量判斷二次曲線類型的方法。 教學(xué)重點 三類二次曲線簡化方程的形式 教學(xué)難點 不變量和半不變量的證明 參考文獻 (1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06 (2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時 2